§ 30. Формула Тейлора
равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до п-го порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.
Этот многочлен будем искать а форме многочлена по степеням (Я - а) с неопределёнными коэфф и ци є н та м и:= Со + С} {х - а) -Ь С2(х - а)2 -г ... + Сп{х - а)'\ Используя вышеизложенные условия, найдем Сі:
Да) = Рп{а) = C0l CQ = f(a)i
f{a) = = Съ СІ = /'(«)-, Р?{х) = 2Са + 3 ¦ 2 Сз(ї - а) + ... + «(» - W^x - а)п~3;
Сі = І
н так далее.
Таким образом, находим:
] -2
/»
С
] -2-3' 1 1 ¦ 2 ¦ З..,п'
Подстаадяя найденные коэффициенты в многочлен, окончательно получим:
ад - т+^ по)+^ /"(«)+-. +
Многочлен РпС^) Дэёт некоторое приближение к функции f(x), с помощью которого она может быть вычислена с нужной степенью точности Обозначим через rrt(a) разность значений данной функции
Ю,И, Клименко
f(x) к построенного многочлена т\е. гл(х) =/(») - Pfi(ar)5
откуда ДлО^И+'»(*)¦
/(-) = /<*) + пг гы + Цг1 + - +
+ k^r^/WW+fkt®);
п!
j-T1 fлг> — называется остаточным членомt з сама формула — формулой Тейлора для функции f(x), причем она дает возможность заменит функцию /(я) многочленом Рп(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена. Для оценки остаточного члена существует несколько форм его записи. Выпишем остаточный член в форме Лагранжа:
г»(а?) = ^T^rjT finU) ia Н" ~ a))l ГАе 0 < v < L
Если з формуле Тейлора положить а — 0Г то она запишется в виде:
fix) - /(0) + і ПО) + ^Г (о) +... + ? Г(0) + ^J /<-")(«=)•
Этот частный случай формулы Тейлора нгзывают формулой Макдо* реиа.