§ 18. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних векторів

2.34. Властивість. Критерій лінійної залежності векторів: для того, щоб вектори системи були лінійно залежними, необхідно й достатньо, щоб хоч один із векторів системи був лінійною комбінацією інших.

 Необхідність. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нульовому вектору: Вектори сукупності завжди можна пронумерувати таким чином, що У такому разі

Достатність. Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що У такому разі існує нетривіальна лінійна комбінація, яка дорівнює нульовому вектору:

2.35. Властивість. Якщо до системи векторів входить нульовий вектор, ці вектори лінійно залежні.

 Не зменшуючи загальності, вважатимемо, що Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація, яка дорівнює нульовому вектору:



2.36. Властивість[3]. Якщо будь-яка підсистема векторів системи лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

 Не зменшуючи загальності, вважатимемо, що вектори лінійно залежної підсистеми мають номери від 1 до Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація векторів підсистеми Побудуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів усієї системи, яка дорівнює нульовому вектору:

Існування цієї лінійної комбінації доводить наведене твердження.

2.37. Властивість. Будь-яка підсистема векторів лінійно незалежної системи сама є лінійно незалежною.

 Припустимо протилежне. Тоді, згідно з властивістю 2.36, система є лінійно залежною, усупереч вихідній умові.