<<
>>

Тема 2. Матрицы.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (, ): , состоящая из строк и столбцов.

Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут .

Если , то матрица называется квадратной.

Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например: . Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: . Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: . Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементов равны нулю, например: .

Матрицы и называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: ,,.

Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.

Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .

Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:

, ,.

Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой: , , .

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , ,,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу:

, , .

Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованными для умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: , т.е.

переместительное свойство места не имеет.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут .

Обратной к квадратной матрице порядка , называется матрица того же порядка, если: , где - единичная матрица порядка .

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если-невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: .

Здесь - алгебраические дополнения

элементов матрицы .

В частности, если , то

Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду, что всегда возможно, если - невырожденная.

Матричными называются уравнения вида: , , ,

где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если квадратные матрицы и - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .

Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её строк и столбцов .

Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.

<< | >>
Источник: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н.. Математика. Часть 1: Учебно-методический комплекс для студентов заочной и дистанционной форм обучения по экономическим специальностям. / Составители: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н. Набережные Челны: Изд-во: ИНЭКА, 2006, 125 с.. 2006

Еще по теме Тема 2. Матрицы.:

  1. Глава IМЕНТАЛИТЕТ КАК СИСТЕМА СОЦИОКУЛЬТУРНЫХ УСТАНОВОК
  2. 5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем
  3. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  4. 4.1 Анализ ковариационных матриц навигационных решений при различных созвездиях опрашиваемых НС
  5. Тезисы теории институциональных матриц 2
  6. 3.4. Методические подходы к анализу взаимосвязей показателей устойчивости и скрытых воздействий с применением экономико-математических методов
  7. 8.3. Организационный инструментарий.Сетевые матрицы
  8. 7.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений
  9. § 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли
  10. ТЕМАТИКА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ и контрольные задания по темам курса
  11. 1.4. Матрицы. Основные свойства и операции.
  12. Виды двойственных задач и составление их математических моделей
  13. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).