§ 2. Детермінант матриці

1.31. Зауваження. Поняття «Детермінант» («Визначник») означено тільки для квадратних матриць. Детермінінт матриці позначається , або, якщо потрібно виписати елементи цієї матриці – прямими рисками по боках цієї матриці.

1.32. Означення. Детермінант квадратної матриці – це число або символ, які їй ставляться у відповідність і можуть бути знайдені за елементами матриці згідно наступним означенням:

1) Детермінантом матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї ж матриці

2) Детермінант матриці порядку n > 1 називається число або символ, які наступним чином визначаються через елементи матриці

де детермінант матриці порядку (), яка отримується з матриці А викреслюванням її першої стрічки і k-го стовпчика.

називається додатковим мінором елемента заданої квадратної матриці. По аналогії можна визначити додатковий мінор довільного елемента як детермінант матриці порядку (), яка отримана з початкової матриці А викреслюванням тієї ж стрічки і того ж стовпчика, в яких розташовано елемент , тобто –ої стрічки та -го стовпчика.

1.33. Приклад. Користуючись означенням 1.32 знайдемо визначник матриць Паулі:

Властивості детермінантів

1.34. Властивість. Для кожної матриці А порядку n має місце формула

,

яка називається розкладом детермінанта за першим стовпчиком.

Для доведення скористаємось методом математичної індукції.

Розглянемо визначник матриці другого порядку:

.

Вважаючи, що наступна рівність , де А – матриця порядку (), є справедливою, отримаємо з неї основне співвідношення. Розкладемо визначник матриці порядку n за першою стрічкою, виділивши в сумі явно перший член:

При любому матриця, яка отримується з матриці А порядку n викреслюванням першої стрічки і k–ого стовпчика, утримує перший стовпчик без елемента матриці А. Розкладемо по цьому стовпчику, врахувавши, що i-та стрічка матриці А в входить під номером (), так як в не ввійшла перша стрічка матриці А.

Тому при отримаємо де – детермінант матриці порядку , яка отримується з викреслюванням її -ої стрічки та 1-го стовпчика, або, що те ж саме, викресленням з матриці n-ого порядку 1-ої і і-ої стрічок та 1-го і k–го стовпчиків.

Тоді

Змінимо порядок сумування і винесемо множник, не залежний від k, за внутрішній знак суми.

Врахуємо, що в силу того, що в матриці, детермінантом якої є , в порівнянні з матрицею А пропущено перший стовпчик і всі номери стовпчиків зменшені на 1. Таким чином, маємо

=

1.35. Властивість. Для любої квадратної матриці .

Скористаємось знову методом математичної індукції. Для матриць другого порядку маємо:

,

.

Вважаємо, що . Тоді, використовуючи означення 1.36. для знаходження визначника матриці та властивість 1.34. для знаходження визначника транспонованої матриці , запишемо

,

де - елементи першого стовпчика транспонованої матриці, тобто . Враховуючи, що , приходимо до рівності .

1.37. Наслідок. З властивості 1.35. витікає рівноправність стрічок і стовпчиків – якщо справедливе яке-небудь твердження про детермінанти, яке має відношення до стрічок відповідної матриці, то є справедливим і аналогічне твердження, яке стосується стовпчиків. В силу цього наступні властивості достатньо довести тільки для стрічок.

1.38. Властивість. Якщо в квадратній матриці поміняти місцями які-небудь дві стрічки (два стовпчики), то детермінант матриці поміняє знак, не змінившись за абсолютніою величиною.

Використовуємо для доведення метод математичної індукції

.

Припустимо, що твердження справедливе для матриць порядку () і доведено його для матриць порядку n.

.

Аналогічно для матриці В, яка отримується з матриці А перестановкою k–ої і стрічок

.

При , в і входять і стрічки, але в різному порядку, а інші їх стрічки однакові, отже згідно припущенню індукції при , . Матриці, детермінанти яких позначено і співпадають – вони отримані викреслюванням стрічки з матриці В або, що те ж саме, k-ої стрічки матриці А. Тому =.

Таким чином, порівнюючи і бачимо, що вони рівні за абсолютною величиною і відрізняються знаком. Нехай тепер в матриці А порядку n переставлено стрічки з номером і та j (). Перестановку і-ої та j-ої стрічок можна провести, переставляючи тільки сусідні стрічки: спочатку j–ту стрічку переставляємо послідовно з стрічками, які стоять над нею (остання буде і-та), потім і-у стрічку переставляємо на j-те місце міняючи місцем з стрічками, розташованими нижче від неї. Всього буде зроблено непарну кількість перестановок сусідніх стрічок. Так як при кожній з перестановок детермінант змінює знак, то в результаті знак детермінанту зміниться.

Властивість 1.37. називають антисиметрією детермінанту відносно перестановок стрічок (стовпчиків).

Використовучи властивість антисиметрії можемо довести наступне.

1.39. Властивість. Для кожної квадратної матриці А порядку n при довільному і () має місце співвідношення

і при довільному j ()

Очевидно, при перше співвідношення є означенням детермінанту.

Доведемо це співвідношення при . Для цього переставимо і-ту стрічку на перше місце так, щоб не порушувати порядок інших стрічок, переставляючи і–ту стрічку послідовно з усіма стрічками, розташованими вище неї. Вище і-ої стрічки знаходиться стрічка, Тому, якщо В – матриця, отримана з матриці після перестановки -ої стрічки на місце першої, то .

Розкладемо по першій стрічці (і-ій стрічці матриці А)

,

де – визначник матриці, яка отримується з матриці В викреслюванням першої стрічки і k-ого стовпчика, або, що те ж саме – з матриці А викреслюванням і-ої стрічки і k–ого стовпчика. Тому . Враховуючи, що , отримаємо .

1.40. Властивість. Якщо і-ий стовпчик (стрічка) матриці А є лінійна комбінація стовпчиків (стрічок) та , тобто має вигляд де і – довільні числа, то , де матриці і отримуються з матриці А заміною її і-го стовпчика відповідно на стовпчики і .

Ця властивість носить назву лінійності детермінанта по стовпчику (стрічці).

Дійсно, розкладемо визначник за і-тим стовпчиком і врахуємо :

1.41. Зауваження. Цю властивість лінійності детермінанту по стовпчику можна сформулювати у вигляді двох окремих властивостей.

1). При множенні стовпчика матриці на число її детермінант множиться на це число.

2). Якщо стовпчик матриці є сумою двох стовпчиків, то її детермінант є сума детермінантів відповідних матриць.

1.42. Властивість. Якщо в матриці А стовпчики (стрічки) лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

В першу чергу зауважимо, що якщо в матрицю входить нульовий рядок або нульовий стовпчик, то її визначник очевидно є рівним нулю. Крім цього, з властивості антисиметрії визначника слідує, що якщо матриця утримує два ідентичних рядки або стовпчики, то її визначник також дорівнює нулю. Якщо рядки в заданій матриці є лінійно залежними, то це означає, що хоча б один рядок (нехай його номер є ) матриці є лінійною комбінацією інших рядків цієї матриці, тобто є справедливою наступна рівність:

.

Тоді, розкладаючи визначник цієї матриці за і-тим рядочком і використовуючи властивість 1.39., отримуємо

де – матриця, в якій на місці і-ого рядка знаходиться будь-який k-тий рядок цієї матриці, який не співпадає з і-тим рядком. Отже, кожна матриця утримує дві ідентичні стрічки, тому визначник кожної з цих матриць дорівнює нулю, тобто