<<
>>

Лекция 15 Операционное исчисление

Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)

Обозначим - оператор дифференцирования, и получим:

- алгебраическое уравнение.

Методы, в которых для решения задач используются алгебраические действия с операторами, носят название операционных. Ниже рассматривается наиболее распространенный операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

- преобразование Лапласа.

где p – комплексный параметр.

Условия, которым должна удовлетворять функция :

1) условие Гельдера ;

2)

3)

Функция называется оригиналом, а функция комплексной переменной - изображением.

Теорема

Оригинал определяется по известному изображению формулой

Доказательство[6]

Отметим, что интеграл в правой части равенства - сингулярный.

Рассмотрим вычисление сингулярного интеграла

Выражение для I преобразуется к виду

так как функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Для дальнейшего рассмотрим функцию

Запишем выражение:

При величина s остается конечной.

Далее запишем

где

Запись t+0 означает, что аргумент функции , оставаясь всё время >t.

Интеграл преобразуется к виду

При любом конечном

Вычислим интеграл[7]

Введем вспомогательную функцию

и найдем контурный интеграл

Делая замену переменных , получим:

Так как подынтегральная функция – четная, то

Получим

что требовалось доказать.

<< | >>
Источник: И.М. Лавит. Теория функций комплексного переменного. 2001

Еще по теме Лекция 15 Операционное исчисление:

  1. Электродинамика Максвелла - Герца - Хевисайда
  2. Ответы на тестовые задания по темам
  3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
  4. Самоорганизация и эффективность
  5. Лекция 15 Операционное исчисление
  6. Операционное исчисление