§21. Производная сложной функции

Пример, у — s+in tis и, — то у = sin яг* есть сложная функция от х, aji=jJ называется промежуточным аргументом

11 Пусть функция и = f{x) имеет б точке х производную f'(x), а функция у = имеет в точке и = f(x) производную у'и — Тогда сложная функция у = F(u) в точке х имеет пронзв одную т равную произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и, на производную промежуточного аргумента по х.

Так как по условию F? существует, то существует предел

lint

Ли—.0 Діі 1+

Тогда по теореме 1 имеем ^ = + НЛИ Ay = (F^ + где

а —+ 0 при Аи —» 0. Разделив последнее равенство на Дх, получим

/\ у/ /\ -J f

- —. Переходя к пределу при Ах 0 и учитывая, что

<_L яС ^^ tLJkvC

ІЕ-.С

—* 0 ДЇІ

lim = по условию существует, a = О- так как при Дх —+

0, получим:

У2

= lim +

Лг—Q Длг 11 'Да; м

Пусть у = f(x) положительна и дифференцируема а точке х. Тогда в этой точке существует In у = In f(x). Рассматривая In у как сложную

функцию аргумента х, получим (Inу)^ = ¦ У* ~ "Ух-

Производная от логарифма функции у ™

называется логарифмической производной.

Найти производную функции у =¦ г*^ где и и. v дифференцируемые функции н и > 0, Так как bifl t?lm* и (In у}' =

7 Ю. И. Клименко

1Дифференциальное исчисление функций одной переменной Ції ^

J или

і ' / и

(и Ы и)' -у' — t/lnu + y отсюда у' = у ( и In и + v —¦

у' — uv \ v* In и 4 v — J.

V и) ,

Пусть а) у =¦ (t 4 % тогда In у = sin х Ln(l + я) и уГ ¦ - — соз х х

Sill t

х liifl 4- х) + —- Отсюда получим 1 4Я

У « (1 + я)гіпг[ео&®1п(1 + *)4~р| ¦

hiy = minx4 31п(І4.т1)4 + In |1-

t {m в—і * . x . x \

у = у пхц + т 4 - 2' + ; 1 J =

1 + x 1 + Xі 1-х /

(m. n_і , 12a?1 . 2Д7 \ — y\ nx 4 —-г -і А і

I 4x 1 — * У

Примеры. Продифференцировать следующие функции.

у = Обозначим ^ = -аз, причём = —1, тогда у — ет<> а у' = = (О* ¦ < - еЧ-1) - -«Л т.е. (е-'У - -е—.

у = (5 - 2я)4. Пусть и — 5 — г4 в -2, тогда у - u4, a = = (и11); = (и% ¦ < = 4«3(-2) = -8(5 - 2х)*.

у — cos(l 4 se"1). Обозначим u ~ 14 яе~гр тогда ufx ~ е * — -- ft » COStl, ї/д — (oosw)„ ч'х = — sinu ¦ (е-1 — хе"1) - е-1 (з; -

1) ¦ вш(1 + »ewt).

у = xtBT. In у = tga: ¦ Inx, — = * 4 - tgx. Отсюда у' —

v (-Sf- + -¦¦«" % >0.

Vcos x x / Vcos а: x і

у = (sin x)1 j їпу — x2 hi sin x.

yy (sinx)x* [2x In sinctg a:), sin x > 0.