<<
>>

1.2.1 Теория матриц.

Матрица n х m - прямоугольная таблица с n строками и m столбцами, обозначаемая прописной буквой. Мы будем писать [А]п,т если хотим подчеркнуть, что матрица имеет именно такой размер.
Если n = m, то ма-

n

А обозначаем строчными буквами с индексами, указывающими положение этого элемента в таблице. Через А4 условимся обозначать транспонированную матрицу, т.е. [А4]тп, и для любых индексов i, j справедливо a4 j = aj j. Матрица А называется симметричной, если А = А4. В частности, для симметричной матрицы n = m. Элементы квадратной матрицы аі}і называются элементами главной диагонали.

Если n = 1, то матрицу [A]i,n называют вектором - строкой, если же m = 1 то [A]m1 - вектором-столбцом. Числа m, n в этом случае называют размерностями векторов. Векторы условимся обозначать строчными буквами со стрелкой вверху, понимая под а вектор-столбец. Тогда вектор-строка запишется как аО".

Для квадратных матриц A порядка n введем понятие определителя | A |. В частности, для n = 2,

ai,i аі,2 аі,і а2,2

= аі,іа2,2 — аі,2а2,і

а для определителя Дп+і порядка n + 1 справедливо

п+і

Дп+і = Е ( — іу+іа^Д^' , j=і

где Д^' - определитель порядка n, полученный из Дп+і вычеркиванием первой строки и j-ro столбца (разложение по первой строке).

Для умножения матрицы (в частности, вектора) на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число. Определяются также сумма (поэлементная) матриц и их произведение по следующему правилу. Пусть [A]n,m, [B]m,i, C = AB. Тогда [C]n,i, причем

m

Ci,j = Е ai'k , i =1 ,...,n, j = 1,...l.

k= і

Например, если а вектор размерности n, то Aa - вектор размерности m.

A, B

| AB | = | A || B |, | A | = | A | .

Матрица [I]п,п называется единичной порядка n, если по ее главной диа-гонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Очевидно, что для любой квадратной матрицы [A]n,n справедливо AI = IA = A. Матрица A-1 называется обратной для матрицы A, если

AA- = A^A = I.

Пусть A - квадратная матрица. Если для вектора а найдется такое число А, что Aа = Аа, то вектор а называется собственным вектором матрицы, отА

можно найти, решив уравнение

| A — АI | =0.

Собственный вектор, отвечающий данному собственному числу, определен неоднозначно с точностью до умножение на любое число а, так как

A(aS) = а.(Ла) = А (аа),

т.е. aa также является таким собственным вектором. Поэтому можно поста-вить задачу найти собственный вектор, отвечающий заданному собственному числу, и имеющий единичную длину. Для решения этой задачи достаточно найти любой собственный вектор a и поделить его на

2

a

J

Е

j=i

длину вектора a.

Известно, что у симметричной матрицы порядка n обязательно n соб-ственных чисел.

<< | >>
Источник: ОУНЮА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в психологии. 2001

Еще по теме 1.2.1 Теория матриц.:

- Акмеология - Введение в профессию - Возрастная психология - Гендерная психология - Девиантное поведение - Дифференциальная психология - История психологии - Клиническая психология - Конфликтология - Математические методы в психологии - Методы психологического исследования - Нейропсихология - Основы психологии - Педагогическая психология - Политическая психология - Практическая психология - Психогенетика - Психодиагностика - Психокоррекция - Психологическая помощь - Психологические тесты - Психологический портрет - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология девиантного поведения - Психология и педагогика - Психология общения - Психология рекламы - Психология труда - Психология управления - Психосоматика - Психотерапия - Психофизиология - Реабилитационная психология - Сексология - Семейная психология - Словари психологических терминов - Социальная психология - Специальная психология - Сравнительная психология, зоопсихология - Экономическая психология - Экспериментальная психология - Экстремальная психология - Этническая психология - Юридическая психология -