1.3.1. Теорема (о вариации интегрального функционала)

Пусть - некоторое множество допустимых функций. Вариация функционала (1) в точке при любой допустимой вариации аргумента существует и равна

(2)

? Докажем при (при доказательство аналогично).

.

Имеем где . Ввиду непрерывности и непрерывности функций сложная функция непрерывна при и любых , т.е. в прямоугольнике (бесконечной длины) .

Частная производная

также непрерывна в этом прямоугольнике ввиду непрерывности частных производных и непрерывности функций . Поэтому можно согласно теореме Лейбница (1.1.2) дифференцировать по под знаком интеграла:

.

Отсюда ■