1.2.1 Теория матриц.
n
А обозначаем строчными буквами с индексами, указывающими положение этого элемента в таблице. Через А4 условимся обозначать транспонированную матрицу, т.е. [А4]тп, и для любых индексов i, j справедливо a4 j = aj j. Матрица А называется симметричной, если А = А4. В частности, для симметричной матрицы n = m. Элементы квадратной матрицы аі}і называются элементами главной диагонали.
Если n = 1, то матрицу [A]i,n называют вектором - строкой, если же m = 1 то [A]m1 - вектором-столбцом. Числа m, n в этом случае называют размерностями векторов. Векторы условимся обозначать строчными буквами со стрелкой вверху, понимая под а вектор-столбец. Тогда вектор-строка запишется как аО".
Для квадратных матриц A порядка n введем понятие определителя | A |. В частности, для n = 2,
ai,i аі,2 аі,і а2,2
= аі,іа2,2 — аі,2а2,і
а для определителя Дп+і порядка n + 1 справедливо
п+і
Дп+і = Е ( — іу+іа^Д^' , j=і
где Д^' - определитель порядка n, полученный из Дп+і вычеркиванием первой строки и j-ro столбца (разложение по первой строке).
Для умножения матрицы (в частности, вектора) на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число. Определяются также сумма (поэлементная) матриц и их произведение по следующему правилу. Пусть [A]n,m, [B]m,i, C = AB. Тогда [C]n,i, причем
m
Ci,j = Е ai'k , i =1 ,...,n, j = 1,...l.
k= і
Например, если а вектор размерности n, то Aa - вектор размерности m.
A, B
| AB | = | A || B |, | A | = | A | .
Матрица [I]п,п называется единичной порядка n, если по ее главной диа-гонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Очевидно, что для любой квадратной матрицы [A]n,n справедливо AI = IA = A. Матрица A-1 называется обратной для матрицы A, если
AA- = A^A = I.
Пусть A - квадратная матрица. Если для вектора а найдется такое число А, что Aа = Аа, то вектор а называется собственным вектором матрицы, отА
можно найти, решив уравнение
| A — АI | =0.
Собственный вектор, отвечающий данному собственному числу, определен неоднозначно с точностью до умножение на любое число а, так как
A(aS) = а.(Ла) = А (аа),
т.е. aa также является таким собственным вектором. Поэтому можно поста-вить задачу найти собственный вектор, отвечающий заданному собственному числу, и имеющий единичную длину. Для решения этой задачи достаточно найти любой собственный вектор a и поделить его на
2
a
J
Е
j=i
длину вектора a.
Известно, что у симметричной матрицы порядка n обязательно n соб-ственных чисел.