<<
>>

Основні поняття та визначення.

1.1. Означення. Матрицею розмірів , (тут ) назвемо сукупність виразів, розташованих у вигляді таблиці з m стрічок та n стовпчиків.

=

Вирази, які складають матрицю, називаються елементами матриці. В загальному випадку елементи матриці можуть мати довільну природу – це можуть бути дійсні або комплексні числа, символи, функції і т.д.

Якщо число стрічок в матриці дорівнює числу стовпчиків, то матриця називається квадратною, а число стрічок – порядком матриці. Інші матриці носять назву прямокутних. Матриці складаються з m стрічок та n стовпчиків, тому їх часто називають матрицями. Для матриці можна використовувати коротке позначення , а якщо розміри матриці обумовлено завчасно, то не вказуючи їх, будемо писати або . Елементи матриці позначають буквами з двома індексами: aij або ai j, Якщо два індекси розташовані внизу, то перший з них означає номер стрічки, а другий – номер стовпчика, на перетині яких розташований даний елемент матриці.

Якщо ж один з індексів розташовано вверху, то тоді цей індекс означає номер стрічки, а нижній – номер стовпчика (не плутати верхні індекси з показниками степені!).

1.2. Зауваження. Для матриць, ялементами яких є дійсні або комплексні числа (числові матриці) справедливим є і таке означення – розглянемо дві множини цілих чисел: та Через позначимо множину всіх пар чисел виду , де – число з множини I, j - число з множини J. Матрицею називається функція на множині , тобто закон, який співставляє кожній парі деяке число .

1.3. Означення. Дві матриці і називають рівними, якщо вони мають одинакові розміри (кількість стовпчиків і стрічок матриць співпадають) і їх елементи, які стоять на однакових місцях, є рівними: .

1.4. Означення. Нехай і – матриці, які складаються з m стрічок і n стовпчиків. Сумою матриць і називають матрицю тих же розмірів , кожен елемент якої дорівнює сумі елементів матриць та , які стоять на тих же місцях, тобто елементи матриці пов’язані з елементами та матриць та рівністю

для всіх ; .

Суму матриць та позначають .

1.5. Зауваження. Операція “сума матриць” визначена тільки для матриць одних і тих же розмірів!

1.6. Означення. Матриця , елементи якої дорівнюють добутку елементів матриці на дійсне або комплексне число α називається добутком матриці на число α і позначається . Маємо

для всіх ; .

З означень 1.3. і 1.4. витікають наступні властивості операцій додавання матриць і одних і тих же розмірів та множення матриці на довільні числа α і β.

1.7. Властивість. Додавання матриць є комутативною операцією, тобто .

1.8. Властивість. Додавання матриць є асоціативною операцією:

.

1.9. Властивість. Множення матриці на число є дистрибутивною операцією по відношенню до додавання чисел:

1.10.

Властивість. Множення матриці на число є дистрибутивною операцією по відношенню до додавання матриць:

1.11. Властивість. Множення матриці на число – асоціативна операція:

1.12. Означення. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею. Якщо – нульова матриця розмірів , то для любої матриці тих же розмірів маємо .

1.13. Означення. Матрицю (-1) називають протилежною до матриці і позначаємо . Матриця, протилежна до заданої матриці, має властивість

1.14. Означення. Операція віднімання матриць визначається через операції додавання матриць та множення матриці на число, тобто сума матриць і називається різницею матриць та і позначається

1.15. Означення. Квадратна матриця довільного порядку n всі “n” елементи якої розташовані на головній діагоналі і дорівнюють 1, а всі інші елементи дорівнюють нулю, називається одиничною і позначається .

1.16. Означення. Матрицю розмірів , тобто таку, яка складається з однієї стрічки, називають матрицею-стрічною або вектор-стрічкою або просто стрічкою довжини n. Матрицю розмірів , яка складається з одного стовпчика, називають матрицею-стовпчиком або вектор-стовпчиком висоти m або просто стовпчиком.

