<<
>>

§ 4 Классификация потоков s-алгебр.

4.1. Пусть имеется стохастический базис .

Определение. Опциональной (предсказуемой) алгеброй, обозначается через называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида где — опциональный (предсказуемый) момент остановки.

Из определения следует следующее утверждение.

Теорема 19. .

4.2. Определение. Случайный процесс со значениями в называется опциональным (предсказуемым), если отображение измеримо относительно алгебры на .

Теорема 20. Предсказуемая алгебра порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.

Доказательство. Из теоремы 18 следует, что порождена всеми процессами вида , где и , где — любые опциональные марковские моменты, причём Р - п.

н. . Ясно, что эти процессы непрерывны слева и согласованы. По­этому для доказательства теоремы достаточно доказать, что каждый непрерывный слева согласованный процесс является предсказуемым. Обозначим . Процесс - предсказуем и непрерывен слева и поэтому Р - п. н. Значит - предсказуемый процесс. Доказательство закончено.

Теорема 21. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.

Доказательство. Опциональная алгебра порождена процессами вида , где - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.

Пусть - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом: для всех , причём если это множество пустое, то полагаем, что .

В силу теоремы - прогрессивно измерим, поэтому тоже прогрессивно измерим. Значит , где прогрессивно измерим. Заметим теперь, что - м. о., поэтому из непрерывности справа процесса получаем, что Р - п. н. на множестве (попутно заметим, что непрерывность слева эквивалентна тому, что для Р - п. н.). Обозначим для Процесс - опционален, поскольку он представляет собой сумму счётного числа опциональных процессов. Устремляя теперь получим, что из непрерывности справа Р - п. н., т. е. -опциональный процесс. Доказательство закончено.

4.3. Теорема 22. Если процесс - опционален, то множество - тонкое (для ).

Доказательство. Пусть и по индукции определим Очевидно, что если , то для любых фиксированных . Ясно, что процесс - непрерывен справа и согласован, a - момент остановки. Заметим теперь, что множество Поэтому где также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса следует, что Р - п. н. при . Поэтому . Доказательство закончено.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 4 Классификация потоков s-алгебр.:

  1.   § 3. Смысловая структура слова
  2. ХАРАКТЕР И РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ РЕФЛЕКСИИ ПО ПОВОДУ МЫШЛЕНИЯ И ЯЗЫКА В КЛАССИЧЕСКИХ УЧЕНИЯХ ДРЕВНОСТИ 
  3. СЕМАНТИЧЕСКАЯ ТЕМАТИКА В МАРКСИСТСКОЙ ГНОСЕОЛОГИИ 
  4. ВЕЛИКИЙ ТРУД, ВПЕРВЫЕ ОБОСНОВАВШИЙ ПРАВА ЧЕЛОВЕКА
  5. ДО — ВО ВРЕМЯ — ПОСЛЕ? (Вместо предисловия)
  6. Часть 2. Основы ораторского искусства
  7. ls§ 3. Смысловая структура слова
  8. Список сокращений
  9. § 3. Смысловая структура слова
  10. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  11. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  12. Содержание дисциплины
  13. VII ЧРЕЗМЕРНОСТЬ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА
  14. Тема 2. Исторические типы философии
  15. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