1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называется экстремалью функционала .
В случае функционала от одной функции экстремалью является одна числовая функция числовой переменной.
Замечание.
Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.1.4.3. Пример.
Среди гладких линий, соединяющих данные точки ![]() ![]() ![]() ? Площадь поверхности вращения равна | ![]() |
Имеем простейшую вариационную задачу в пространстве
Множитель не влияет на наличие экстремума, поэтому будем считать, что интегрант
. Составим уравнение Эйлера:
Уравнение не содержит . С помощью замены переменной
находим общее решение
.
Покажем, что если , то
. В самом деле,
Поэтому Мы нашли семейство экстремалей, зависящее от двух параметров
и
.


.
Это – система трансцендентных уравнений с неизвестными и
(решается только численным методом, т.е. приближенно).
Экстремаль есть цепная линия (на рисунке – штриховая линия). Она получена из простейшей цепной линии сжатием-растяжением и сдвигом (свободно провисающая бельевая веревка имеет форму цепной линии).■
1.4.4. Пример.
? Составляем систему уравнений Эйлера-Пуассона для
Общее решение:
.
Используем краевые условия:
Имеется единственная экстремаль . ■