§ 8. Загальна теорія лінійних систем.

Теорема 1.55 про базисний мінор дозволяє сформулювати наступну умову сумісності довільно заданої СЛАР

1.80.

Запишемо задачу СЛАР таким чином

Необхідність. Якщо розв’язок існує, то така форма запису означає, що стовпчик вільних членів є лінійна комбінація стовпчиків матриці системи, отже додавання цього стовпчика не змінить загального числа лінійно незалежних стовпчиків, тому .

Достатність. Нехай . В цьому випадку базисний мінор матриці А є базисним і в матриці А*. Це означає, що стовпчик вільних членів є лінійна комбінація тих стовпчиків матриці А, в яких розташований базисний мінор, тоді згідно доведеному раніше припущенню, стовпчик є лінійною комбінацією любої системи стовпчиків, які утримують, в яких розташований базисний мінор, як підсистему. Отже в цьому випадку стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією всіх стовпчиків матриці А. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації являють собою розв’язок системи СЛАР.

1.81. Наслідок. СЛАР несумісна тоді і тільки тоді, коли в спрощений вигляд матриці А* входить стрічка .

Якщо , то любий базисний мінор розширеної матриці А* повинен утримувати останній стовпчик. Якщо останній стовпчик є базисним, то в спрощений вигляд матриці А* повинна входити стрічка . Навпаки, якщо така стрічка є в матриці, то її останній стовпчик не може бути лінійною комбінацією інших отже , і система несумісна.