В подальшому зручно застосовувати позначення векторів-стовпчиків і векторів-стрічок, уперше запропоновані Полем Діраком. Зручність цих позначень полягає в тому, що вектор-стовпчик важко переплутати з вектор-стрічкою , а добуток матриць, що є числом, з добутком , який є матрицею порядку n (операцію множення матриць буде означено пізніше) Позначення Дірака широко застосовуються в сучасній літературі з квантової механіки, квантової теорії поля, квантової оптики, фізики твердого тіла тощо.

Матрицю = довільних розмірів можна розглядати як сукупність стовпчиків висоти m або сукупність стрічок довжини n. Нехай , тоді матрицю можна записати у такому вигляді . Аналогічно, якщо

,

тоді та ж матриця запишеться у такому вигляді =.

1.17. Зауваження. Операцію додавання векторів-стрічок визначено для векторів-стрічок однієї довжини, так само як додавання векторів-стовпчиків – тільки для векторів-стовпчиків однієї висоти. Для цих двох видів матриць ми детальніше вивчимо операції додавання і множення на число. При цьому мова буде йти тільки про вектори-стовпчики, так як для векторів-стрічок всі властивості формуються і доводяться аналогічно.

1.18. Означення. Вектор-стовпчик називається лінійною комбінацією стовпчиків однакової висоти, якщо при деяких числах α1 , …, αm або більш детально

Числа називають коефіцієнтами лінійної комбінації. В силу означень операцій множення матриці на число та додавання ця рівність рівносильна числовим рівностям

1.19. Означення. Вектор-стовпчик, всі елементи якого дорівнюють нулеві, називається нульовим і позначається наступним чином . Аналогічно визначається і нульова вектор-стрічка

1.20. Означення. Система з s стовпчиків однієї і тієї ж висоти називається лінійно незалежною, якщо з рівності

слідує . В противному випадку система з s стовпчиків є лінійно залежною.

1.21. Означення. Лінійну комбінацію вектор-стовпчиків, всі s коефіцієнтів якої дорівнюють нулеві, називають тривіальною. З допомогою цього терміну означення 1.20. можна сформулювати так: система стовпчиків є лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому стовпчику нетривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків. Система стовпчиків є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли тільки тривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків дорівнює нульовому стовпчику.

1.22. Приклад. Лінійно незалежною системою вектор-стовпчиків є наступна система з n вектор-стовпчиків:

1.23. Властивість. Система з s > 1 стовпчиків лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших стовпчиків.

Нехай система є лінійно залежною. Тоді, згідно означенню 1.20., існує нетривіальна лінійна комбінація системи векторів-стовпчиків, що розглядаються, рівна нульовому вектор-стовпчику:

Нехай який-небудь з коефіцієнтів Звідси

тобто j-тий стовпчик є лінійною комбінацією інших стовпчиків. Навпаки, якщо один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших, тобто має місце рівність то з цієї рівності слідує існування нетривіальної лінійної комбінації векторів з відмінними від нуля коефіцієнтами, рівної нульовому вектору

1.24. Властивість. Якщо система векторів утримує нульовий вектор стовпчик, то система є лінійно залежною.

Дійсно, любий нульовий стовпчик є тривіальна лінійна комбінація довільної системи вектор-стовпчиків, тобто доведення цієї властивості зводиться до доведення попередньої властивості.

1.25. Властивість. Якщо деякі з стовпчиків даної системи утворюють самі по собі лінійно залежну підсистему стовпчиків, то і вся система є лінійно залежною.

В силу сформульованого, існує нетривіальна лінійна комбінація деякої підсистеми заданої системи стовпчиків, рівна нульовому стовпчику. Якщо до цієї комбінації стовпчиків додати інші стовпчики заданої системи з нульовими коефіцієнтами, то отримаємо нетривіальну лінійну комбінацію всіх стовпчиків, яка дорівнює нульовому стовпчику.

