<<
>>

§ 26. Применение дифференциала в приближённыхвычислениях

Как уже било отмечено, приращение функции состоит из двух слагаемых: Ay = J'(x)Ax + а • Ах, причём первое слагаемое f'(&)Ax при f'[x) ф- 0 есть бесконечно малая величина первого порядка относительно Да; при Да; —+ 0.
Произведение же о. ¦ Ах есть величина бесконечно малая высшего порядка относительно Дя, так как (см, § 14)

lim — lim а = 0.

АХ Дх-»0

Поэтому Б приближённых вычислениях пользуются приближенным равенством Ау та fT(x)Ax, или f'(x 4- Ах) — /(х) та /'{х)Ах. Отсюда: /(я + Ах) ~ J(x) 4 f'(x)Ax. Это соотношение тем точнее, чем меньше [Де|.

Пример- f(x) = xm. a f'(x) = тітогда f(x + Да;) = (i + 4- Ах)т &хТп+ mxm^1 ¦ Ах\ яри х = 1иДл:=й-+0 имеем (X + р= X 4 met (см, § 18)

Вычислить ЧШЮ. Для того, чтобы найти значение корня, нужно подкоренное число представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых извлекается из-под корня без остатка, а второе, будучи разделённым на первое, должно быть значительно меньше единицы,

т.е. 1000 = 1024 -24 = 210 - 24 = 210 (l - Тогда

х

Пример, /(і) ^ f'(x) — ел, f(x + Ал;) ^ тогда

га e* + e* ¦ Ддг, или га 1 + Ах. Аналогично можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых из § 18.

Пример. Вычислить приближённо с помощью дифференциала

« \/х3 + 1х2 при х = 1,012, Гак как у*(х) = ^ (Зх2 -h 14э:)(д;3 +

+ тог полагая х = 1. Ах = 0,012, получим 2Н ?/(!) =

- 17/12. Тогда -1- 0,012)э + 7(1 + С,012)2 « 2 + 0,012 ¦ 17/12 = в 2.017.

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 26. Применение дифференциала в приближённыхвычислениях: