§ 28. Матриця Грама

· Вираз скалярного добутку через координати векторів-співмножників

Розглянемо довільний базис у просторі Евкліда.

3.34. Означення. Матрицю, елементами якої є скалярні добутки g_ij векторів базису називають матрицею Грама базису й у зв'язку з її назвою позначають літерою . Отже,

(3.6)

де введено позначення

Враховуючи введені позначення, одержуємо два еквівалентних вирази скалярного добутку векторів x та y

(3.7)

де, як і раніше, символами та позначено координатний рядок та стовпчик вектора x та y відповідно. · Приклади матриць Грама і формул для обчислення скалярного добутку векторів

3.35. Приклад. Матриця Грама ортонормованого базису дорівнює одиничній матриці, тобто а вирази (3.7) набувають вигляду

3.36.

Рис. 4

Формули (3.6) набувають такого вигляду:

(3.8)

3.37. Приклад. Матриця Грама косокутного базису у тривимірному просторі геометричних векторів виражається в термінах довжин цих векторів e₁, e₂, e₃ і кутів та між e₁ і e₂, e₁ і e₃ та e₂ і e₃ відповідно

Формули (3.6) у даному випадку можна переписати у вигляді

(3.9) · Зв'язок між матрицями Грама різних базисів

Розглянемо два базиси та з матрицями Грама та відповідно. Нехай матриця переходу від нештрихованого базису до штрихованого, тобто У такому разі, за означенням матриці Грама,

Таким чином, зв'язок між матрицями Грама двох різних базисів визначається співвідношенням

(3.10)

де T ^T – транспонована матриця переходу.

Виходячи із означення 3.34 та зважаючи на співвідношення (3.10), можна встановити основні властивості матриці Грама.

3.38. Властивість. Матриця Грама будь-якого базису є симетричною матрицею, тобто або, що те ж саме,

 Випливає з виразів (3.6) та комунікативності скалярного добутку

3.39. Властивість. Визначник матриці Грама будь-якого базису дорівнює квадрату визначника матриці переходу від деякого ортонормованого базису до

 Згідно з властивістю 3.29 вихідний базис завжди може бути ортогоналізований шляхом утворення лінійних комбінацій базисних векторів, тому, існує матриця переходу від цього базису до ортонормованого, а отже, існує і матриця Т переходу від ортонормованого базису до . Оскільки, матриця Грама ортонормованого базису є одиничною матрицею, з (3.10) випливає, що матриця Грама вихідного базису задовольняє співвідношення З теорії визначників відомо, що а також, Таким чином, приходимо до висновку, що 

3.40. Властивість. Визначник матриці Грама будь-якого базису є додатним.

 Безпосередньо випливає з попередньої властивості, коли врахувати, що матриця переходу є невиродженою (неособливою), тобто (див. властивість 2.57).

3.41. Наслідок. З указаної зараз властивості випливає, що матриця Грама невироджена, а тому існує матриця ^–1 обернена до неї. Оскільки, матриця Грама симетрична, обернена матриця також є симетричною. Визначник оберненої матриці є додатним:

· Ортогональні матриці

3.42. Означення. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису називається ортогональною.

3.43. Властивість. Якщо матриця T ортогональна, то або, що те ж саме,

 Якщо два базиси ортонормовані, то їх матриці Грама дорівнюють одиничній матриці. Тоді співвідношення (3.10) набуває вигляду а отже, Тепер пригадаємо, що матрицею, оберненою до матриці T, за означенням називають матрицю , яка задовольняє рівність звідки і випливає подана властивість ( оскільки, як відомо, 

3.44. Властивість. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

 З попередньої властивості випливає, що а за відомими теоремами з теорії визначників Отже, звідки стає очевидною вказана властивість.

3.45. Властивість. Стовпчики та рядочки ортогональної матриці T задовольняють співвідношення

 Дані співвідношення є векторною формою запису матричної рівності Останнє стає очевидним, коли зважити на те, що цю матричну рівність можна записати у вигляді співвідношення між елементами матриці: 