§ 16. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори

Розглянемо систему (сукупність) векторів, що належать до лінійного простору :

2.23.

яку називають лінійною комбінацією векторів системи .

Верхній індекс, що нумерує коефіцієнти лінійної комбінації , не треба плутати з показником степеня. Індекс, який зустрічається в деякому математичному виразі двічі (один раз – зверху, а другий – знизу) називають німим. Існує домовленість, згідно з якою навіть за відсутності символу суми за значеннями німого індексу виконується підсумовування. Цю домовленість називають домовленістю Ейнштейна. Величина суми не залежить від того, якою літерою позначено німий індекс, чим і пояснюється його назва.

2.24. Означення. Лінійна комбінація системи векторів називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

2.25. Зауваження. З наслідку 2.19 випливає, що тривіальна лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору.

2.26. Означення. Вектори системи називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка не дорівнює нульовому вектору.

2.27. Зауваження. У математичній літературі часто зустрічається еквівалентна форма означення лінійної залежності: вектори називають лінійно залежними, коли та

2.28. Означення. Вектори системи називаються лінійно незалежними, якщо лише тривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

2.29. Зауваження. Існує еквівалентна форма означення лінійної незалежності: вектори називаються лінійно незалежними, якщо з рівності випливає, що