<<
>>

3.2. Дифференциал.

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке, то производная принимает определенные значения. Отношение Dу/Dх при Dх ® 0 можно представить в виде где a ® 0 при Dх ® 0.

Умножая равенство на Dх получим Dу = f `(x) Dx + aDx. В общем случае f `(x) ? 0 и произведение f `(x) Dх есть величина бесконечно малая одного порядка с Dх, а aDх – бесконечно малая высшего порядка. Первое из двух слагаемых (f`(x) Dх) называют главной частью приращения функции, линейной относительно Dх, или дифференциалом функции и обозначают dy = f `(x) Dх .

Пусть у = х. Очевидно, что dy = dx и дифференциал независимого переменного совпадает с приращением и можно записать dy = f `(x)dx (3.24).

Производную функции f `(x) = dy / dx можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

То, что в выражении Dу = dy + aDx второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, позволяет в приближенных вычислениях использовать следующий алгоритм:

Dу » f `(х)Dх => f (х+Dх) – f (х) @ f `( x) Dх => f (x + Dх) @ f(x) + f `(x) Dх (3.25.),

причем вычисления тем точнее, чем меньше величина Dх.

Пример: Вычислим приближенное значение sin460; 460 = 450 + 10 = p/4 + p/180; Из (3.25) очевидно, что sin(x + Dх) » sin x + Dх cosx и sin 460 = sin (p/4 + p/180) @ sin p/4 + (p/180)cos p/4 » 0,7194.

Из (3.24) следует, что большинство теорем и формул, относящихся к производной, справедливы и для дифференциалов. Так

d(u + v) = du + dv (3.26), d(uv) = vdu + udv (3.27) и т.д.

Рис. 3.2
Геометрический смысл дифференциала легко уяснить из рис.
3.2. Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М(х, у) и проведем касательную. Приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу функции и точка М1(х + Dх, у + Dу). Из треугольника МNT находим NT = MN tg a = Dх f `(x) = dy (по определению дифференциала), т.е. геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты

касательной к графику функции в точке М (х,у).

Аналогично тому, как определяются производные высших порядков, определяются и их дифференциалы. Дифференциал от дифференциала называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) и обозначают d(dy) = dy2. По определению дифференциала d2y = [f `(x) dx]`dx = f ``(x)(dx)2, так как dx от х не зависит. Очевидно, таким же образом определяется дифференциал любого порядка dny = f(n)(x)(dx)n; принято записывая порядок дифференциала опускать скобки, т.е окончательно общее выражение примет вид

dny = f(n)(x)dxn (3.24' ).

Контрольные вопросы.

1) Что называют дифференциалом функции?

2) Где применяется или ?

3) Как находятся дифференциалы высших порядков?

Тест 17.

1) Найти дифференциал функции: у=х3-3х.

а) б) в)

2) Вычислить приближённое значение .

а) 2,101; б) 2,302; в) 4; г) 2,031.

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 3.2. Дифференциал.:

  1. § 25- Дифференциал функции
  2. § 26. Применение дифференциала в приближённыхвычислениях
  3. 3.2. Дифференциал.
  4. 4.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
  5. Дифференциал функции.
  6. Геометрический смысл дифференциала.
  7. Свойства дифференциала.
  8. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
  9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  10. Полное приращение и полный дифференциал.
  11. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  12. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
  13. 14. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
  14. Критика "мышления идентичности" и "дифференция"
  15. Критика "мышления идентичности" и "дифференция"
  16. 2.5. Дифференциал функции
  17. Дифференциал
  18. 20. Дифференційна теорія емоцій К.Ізарда.
  19. Дифференциал функции. Правила вычисления дифференциалов 1-го и 2-го порядков.
  20. Дифференциал функции. Свойства.