Тема 6. Векторная алгебра.
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор 
или 
.
или . Углом между векторами 
и 
называется угол 
, 
, на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число 
. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы 
и называются равными и пишут 
, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы 
и 
называются противоположными и пишут 
, если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.
Суммой векторов и называется вектор 
, соединяющий начало вектора и конец вектора , при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора (правило треугольника). Произведением вектора на действительное число 
называется вектор 
:
1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину 
; 3) направленный одинаково с вектором , если 
, и противоположно, если 
.
Ортом вектора , называется вектор 
, имеющий единичную длину и направление вектора : 
.
Базисом в пространстве 
называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости 
– упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой 
– любой ненулевой вектор на этой прямой.
и 
, и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис 
-называется правым, если кратчайший поворот от 
к 
совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис 
-называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Условием коллинеарности векторов и является равенство: 
, где 
- некоторое число. Условием компланарности векторов , и 
является равенство: 
, где 
- некоторые числа.
Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе.
Например, если
- базис 
и 
, то всегда существует единственное разложение: 
, где числа 
- координаты вектора в базисе 
, при этом пишут 
. Если в 
зафиксирован ортонормированный базис 
и 
, то равносильны записи: 
и 
(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают). Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки 
(начало координат) и правого ортонормированного базиса 
и обозначается 
. Прямые 
,
,
, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат.
. Пусть 
- произвольная точка пространства, в котором введена система координат =. Радиус-вектором точки называется вектор 
, который всегда единственным образом можно представить в виде: 
. Числа 
, являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора на базисные орты 
и (на координатные оси 
и ). Координатами точки в системе координат называются координаты её радиус-вектора и пишут 
. В свою очередь, координаты точки полностью определяют её радиус-вектор 
. Всякий геометрический вектор в системе координат , всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде: 
.
Длина 
вектора , заданного координатами 
, определяется формулой: 
. Направляющими косинусами вектора называются числа: 
, 
, 
, при этом 
.
Координаты вектора
, заданного точками 
и 
определяются по формуле: 
. Расстояние 
между точками 
и 
определяется как длина вектора и находится по формуле:
.
Координаты точки 
делящей отрезок 
пополам находятся по формулам: 
, 
, 
.
Скалярным произведением векторов и называется число 
. Скалярное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
где 
- число;
3) 
; 4) 
5) 
; 6) 
, 
, 
, 
, 
, 
. Для векторов и , заданных своими координатами 
, 
скалярное произведение вычисляется по формуле: 
.
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и по формуле: 
; 2) для вычисления проекции вектора на вектор по формуле: 
; 3) для вычисления длины вектора 
по формуле: 
; 4) в качестве условия перпендикулярности векторов и 
: 
.
Векторным произведением векторов и называется вектор 
, определяемый условиями: 1)
;
2) 
и 
; 3) 
- правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
, где - число;
3) 
; 4) 
5) 
;
6) 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Для векторов и , заданных своими координатами ,
векторное произведение вычисляется по формуле: 
.
Векторное произведение 
применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах, по формуле: 
; 2) в качестве условия параллельности векторов и : .
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,и 
называется число 
.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
и -компланарны 
;
5) 
, где 
-объём параллелепипеда, построенного на векторах ,и .
Для векторов , и , заданных своими координатами , , 
смешанное произведение вычисляется по формуле: 
.
Смешанное произведение 
применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и 
, как на рёбрах, по формуле: 
; 2) в качестве условия компланарности векторов ,и : 
и - компланарны.