§ 4 Классификация потоков s-алгебр.

4.1. Пусть имеется стохастический базис .

Определение. Опциональной (предсказуемой) алгеброй, обозначается через называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида где — опциональный (предсказуемый) момент остановки.

Из определения следует следующее утверждение.

Теорема 19. .

4.2. Определение. Случайный процесс со значениями в называется опциональным (предсказуемым), если отображение измеримо относительно алгебры на .

Теорема 20. Предсказуемая алгебра порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.

Доказательство. Из теоремы 18 следует, что порождена всеми процессами вида , где и , где — любые опциональные марковские моменты, причём Р - п.

Теорема 21. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.

Доказательство. Опциональная алгебра порождена процессами вида , где - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.

Пусть - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом: для всех , причём если это множество пустое, то полагаем, что .

4.3. Теорема 22. Если процесс - опционален, то множество - тонкое (для ).

Доказательство. Пусть и по индукции определим Очевидно, что если , то для любых фиксированных . Ясно, что процесс - непрерывен справа и согласован, a - момент остановки. Заметим теперь, что множество Поэтому где также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса следует, что Р - п. н. при . Поэтому . Доказательство закончено.