§5 Процессы с ограниченной вариацией.

5.1. Пусть - стохастический базис.

Определение. Согласованный случайный процесс со значениями в называется возрастающим, если почти все его траектории непрерывны справа и не убывают.

Из определения возрастающего процесса следует, что:

а) возрастающий процесс имеет левый предел,

б) существует случайная величина Р - п. н.

5.2. Определение. Будем говорить, что согласованный процесс имеет ограни­ченную вариацию на отрезке [0,T], обозначаемую через Var, если для любого разбиения отрезка [0,T] Р - п. н. конечна величина Var, где П - множество разбиений отрезка [0,T].

5.3. Определение. Через W обозначим множество непрерывных справа, имеющих левый предел случайных процессов таких, что почти каждая его траектория имеет ограниченную вариацию на любом компактном множестве из .

Теорема 23. Согласованный случайный процесс тогда и только тогда, когда для , где .

Теорема 24. Пусть - возрастающий процесс. Тогда существует един­ственное разложение вида ,где - непрерывный возрастающий процесс (т. е. предсказуемый), а - опциональный случайный процесс. Если - предсказуемый процесс, то - предсказуемый процесс.

Доказательство. Разложение - следует из теоремы Лебега. Из доказа­тельства теоремы 21 следует, что существует последовательность марковских моментов , которая исчерпывает скачки процесса. Обозначим ,, где. Ясно, что при каждом п процесс - возрастающий. Значит - возрастающий и непрерывен справа. Если ,то - непрерывный возрастающий процесс. Поскольку - непрерывен справа и согласован, то в силу теоремы 15 он опционален. Доказательство закончено.

5.4. Обозначим через - множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е. , если . Через обозначим множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е. , если MVar.