Основні поняття та визначення.

1.1. Означення. Матрицею розмірів , (тут ) назвемо сукупність виразів, розташованих у вигляді таблиці з m стрічок та n стовпчиків.

=

Вирази, які складають матрицю, називаються елементами матриці. В загальному випадку елементи матриці можуть мати довільну природу – це можуть бути дійсні або комплексні числа, символи, функції і т.д.

Якщо число стрічок в матриці дорівнює числу стовпчиків, то матриця називається квадратною, а число стрічок – порядком матриці. Інші матриці носять назву прямокутних. Матриці складаються з m стрічок та n стовпчиків, тому їх часто називають матрицями. Для матриці можна використовувати коротке позначення , а якщо розміри матриці обумовлено завчасно, то не вказуючи їх, будемо писати або . Елементи матриці позначають буквами з двома індексами: aⁱ_j або a_{i j}, Якщо два індекси розташовані внизу, то перший з них означає номер стрічки, а другий – номер стовпчика, на перетині яких розташований даний елемент матриці.

1.2. Зауваження. Для матриць, ялементами яких є дійсні або комплексні числа (числові матриці) справедливим є і таке означення – розглянемо дві множини цілих чисел: та Через позначимо множину всіх пар чисел виду , де – число з множини I, j - число з множини J. Матрицею називається функція на множині , тобто закон, який співставляє кожній парі деяке число .

1.3. Означення. Дві матриці і називають рівними, якщо вони мають одинакові розміри (кількість стовпчиків і стрічок матриць співпадають) і їх елементи, які стоять на однакових місцях, є рівними: .

1.4. Означення. Нехай і – матриці, які складаються з m стрічок і n стовпчиків. Сумою матриць і називають матрицю тих же розмірів , кожен елемент якої дорівнює сумі елементів матриць та , які стоять на тих же місцях, тобто елементи матриці пов’язані з елементами та матриць та рівністю

для всіх ; .

Суму матриць та позначають .

1.5. Зауваження. Операція “сума матриць” визначена тільки для матриць одних і тих же розмірів!

1.6. Означення. Матриця , елементи якої дорівнюють добутку елементів матриці на дійсне або комплексне число α називається добутком матриці на число α і позначається . Маємо

для всіх ; .

З означень 1.3. і 1.4. витікають наступні властивості операцій додавання матриць і одних і тих же розмірів та множення матриці на довільні числа α і β.

1.7. Властивість. Додавання матриць є комутативною операцією, тобто .

1.8. Властивість. Додавання матриць є асоціативною операцією:

.

1.9. Властивість. Множення матриці на число є дистрибутивною операцією по відношенню до додавання чисел:

1.10.

1.11. Властивість. Множення матриці на число – асоціативна операція:

1.12. Означення. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею. Якщо – нульова матриця розмірів , то для любої матриці тих же розмірів маємо .

1.13. Означення. Матрицю (-1) називають протилежною до матриці і позначаємо . Матриця, протилежна до заданої матриці, має властивість

1.14. Означення. Операція віднімання матриць визначається через операції додавання матриць та множення матриці на число, тобто сума матриць і називається різницею матриць та і позначається

1.15. Означення. Квадратна матриця довільного порядку n всі “n” елементи якої розташовані на головній діагоналі і дорівнюють 1, а всі інші елементи дорівнюють нулю, називається одиничною і позначається .

1.16. Означення. Матрицю розмірів , тобто таку, яка складається з однієї стрічки, називають матрицею-стрічною або вектор-стрічкою або просто стрічкою довжини n. Матрицю розмірів , яка складається з одного стовпчика, називають матрицею-стовпчиком або вектор-стовпчиком висоти m або просто стовпчиком.

В подальшому зручно застосовувати позначення векторів-стовпчиків і векторів-стрічок, уперше запропоновані Полем Діраком. Зручність цих позначень полягає в тому, що вектор-стовпчик важко переплутати з вектор-стрічкою , а добуток матриць, що є числом, з добутком _, який є матрицею порядку n (операцію множення матриць буде означено пізніше) Позначення Дірака широко застосовуються в сучасній літературі з квантової механіки, квантової теорії поля, квантової оптики, фізики твердого тіла тощо.

Матрицю = довільних розмірів можна розглядати як сукупність стовпчиків висоти m або сукупність стрічок довжини n. Нехай , тоді матрицю можна записати у такому вигляді . Аналогічно, якщо

,

тоді та ж матриця запишеться у такому вигляді =.

1.17. Зауваження. Операцію додавання векторів-стрічок визначено для векторів-стрічок однієї довжини, так само як додавання векторів-стовпчиків – тільки для векторів-стовпчиків однієї висоти. Для цих двох видів матриць ми детальніше вивчимо операції додавання і множення на число. При цьому мова буде йти тільки про вектори-стовпчики, так як для векторів-стрічок всі властивості формуються і доводяться аналогічно.

