12.Однородные функции. Формула Эйлера.

Пусть-область в ,содержащая вместе с каждой своей точкой (х1,хн)и все точки вида(tx1,txn)при t>0.

Однородный многочлен степени n является очевидно однородной функцией той же степени однородности. Так, например, многочлен z=x^2-2xy+3y^2является однородной функцией степени 2. Степень однородности может быть любым действительным числом. Предположим что дифференцируемая ф-ия f(x,y) является одновременно и однородной ф-ей степени . фиксируя произвольную точку (x,y) для любого t>0 имеем f(tx,ty)=t^af(x,y)

Продифференцируем левую и правую части этого равенства по t (левую часть-по правилу дифференцирования сложной ф-ии,правую часть-как степенную ф-ию).В результате приходим к тождеству:

. положив здесь t=1, получим формулу Эйлера: . аналогично записывается формула Эйлера для однородной ф-ии от любого числа аргументов: