§ 4. Мінори. Мінори довільного порядку. Ранг матриці.

Нагадаємо, що число називається додатковим мінором довільного елементу квадратної матриці A і дорівнює детермінанту матриці , яка отримується з матриці А викреслюванням і-ої стрічки та j-го стовпчика.

Виберемо в необов’язково квадратній матриці s номерів стрічок і s номерів стовпчиків , причому будемо вважати, що ці номери розташовані в порядку зростання , .

1.49. Означення. Мінором порядку s матриці А називається детермінант матриці порядку s, утвореної елементами, розташованими на перетині вибраних стрічок і стовпчика, тобто

1.50. Зауваження. Якщо матриця квадратна, то кожному мінору можна співставити додатковий мінор – визначення матриці порядку , який отримується з А викреслюванням стрічок з номерами і стовпчиків , тобто тих, в яких розташований мінор .

де сума береться по всіх можливих перестановках таким, що .

1.51. Означення. В матриці А розмірів мінор порядку r називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі мінори порядку () дорівнюють нулю або мінорів порядку () взагалі немає, тобто r співпадає з найменшим з чисел m та n.

В матриці може бути декілька базисних мінорів, але всі базисні мінори мають один і той же порядок. Стовпчики і стрічки, на перетині яких розташований базисний мінор, називаються базисними стовпчиками і стрічками.

1.52. Означення. Рангом матриці називається порядок базисного мінора, або самий великий порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори. Якщо кожен елемент матриці дорівнює нулю, то ранг такої матриці дорівнює нулю.

1.53. Зауваження. Ранг матриці позначають . Ранг матриці – це число.

Найпростіше знаходити ранг матриці і її базисний мінор за допомогою елементарних перетворень.

1.54. Припущення. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Дійсно,

а) При множенні стрічки на число λ ≠ 0 базисний мінор або не зміниться або помножиться на λ. Ні один мінор, рівний нулю, не стане відмінним від нуля .

б) Якщо всі мінори порядку () дорівнюють нулю, то додавання стрічок не зробить ні один з них відмінним від нуля (на основі властивостей детермінантів).

в) При перестановці стрічок мінор може змінити знак або може змінитись на мінор, який не більше ніж знаком відрізняється від іншого мінора тієї ж матриці або взагалі не зміниться.

На практиці ранг матриці знаходять методом приведення матриці до спрощеного вигляду.

Нехай дано матрицю А розмірів . Нехай – номер першого стовпчика, який утримує ненульові елементи. Якщо такого стовпчика немає, тоді базисного мінора немає, а отже . Нехай – ненульовий елемент -го стовпчика. Переставимо -ту стрічку на перше місце і розділимо її на , а елементарними перетвореннями всі інші елементи -го стовпчика перетворимо в нуль

Тут V₁ – матриця розмірів .

Може виявитись, що останні стрічок матриці А нульові, тоді перетворення завершені і. В протилежному випадку, нехай – номер самого лівого стовпчика, який утримує ненульовий елемент в останніх стрічках.

Матриця матиме наступний вигляд:

Якщо в останніх стрічках є ненульові елементи, то продовжуємо ті ж перетворення і т.д. до тих пір, поки останні стрічок матриці будуть складлатись з нулів або ж не будуть вичерпані всі стрічки.

Таким чином за допомогою елементарних перетворень стовпчиків кожну матрицю розмірів можна привести до наступного вигляду - деякі r стовпчиків співпадають з першими r стовпчиками одиничної матриці порядку m. Якщо , то останні стрічок складаються з нулів. Матриці такого виду називають спрощеними. Мінор спрощеної матриці, розташований в перших r стрічках і стовпчиках дорівнює 1, ненульових мінорів більшого порядку немає, отже цей мінор є базисним, а ранг спрощеної матриці дорівнює r.

Розглянемо квадратну матрицю з відмінним від нуля визначником (). У неї всі стовпчики базисні отже її спрощений вигляд – одинична матриця, тобто кожну квадратну матрицю з ненульовим визначником можна перетворити в одиничну матрицю.

Очевидно, що якщо А – матриця розмірів , то який би не був базисний мінор цієї матриці, при допомозі елементарних перетворень стрічок матриці А ми можемо перетворити базисні стовпчики в стовпчики одиничної матриці. Якщо , то останні стрічок будуть нульові. · Мають місце наступні теореми про базисний мінор

1.55. Теорема. В довільній матриці кожен стовпчик є лінійною комбінацією базисних стовпчиків, а кожна стрічка – лінійною комбінацією базисних стрічок.

Для доведення достатньо згадати метод Гауса приведення матриці до спрощеного вигляду – до небазисних стрічок додавались базисні і в результаті отримували нульову стрічку.

1.56. Наслідок. Якщо А – квадратна матриця і , то хоча б один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших стовпчиків, а одна з стрічок – лінійна комбінація інших стрічок.

1.57. Теорема. Ранг матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпчиків цієї матриці.

Якщо , то всі стовпчики є нульові і немає ні одного лінійно незалежного стовпчика.

Доведемо, що любі р стовпчиків матриці А лінійно залежні, якщо . Складемо матрицю В з цих р стовпчиків. Очевидно, що , тобто кожен мінор матриці В є мінором матриці А, отже , a . Так як , то хоча б один із стовпчиків матриці В не входить в базисний мінор, а отже є залежним. Аналогічно доводиться, що ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стрічок.

Очевидно, що ранг матриці не змінюється при її транспонуванні.

1.58. Приклад. Знайти ранг матриці

.

Скористаємося тим, що елементарні перетворення не змінюють ранг матриці. Крок 1 – до 2-ої і 3-ої стрічок додаємо 1 стрічку, помножену відповідно на і . Отримаємо

Аналізуємо частину отриманої матриці, яка знаходиться нижче 1-ої стрічки і правіше 1-го стовпчика. Відмінний від нуля елемент знаходиться на перетині 2-ої стрічки і 3-го стовпчика, тому крок 2 – до 3-ої стрічки додаємо 2-гу стрічку, домножену на і отримуємо

Оскільки в отриманій матриці нижче другої стрічки і правіше третього стовпчика відмінних від нуля елементів немає, то .