<<
>>

Связь градиента с производной по направлению.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. . Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой– либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Связь градиента с производной по направлению.:

  1. 2.2.1 Алгоритм обратного распространения ошибки
  2. 6.2. Характеристика методов и моделей прогнозирования показателей работы предприятий
  3.   1.1 Теоретические основы мембранного концентрирования
  4. Двигатели внутреннего сгорания
  5. 1. Имущественные преступления, выражающиеся в изъятии чужого имущества: проблемы совершенствования законодательной и судебной практики
  6. Содержание дисциплины
  7. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  8. Связь градиента с производной по направлению.
  9. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  10. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  11. 2. Элементы нелинейного анализа
  12. ОТРЯД HAEMOSPORIDIA
  13. 3.1.1 Движение вязкой жидкости
  14. 3.1.2 Условия применения теории подобия
  15. Вопросы экзаменационных билетов