3.1. Связь свойств функции и производной

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

? Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

? Достаточные признаки монотонности функции.

° Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

° Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Теорема. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

? Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

° если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

° если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.

? Правило Лопиталя

Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за исключением быть может самой точки х0. Кроме того, пусть, причем в указанной окрестности точки х0. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел причем справедлива формула: (1)

Эта теорема верна если .

Правило Лопиталя можно применять повторно, если и удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).