Лекция 15 Операционное исчисление

Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)

Обозначим - оператор дифференцирования, и получим:

- алгебраическое уравнение.

- преобразование Лапласа.

где p – комплексный параметр.

Условия, которым должна удовлетворять функция :

1) условие Гельдера ;

2)

3)

Функция называется оригиналом, а функция комплексной переменной - изображением.

Теорема

Оригинал определяется по известному изображению формулой

Доказательство^[6]

Отметим, что интеграл в правой части равенства - сингулярный.

Рассмотрим вычисление сингулярного интеграла

Выражение для I преобразуется к виду

так как функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Для дальнейшего рассмотрим функцию

Запишем выражение:

При величина s остается конечной.

где

Запись t+0 означает, что аргумент функции , оставаясь всё время >t.

Интеграл преобразуется к виду

При любом конечном

Вычислим интеграл^[7]

Введем вспомогательную функцию

и найдем контурный интеграл

Делая замену переменных , получим:

Так как подынтегральная функция – четная, то

Получим

что требовалось доказать.