1.18. Означення. Вектор-стовпчик називається лінійною комбінацією стовпчиків однакової висоти, якщо при деяких числах α₁ , …, α_m або більш детально

Числа називають коефіцієнтами лінійної комбінації. В силу означень операцій множення матриці на число та додавання ця рівність рівносильна числовим рівностям

1.19. Означення. Вектор-стовпчик, всі елементи якого дорівнюють нулеві, називається нульовим і позначається наступним чином . Аналогічно визначається і нульова вектор-стрічка

1.20. Означення. Система з s стовпчиків однієї і тієї ж висоти називається лінійно незалежною, якщо з рівності

слідує . В противному випадку система з s стовпчиків є лінійно залежною.

1.21. Означення. Лінійну комбінацію вектор-стовпчиків, всі s коефіцієнтів якої дорівнюють нулеві, називають тривіальною. З допомогою цього терміну означення 1.20. можна сформулювати так: система стовпчиків є лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому стовпчику нетривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків. Система стовпчиків є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли тільки тривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків дорівнює нульовому стовпчику.

1.22. Приклад. Лінійно незалежною системою вектор-стовпчиків є наступна система з n вектор-стовпчиків:

1.23. Властивість. Система з s > 1 стовпчиків лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших стовпчиків.

Нехай система є лінійно залежною. Тоді, згідно означенню 1.20., існує нетривіальна лінійна комбінація системи векторів-стовпчиків, що розглядаються, рівна нульовому вектор-стовпчику:

Нехай який-небудь з коефіцієнтів Звідси

тобто j-тий стовпчик є лінійною комбінацією інших стовпчиків. Навпаки, якщо один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших, тобто має місце рівність то з цієї рівності слідує існування нетривіальної лінійної комбінації векторів з відмінними від нуля коефіцієнтами, рівної нульовому вектору

1.24. Властивість. Якщо система векторів утримує нульовий вектор стовпчик, то система є лінійно залежною.

Дійсно, любий нульовий стовпчик є тривіальна лінійна комбінація довільної системи вектор-стовпчиків, тобто доведення цієї властивості зводиться до доведення попередньої властивості.

1.25. Властивість. Якщо деякі з стовпчиків даної системи утворюють самі по собі лінійно залежну підсистему стовпчиків, то і вся система є лінійно залежною.

В силу сформульованого, існує нетривіальна лінійна комбінація деякої підсистеми заданої системи стовпчиків, рівна нульовому стовпчику. Якщо до цієї комбінації стовпчиків додати інші стовпчики заданої системи з нульовими коефіцієнтами, то отримаємо нетривіальну лінійну комбінацію всіх стовпчиків, яка дорівнює нульовому стовпчику.

1.26. Властивість. Любі стовпчики, які входять в лінійно незалежну систему стовпчиків, самі по собі утворюють лінійно незалежну систему.

Якби було не так, то ми прийшли б до протиріччя з попередньою властивістю.

1.27. Властивість. Якщо стовпчик є лінійна комбінація стовпчиків , які є підсистемою деякої системи стовпиків , то є також лінійною комбінацією цієї системи стовпчиків.

Для доведення до даної лінійної комбінації підсистеми достатньо добавити ті стовпчики системи стовпчиків, яких не вистачає, з нульовими коефіцієнтами.

1.28. Властивість. Любий стовпчик висоти n є лінійною комбінацією стовпчиків

Дійсно, яким би не був стовпчик , лінійна комбінація стовпчиків з коефіцієнтами, які співпадають з відповідними елементами заданої матриці, дорівнює заданій матриці :

.

Розглянемо матрицю з m стрічок та n стовпчиків. Їй можна співставити матрицю з n стрічок та m стовпчиків за наступним правилом: елементи кожньої стрічки матриці записуються в тому ж порядку в стовпчики матриці , причому номер стовпчика співпадає є номером стрічки, тобто -та стрічка матриці складається з тих же елементів і в тому ж порядку, що й -ий стовпчик матриці

.

Таку матрицю називають транспонованою по відношенню до і позначають , перехід від до називають транспонуванням. Визначення транспонованої матриці можна записати у вигляді рівностей: , , ,..., ,..., , які зв’язують елементи матриці і для всіх , .

1.29. Приклад. Матриці , і називається матрицями Паулі і відіграють надзвичайно важливу роль в квантовій механіці і квантовій теорії поля.

Для цих матриць маємо

, і .

Очевидно, , і .

1.30. Означення. Матриці, для яких справедливо , називаються симетричними, а матриці для яких , називаються антисиметричними. Матриці і є симетричними, а матриця є антисиметричною.