Тема 5. Квадратичные формы.
Квадратичной формой ( или кратко
) от
-переменных называется однородный многочлен второй степени с действительными коэффициентами:
, где
.






Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица является невырожденной.
Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид:
.
Всякую квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду, например, методам Лагранжа.
Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма называется:
положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполняется неравенство
(
); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого
выполняется неравенство
(
), причём существует
, для которого
; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие
и
, что
и
.
Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.
Пусть , где
- матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы
называются миноры порядка
(
), составленные из первых
строк и первых
столбцов матрицы:
,
,
,
.
Критерием знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:
- квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е.
,
,
,
;
- квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства:
,
,
,
,
(все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;
- квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки .