<<
>>

§21. Производная сложной функции

Если задана функции у — F(u)t а и есть функция от х, те, и = — /(аз), то функция у — і'Дц) = F[/(ic)| называется сложной функцией от аргумента х.

Пример, у — s+in tis и, — то у = sin яг* есть сложная функция от х, aji=jJ называется промежуточным аргументом

11 Пусть функция и = f{x) имеет б точке х производную f'(x), а функция у = имеет в точке и = f(x) производную у'и — Тогда сложная функция у = F(u) в точке х имеет пронзв одную т равную произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и, на производную промежуточного аргумента по х.

т. е. если у = Ffu), и = f(x), то у'х 3= F^tt^ (индексом указывают переменную, по которой производится дифференцирование)

Так как по условию F? существует, то существует предел

lint

Ли—.0 Діі 1+

Тогда по теореме 1 имеем ^ = + НЛИ Ay = (F^ + где

а —+ 0 при Аи —» 0. Разделив последнее равенство на Дх, получим

/\ у/ /\ -J f

- —. Переходя к пределу при Ах 0 и учитывая, что

<_L яС ^^ tLJkvC

ІЕ-.С

—* 0 ДЇІ

lim = по условию существует, a = О- так как при Дх —+

0, получим:

У2

= lim +

Лг—Q Длг 11 'Да; м

Пусть у = f(x) положительна и дифференцируема а точке х. Тогда в этой точке существует In у = In f(x). Рассматривая In у как сложную

функцию аргумента х, получим (Inу)^ = ¦ У* ~ "Ух-

Производная от логарифма функции у ™

называется логарифмической производной.

Найти производную функции у =¦ г*^ где и и. v дифференцируемые функции н и > 0, Так как bifl t?lm* и (In у}' =

7 Ю. И. Клименко

1Дифференциальное исчисление функций одной переменной Ції ^

J или

і ' / и

(и Ы и)' -у' — t/lnu + y отсюда у' = у ( и In и + v —¦

у' — uv \ v* In и 4 v — J.

V и) ,

Пусть а) у =¦ (t 4 % тогда In у = sin х Ln(l + я) и уГ ¦ - — соз х х

Sill t

х liifl 4- х) + —- Отсюда получим 1 4Я

У « (1 + я)гіпг[ео&®1п(1 + *)4~р| ¦

hiy = minx4 31п(І4.т1)4 + In |1-

t {m в—і * . x . x \

у = у пхц + т 4 - 2' + ; 1 J =

1 + x 1 + Xі 1-х /

(m. n_і , 12a?1 . 2Д7 \ — y\ nx 4 —-г -і А і

I 4x 1 — * У

Примеры. Продифференцировать следующие функции.

у = Обозначим ^ = -аз, причём = —1, тогда у — ет<> а у' = = (О* ¦ < - еЧ-1) - -«Л т.е. (е-'У - -е—.

у = (5 - 2я)4. Пусть и — 5 — г4 в -2, тогда у - u4, a = = (и11); = (и% ¦ < = 4«3(-2) = -8(5 - 2х)*.

у — cos(l 4 se"1). Обозначим u ~ 14 яе~гр тогда ufx ~ е * — -- ft » COStl, ї/д — (oosw)„ ч'х = — sinu ¦ (е-1 — хе"1) - е-1 (з; -

1) ¦ вш(1 + »ewt).

у = xtBT. In у = tga: ¦ Inx, — = * 4 - tgx. Отсюда у' —

v (-Sf- + -¦¦«" % >0.

Vcos x x / Vcos а: x і

у = (sin x)1 j їпу — x2 hi sin x.

yy (sinx)x* [2x In sinctg a:), sin x > 0.

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме §21. Производная сложной функции:

  1. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  2. §21. Производная сложной функции
  3. § 22. Производная функции, заданной неявно
  4. § 25- Дифференциал функции
  5. § 52, Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
  6. 3.1. Производная.
  7. 4.1. Основные определения. Частные производные. Дифференциалы.
  8. Задача 4.
  9. Содержание дисциплины
  10. Производная сложной функции.
  11. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
  12. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
  13. 17. Производная сложной и обратной функции.
  14. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  15. Тема 15. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
  16. Производная сложной функции
  17. Производная сложной функции