Глава 2Методы теории потенциала

Ключевые слова: потенциал, объемный потенциал, ньютонов потенциал, потенциал простого слоя, потенциал двойного слоя, логарифмический потенциал, уравнение Фредгольма, метод Шварца, цилиндрические координаты, сферические координаты, уравнение Пуассона, задача Дирихле, задача Неймана, функция Грина, метод выметания, уравнения Гельмголь- ца, запаздывающие потенциалы, уравнение теплопроводности, телеграфное уравнение.

Основные понятия и обозначения

Векторное поле — вектор-функция, заданная в каждой точке рассматриваемой области.

Скалярное поле — функция, заданная в каждой точке рассматриваемой области.

Фундаментальное решение дифференциального оператора L - обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению Lu = 8(х), где 8(х) — дельта-функция Дирака.

Потенциал — скалярная функция, представимая в виде интеграла от произведения некоторой функции (плотности потенциала) и фундаментального решения либо его производной.

Уравнение Лапласа — уравнение Аи = 0, где Д — оператор Лапласа.

Уравнение Пуассона — уравнение —Аи — /.

Уравнение Гельмгольца — уравнение Аи + %2и = 0.

где г — расстояние между фиксированной точкой А и переменной точкой Р, р — плотность потенциала, V с R3.

— JJ ^-J dS, где 6 — угол между нормалью п к поверхности

S = dV в точке Р Є S и направлением РА.

Ньютонов (объемный) потенциал — интеграл? Логарифмический потенциал — интеграл и(А) = Jj р(Р) In ^-J dS, Se R2.

Логарифмический потенциал простого слоя — интеграл и(А) = Jp(P)\n(^j dl, L = dS, S Є R2.

L

Логарифмический потенциал двойного слоя — интеграл

? L

где 9 — угол между нормалью п к контуру L = dS в точке Р Є L и направлением РА.

Основная интегральная формула Грина — представление дважды диф-ференцируемой функции и в виде суммы трех потенциалов: объемного с плотностью Ди, потенциала простого слоя с поверхностной плотностью ди/дп и потенциала двойного слоя с плотностью и.

Гармоническая функция — дважды дифференцируемая функция, удо-влетворяющая уравнению Лапласа.