1.4.2. Определение. Вектор-функция , удовлетворяющая системе уравнений Эйлера-Пуассона, называется экстремалью функционала .
В случае функционала от одной функции 
экстремалью является одна числовая функция числовой переменной.
Замечание.
Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.1.4.3. Пример.
Среди гладких линий, соединяющих данные точки  и  , найти ту, которая при вращении вокруг оси  образует поверхность наименьшей площади. ? Площадь поверхности вращения равна |  |
Имеем простейшую вариационную задачу в пространстве 
Множитель 
не влияет на наличие экстремума, поэтому будем считать, что интегрант 
. Составим уравнение Эйлера:
Уравнение не содержит 
. С помощью замены переменной 
находим общее решение
.
Покажем, что если 
, то 
. В самом деле, 
Поэтому 
Мы нашли семейство экстремалей, зависящее от двух параметров 
и 
.
и используем краевые условия: 
.
Это – система трансцендентных уравнений с неизвестными и (решается только численным методом, т.е. приближенно).
Экстремаль есть цепная линия (на рисунке – штриховая линия). Она получена из простейшей цепной линии 
сжатием-растяжением и сдвигом (свободно провисающая бельевая веревка имеет форму цепной линии).■
1.4.4. Пример. 
? Составляем систему уравнений Эйлера-Пуассона для
Общее решение:
.
Используем краевые условия:
Имеется единственная экстремаль 
. ■