§ 30. Формула Тейлора

равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до п-го порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

= Со + С} {х - а) -Ь С2(х - а)2 -г ... + Сп{х - а)'\ Используя вышеизложенные условия, найдем Сі:

Да) = Рп{а) = C0l CQ = f(a)i

f{a) = = Съ СІ = /'(«)-, Р?{х) = 2Са + 3 ¦ 2 Сз(ї - а) + ... + «(» - W^x - а)п~3;

Сі = І

н так далее.

Таким образом, находим:

] -2

/»

С

] -2-3' 1 1 ¦ 2 ¦ З..,п'

Подстаадяя найденные коэффициенты в многочлен, окончательно получим:

ад - т+^ по)+^ /"(«)+-. +

Многочлен РпС^) Дэёт некоторое приближение к функции f(x), с помощью которого она может быть вычислена с нужной степенью точности Обозначим через rrt(a) разность значений данной функции

Ю,И, Клименко

f(x) к построенного многочлена т\е. гл(х) =/(») - Pfi(ar)5

откуда ДлО^И+'»(*)¦

/(-) = /<*) + пг гы + Цг1 + - +

+ k^r^/WW+fkt®);

п!

j-T1 fлг> — называется остаточным членомt з сама формула — формулой Тейлора для функции f(x), причем она дает возможность заменит функцию /(я) многочленом Рп(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена. Для оценки остаточного члена существует несколько форм его записи. Выпишем остаточный член в форме Лагранжа:

г»(а?) = ^T^rjT finU) ia Н" ~ a))l ГАе 0 < v < L

Если з формуле Тейлора положить а — 0Г то она запишется в виде:

fix) - /(0) + і ПО) + ^Г (о) +... + ? Г(0) + ^J /<-")(«=)•

Этот частный случай формулы Тейлора нгзывают формулой Макдо* реиа.