Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М1 вектор .

Расстояние между точками М и М1 на векторе обозначим DS.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M1

y

x

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Заметим, что величина s является скалярной.

Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3–1; 0–2) = (2; –2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=id="Рисунок 1856" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/1771.gif">

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = –

Окончательно получаем: – значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.