<<
>>

3.1. Связь свойств функции и производной

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

? Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

? Достаточные признаки монотонности функции.

° Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

° Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Теорема. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

? Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

° если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

° если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.

? Правило Лопиталя

Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за исключением быть может самой точки х0. Кроме того, пусть, причем в указанной окрестности точки х0. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел причем справедлива формула: (1)

Эта теорема верна если .

Правило Лопиталя можно применять повторно, если и удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).

<< | >>
Источник: Лабгаева Эмма Владимировна. Методические указания для студентов по проведению практических занятий по дисциплине «Математика». 2007

Еще по теме 3.1. Связь свойств функции и производной:

  1. АРТЕМЬЕВ Александр Михайлович. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПРАВООХРАНИТЕЛЬНАЯ СЛУЖБА: СИСТЕМНЫЕ СВОЙСТВА, ФУНКЦИИ, ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора юридических наук Москва –2008, 2008
  2. Связь между производящим и производным как особый тип формально-семантической связи языковых единиц. Типы словообразовательной производности
  3. 17.Синтаксические связи. Свойства соединяемых компонентов, реализуемые синтаксической связью
  4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
  5. Производная показательно– степенной функции.
  6. Производная функции, заданной параметрически.
  7. Свойства функций комплексного переменного.
  8. Свойства функции распределения..
  9. 9. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
  10. 10. Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.
  11. 14. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
  12. Свойства функций непрерывных в точке.
  13. 17. Производная сложной и обратной функции.
  14. § 4. ФУНКЦИИ ФИЛОСОФИИ В НАУЧНОМ ПОЗНАНИИ
  15. Тема 15. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
  16. 2. Практическое занятие №2 "Нахождение производных функций. Приложения производных "