§ 27. Производные и дифференциалы высшихпорядков

Дифференцируя вторую производную, получаем производную третьего порядка, и г, Дн

Пример, у = є4**, у' = ас", у" = ал - едг,..., - ат ¦ с**.

у' — cos х - sin ^r + у" — -sinx (х + 2- а

у"! « - соэх - Sin (W3 - Vln) -sin (х + п-

Пример, у = (1 х)* у' = а{1 у" = а(а - 1)(1 +

yW = — 1). (еж ^ ті + Ч-

Пример. 9 -1н<1 +«).*- ^ ^ ^ У"* - yin) С„| 2-3 "... -я, 01-1).

Пример. Найти у(пЦх), если у(х) - . Учитывая, что

л ¦+¦ 5лг + 6

у(Х) . 1 _ 1 e „ f^LJ^ =

= . t ПОЛУЧИМ = (-1)"^ {7 ^—рт =гЛ

При вычислении тг-й производной от произведения двух функций используется формула Лейбница

= + nu<"-J,v' + "f^^uCn-av + ... + tw^',

где и — ц(^), г — имеют производные до 71-го порядка включительно.

Пример. Найти если ^ xV.

Пусті

и

¦

v = х\ тогда, учитывая, что v1 = 2х, v" ™ 2,

.т

v''' = ... = т/п> = 0 и (а1)^ -- (е1п = _

= 1 ппае*їпл = fiMtiподучим і/ГІ>(х) = = (A*)*") -- « .a*(hia)4-a|a:lhiae -Ь 2пг1по + іг(п - 1)).

Пример. Найти если у = .

і

Пусть и — и — In х, тогда и — -ЗаГ4, и" = 12а:"5, и- — v' = x~l, v" = vm = у"' = (uv)'" = u"'v -1- 3u"v' 4 3u'v" +

+ uvf" = x~°(47 — 60 In аг).

Пример. Найти у"\ если у = (2х3 4 1)совх

Пусть и = 2а-1 + 1, v — cos х, тогда и' - Ьх\ и" ~ 12х, и'" = 12; v* =

-cosз, tT = ВШх3 у " ^ (2х? - З&Е + 1)sinз — 6(Зл;3 -

ч

= — у" — — mc fr ii'ft ~ віп <* и*и = а^з _ іл^ і \ __ д/і^.2

— 2) cos а-.

а; — 1 1

Пример- Найти если у =

Так как у =

, то

І N

х

Xі-1 + 1 х- 1

(п > 1).

У

(п)

Пример, Найти у'", если аг2 41/2 = R2.

j я * =

у" =

У

з1

т7* — —гв--

у'" =

ї;

Пример. Найти у", если хл 4 у3 — Зонту = 0,

а _ 2а ху

х — ау

Так как у1 —

(см. §24), то у

(іах -у )

ах - у

Пример, S = at2/2 4 t'Qt. Найти S".

S - at 4 vo, S" = a. Таким образом, вторая производная пути по времени есть ускорение. Это и есть механический смысл второй производной.

Если функция задана параметрически х = у •= y(?)h то вторая производная равна

JT

= —- d - l/tWt-j&Vt 1 yfc't- vuvl

dx1 dx

xt

dt \x[Jdx

Дифференциал от дифференциала функции называется эторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается cry, d(dy) = гі^ї/ (fa:) — (^'dxydir == у" dx2

Так как дифференциал независимого переменного dx не зависит от х, его можно выносить за знак производной.

Аналогично определяется дифференциал n-го порядка

«гм/Г+

л/і

dny = y<-nUxn. Пример, Найти dry, если у = cos \Л 4- я3 -

ЖЯІі

dx,

dy —y'dx —

dr.'

х/ТП

x x

1 + a;'

d2y = у" dx2 =

^sin \/l

V'l 4 Xа

4-а;2 4-

sinі У1 4 s2 1 _

<ґ?т

\/l + I

Y^ (sin \f\ 4 x2 +х2х/і 4 Xі cos

(IH^3

Пример. Найти й!3^ если у = aict:gi.

J dx ,2 —2т ізґ

1-ья

-2<Ы

- і (14- та)3

dx3

[(1 4-®3}2 -2а:(1 + зг2)2г1 =2

З 1-х

Пример» Найти если у =

it-14

У

L 4 д:1

ж —1 + 1

у г 1 h i + J ІЇТЇІ (з + і)1'1

10

10! (Ь

її *

(я4І}

dL0y = ^(10) dx =

Задана, Проверить таблицу производных высших порядков от про-стейших функций.

\. у = лгт, = m(m — — 2)... (jn - n4* 1)ят_п (при целых т и п > т производная равна 0).

у = y = а****.

у = = (Ьо)Лах.

j/ = afcr, = (fclnajV1.

у = sin х, yу = cos а;, э^71' = cos ^а: + ^ ^ .

13. у =

с с с с \ с } \ с/

8, у - cosb;, у М = A:n cos (fci + .

(iu+a)"*1

10.

7. у ^ sin kx, = kn sin (^kx 4- - дх + Ь __ од + fr а ся -t- d ez + d

yu У = J + r* а + х

, = (-1 )"JJL (х2 + a2)-**1 smyin + 1); <р =

ft

= arctg - — arcctg - (см. § 55). 1 х

1

1 У

н+1

п + 1

С®-30

(Х-1)

= (-l)*n! (

1С

1С — 1

17. і/ — sin" д:, С»)

= (sin2- і(1 - соя2x}W = сов ^ + n > 1.

1в. у " CQ52 I,

= (cos2 = і(1 + cos2x)<"> = 2n_1 сое (to + тр). n > 1.

19. у = sin'* re + cos4 x,

» (sin4 я? + cos4 ar)W = [(sin2 a: + cos a?)2 - 2 sin2 x cos2 x](n) = = [l - JW to]W-(1 + 1 cos4x)(n) = Г"1 coa (4л + ~ шг)

20. у = sin6і + cos6 л;,

¦(sin2 s)3 + (cos2s)3]= (§ + § cosAx"jn) = 6 ¦ 4Я"2 cos (4® + І ГІТГ)

у = соааксоз&Е,

j/'^ = {cos ax cos = ^ [cos(c + + — —

= 6)" cos [а + Ь).т + і птт + ™ (a - Ь)п cos [(а - |.

г

у sin ax cos ім;,

= [gtna®cosfcclfn) = + + sin(ft - b)x]tn) =

- \ + b)n cua [(a + ft)x + і тгг] + і (a - b)n cos j(a - f>)x + ^ nirj .