<<
>>

§ 30. Формула Тейлора

Пусть функция /(і) имеет асе производные до (п + 1)-го порядка включительно о некотором интервале, содержащем точку а' = а- Найдём многочлен степени п, значение которого в точке х = а

равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до п-го порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Этот многочлен будем искать а форме многочлена по степеням (Я - а) с неопределёнными коэфф и ци є н та м и:

= Со + С} {х - а) -Ь С2(х - а)2 -г ... + Сп{х - а)'\ Используя вышеизложенные условия, найдем Сі:

Да) = Рп{а) = C0l CQ = f(a)i

f{a) = = Съ СІ = /'(«)-, Р?{х) = 2Са + 3 ¦ 2 Сз(ї - а) + ... + «(» - W^x - а)п~3;

Сі = І

н так далее.

Таким образом, находим:

] -2

С

] -2-3' 1 1 ¦ 2 ¦ З..,п'

Подстаадяя найденные коэффициенты в многочлен, окончательно получим:

ад - т+^ по)+^ /"(«)+-. +

Многочлен РпС^) Дэёт некоторое приближение к функции f(x), с помощью которого она может быть вычислена с нужной степенью точности Обозначим через rrt(a) разность значений данной функции

Ю,И, Клименко

f(x) к построенного многочлена т\е. гл(х) =/(») - Pfi(ar)5

откуда ДлО^И+'»(*)¦

/(-) = /<*) + пг гы + Цг1 + - +

+ k^r^/WW+fkt®);

п!

j-T1 fлг> — называется остаточным членомt з сама формула — формулой Тейлора для функции f(x), причем она дает возможность заменит функцию /(я) многочленом Рп(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена. Для оценки остаточного члена существует несколько форм его записи. Выпишем остаточный член в форме Лагранжа:

г»(а?) = ^T^rjT finU) ia Н" ~ a))l ГАе 0 < v < L

Если з формуле Тейлора положить а — 0Г то она запишется в виде:

fix) - /(0) + і ПО) + ^Г (о) +... + ? Г(0) + ^J /<-")(«=)•

Этот частный случай формулы Тейлора нгзывают формулой Макдо* реиа.

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 30. Формула Тейлора:

  1. 2.1. Ф. Тейлор - основоположник школы научного управления
  2. § 30. Формула Тейлора
  3. § 31. Представление функций sin ж, cos ж, In {1 + ж), (1. -+¦ ж)01 с помощью формулы Тейлора
  4. § 32. Приложение формулы Тейлора
  5. Вопросы для самопроверки
  6. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  7. Формула Тейлора.
  8. Содержание дисциплины
  9. Формула Тейлора.
  10. Формула Маклорена.
  11. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
  12. Метод Рунге – Кутта.
  13. Ряды Тейлора и Лорана.
  14. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  15. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  16. Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.