§ 6. Отрицательные числа.
Одно из самых серьезных затруднений у старых алгебраистов в том, что они не имеют в нашем смысле (т.е. количественном) отрицательных1*2 величин. Правило перемножения знаков носит исключительно операционный характер и основывается на тождестве:
(а - Ь) (с - d) = ас + bd - ad - be, выводимом геометрически133, в силу чего оно относится только к случаю, когда
а > b > 0, с > d > 0.
Это, конечно, усложняет уже и числовую алгебру, заставляя рассматривать особо каждый из таких случаев134:х2 + px = q х2 - px = q px - х2 = q
Следует отметить, что так как геометрическое доказательство ведется только с положительными величинами, то если бы кто-либо из старых алгебраистов и дошел бы до отрицательных величин в нашем смысле, то он мало бы выиграл, так как для каждого из упомянутых трех случаев пришлось бы строить особое доказательство.
Отрицательные корни рассматриваются поэтому, как решения невозможные.
Если характеристики у старых алгебраистов ие числа, а величины в более широком понимании, то, с другой стороны, они означают только положительные величины, вследствие чего и для буквенных уравнений приходится рассматривать различные типы, соответствующие различным знакам коэффициентов.
У нас разность А - В всегда имеет смысл, у Виэты135 только тогда, когда А > В.
Конечно, при этом возникает большое затруднение: при производстве вычисления растет число ограничительных условий. Если А - В имеет смысл при А > В, то (А -В) -(С - D) уже при А>В, С >D и А - В > С - D.
Только при таких огратгчительных условиях имеет смысл и дока- зуется тождество
(А - В) - (С - D) = А - В - С + D.
Ринальдиии выход из этого затруднения находит не в отрицатель-ных числах, а в операциях, объемлющих их
А - В при А > В и В - А при А < В
и означаемых через А - В.
Опадает возможность некоторые (но далеко не все) тождества представить уже в буквенных формулах:
(А - В)С = АС - ВС при А > В (В - А)С = ВС - АС при А < В но
(А - - В)С = АС - - ВС всегда А - В - (С - D) = (А + D) - (В + С) при А>В, C>D, A + D>B + C В - А - (D - С) = (В + С) - (А + D) при В > A, D > С, В + С > А + D
ио (А - - В) - (С - - D) = (А + D) — (В + С) всегда и т.д.