1.26. Властивість. Любі стовпчики, які входять в лінійно незалежну систему стовпчиків, самі по собі утворюють лінійно незалежну систему.

Якби було не так, то ми прийшли б до протиріччя з попередньою властивістю.

1.27. Властивість. Якщо стовпчик є лінійна комбінація стовпчиків , які є підсистемою деякої системи стовпиків , то є також лінійною комбінацією цієї системи стовпчиків.

Для доведення до даної лінійної комбінації підсистеми достатньо добавити ті стовпчики системи стовпчиків, яких не вистачає, з нульовими коефіцієнтами.

1.28. Властивість. Любий стовпчик висоти n є лінійною комбінацією стовпчиків

Дійсно, яким би не був стовпчик , лінійна комбінація стовпчиків з коефіцієнтами, які співпадають з відповідними елементами заданої матриці, дорівнює заданій матриці :

.

Розглянемо матрицю з m стрічок та n стовпчиків. Їй можна співставити матрицю з n стрічок та m стовпчиків за наступним правилом: елементи кожньої стрічки матриці записуються в тому ж порядку в стовпчики матриці , причому номер стовпчика співпадає є номером стрічки, тобто -та стрічка матриці складається з тих же елементів і в тому ж порядку, що й -ий стовпчик матриці

.

Таку матрицю називають транспонованою по відношенню до і позначають , перехід від до називають транспонуванням. Визначення транспонованої матриці можна записати у вигляді рівностей: , , ,..., ,..., , які зв’язують елементи матриці і для всіх , .

1.29. Приклад. Матриці , і називається матрицями Паулі і відіграють надзвичайно важливу роль в квантовій механіці і квантовій теорії поля.

Для цих матриць маємо

, і .

Очевидно, , і .

1.30. Означення. Матриці, для яких справедливо , називаються симетричними, а матриці для яких , називаються антисиметричними. Матриці і є симетричними, а матриця є антисиметричною.

<< | >>
Источник: Линейная алгебра. Лекция. 2016

Еще по теме Основні поняття та визначення.:

  1. § 1. Поняття та види сімейних правовідносин
  2. § 4. Поняття держави, основні ознаки.
  3. 1.3. Основні положення загальної теорії правової системи 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства 1.3.1. Правова система як підсистема суспільства
  4. 1.3.2. Поняття правової системи суспільства та її структура 1.3.2. Поняття правової системи суспільства та її структура
  5. ТЕМА і. ПОНЯТТЯ, СУТНІСТЬ ТА ПРИЗНАЧЕННЯ ДЕРЖАВИ
  6. 1. РОЗКРИТИ ПОНЯТТЯ ПСИХОЛОГІЧНОГО КОНСУЛЬТУВАННЯ
  7. СЛОВНИК ОСНОВНИХ ТЕРМІНІВ
  8. ПРОБЛЕМА ВИЗНАЧЕННЯ ПРЕДМЕТУ ГОСПОДАРСЬКОГО КОНТРОЛЮ В ОБЛІКОВО-ЕКОНОМІЧНІЙ ЛІТЕРАТУРІ
  9. ВНУТРІШНЬОГОСПОДАРСЬКИЙ КОНТРОЛЬ: ПРОБЛЕМА ВИЗНАЧЕННЯ В ЕКОНОМІЧНІЙ ЛІТЕРАТУРІ
  10. 3. Проблематичність визначення сутності та змісту поняття «фінансові ресурси» з погляду на множинність суб'єктів господарювання
  11. РОЗДІЛ 3. Поняття
  12. Тема 3. Поняття
  13. 1.1 Поняття та зміст адміністративно-правового забезпечення функціонування системи електронних закупівель в Україні
  14. Поняття та елементи адміністративно-правового статусу прокуратури України
  15. Зарубіжний досвід визначення адміністративно-правового статусу прокуратури
  16. Поняття та значення поліцейських послуг у сфері забезпечення публічної безпеки і порядку