1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называется экстремалью функционала .
В случае функционала от одной функции 
экстремалью является одна числовая функция числовой переменной.
Замечание.
Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.1.4.3. Пример.
Среди гладких линий, соединяющих данные точки  и  , найти ту, которая при вращении вокруг оси  образует поверхность наименьшей площади. ? Площадь поверхности вращения равна |  |
Имеем простейшую вариационную задачу в пространстве 
Множитель 
не влияет на наличие экстремума, поэтому будем считать, что интегрант 
. Составим уравнение Эйлера:
Уравнение не содержит 
. С помощью замены переменной 
находим общее решение
.
Покажем, что если 
, то 
. В самом деле, 
Поэтому 
Мы нашли семейство экстремалей, зависящее от двух параметров 
и 
.
и используем краевые условия: 
.
Это – система трансцендентных уравнений с неизвестными и (решается только численным методом, т.е. приближенно).
Экстремаль есть цепная линия (на рисунке – штриховая линия). Она получена из простейшей цепной линии 
сжатием-растяжением и сдвигом (свободно провисающая бельевая веревка имеет форму цепной линии).■
1.4.4. Пример. 
? Составляем систему уравнений Эйлера-Пуассона для
Общее решение:
.
Используем краевые условия:
Имеется единственная экстремаль 
. ■
Еще по теме 1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называется экстремалью функционала .:
- 1.2.7. Определение. окрестностью точки пространства называется множество точек (т.е. функций) , удовлетворяющих неравенству
- 1.2.10. Определение. Если существует производная функциив точке , то она называется первой вариацией функционала в точке при данной вариации аргумента, и обозначается :
- Уравнения Ньютона-Эйлера
- Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.
- Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- Определение кривой уравнением и функции графиком
- 2.2.2. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений
- 1.2.9. Определение. Говорят, что функционал
- Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
- Применение функций от матриц к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- 1.1.3 Определение ИПХ по дифференциальному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы
- 12.Однородные функции. Формула Эйлера.
- Лабораторная работа № 5 Классы по данному модулю. Функция Эйлера.
- Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
- 3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.
- Интегрирование линейной однородной системы ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
- Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби.