§ 8. Загальна теорія лінійних систем.
Теорема 1.55 про базисний мінор дозволяє сформулювати наступну умову сумісності довільно заданої СЛАР
1.80.
Теорема. Кронекера-Капеллі. СЛАР має хоча б один розв’язок в тому і тільки в тому випадку, коли ранг матриці системи А дорівнює рангу розширеної матриці А*.
Запишемо задачу СЛАР таким чином
Необхідність. Якщо розв’язок існує, то така форма запису означає, що стовпчик вільних членів є лінійна комбінація стовпчиків матриці системи, отже додавання цього стовпчика не змінить загального числа лінійно незалежних стовпчиків, тому 
.
Достатність. Нехай . В цьому випадку базисний мінор матриці А є базисним і в матриці А*. Це означає, що стовпчик вільних членів є лінійна комбінація тих стовпчиків 
матриці А, в яких розташований базисний мінор, тоді згідно доведеному раніше припущенню, стовпчик 
є лінійною комбінацією любої системи стовпчиків, які утримують, в яких розташований базисний мінор, як підсистему. Отже в цьому випадку стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією всіх стовпчиків матриці А. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації являють собою розв’язок системи СЛАР.
1.81. Наслідок. СЛАР несумісна тоді і тільки тоді, коли в спрощений вигляд матриці А* входить стрічка 
.
Якщо 
, то любий базисний мінор розширеної матриці А* повинен утримувати останній стовпчик. Якщо останній стовпчик є базисним, то в спрощений вигляд матриці А* повинна входити стрічка 
. Навпаки, якщо така стрічка є в матриці, то її останній стовпчик не може бути лінійною комбінацією інших отже , і система несумісна.