Лекция 16 Нахождение оригинала по изображению

Пусть на комплексной плоскости определена некоторая аналитическая функция F(p). В бесконечно удалённой точке F(p)=0. Функция F(p) имеет только точечные особенности (изолированные особые точки), причём существует такая точка , что все особые точки лежат левее прямой x=a.

Для вычисления функции f(t) применим теорему вычетов. Дополним отрезок интегрирования до замкнутого контура.

Покажем, что интеграл вдоль дуги окружности при стремится к нулю:

При получается

Рассмотрим интеграл:

Получим

(использована теорема о среднем: ).

По условию, при . Тогда всё выражение . Аналогичный результат получается при рассмотрении третьего интеграла. Приходим к выражению

Ко второму интегралу применим теорему вычетов:

где n – количество особых точек.