§ 52, Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных

Введём понятие окрестности точки. Окрестностью радиуса R точки ,уа) называется совокупность всех точек удовлетворяю

щих неравенству

- + {у - уа)2 < Я

или

р{М0М) < R.

Этому неравенству удовлетворяют псе течки, лежащие внутри круг,; радиуса R с центром в точке Таким образом, если мы го

ворим, что функция z — f[Tty) обладает каким-либо свойством вблизи точки МЬ(т[)5уо) или в окрестности этой точки, то под этим под разумев а є тс я, что найдётся такой круг (для функции двух переменных; шар — для функции трёх переменных) с центром в точке ьо

всех точках которого рассматриваемая функция обладает указанным

свойством.

Число А называется пределом функции z = f(x7y) при стремлении точки M(xty) к точке если для любого положительного

числа ? можно найти такое положительное число ІЇ, что неравенство — А\< є выполняется длй всех точек Л/(хту), для которых выполняется неравенство p(iWoM) < Дг Ес^и число А есть предел функции /(^у) при —> Мо(х0]уь), то пишут

Hm f{xty)~A.

или

\\x^J{xyy)=A

Аналогично даётся определение предела функции более двух независимых переменных.

2, Частное и полное приращение функции.

Axz = f(x + Ах,у) -f(x,y). {])

Аналогично определяется частное приращение z по у (х сохраняет постоянное значение, э у получает приращение Ду) и обозначается символом Д|,z: '

Да,? + *!)-/(*,»).

Наконец, придав аргументу х приращение Дз, а аргументу у — приращение Ду, получим для z новое приращение Дz, которое называется полным приращением функции z— f(x,у):

Az f(x + АхіУ + Ay) - Да, у). <3)

Задача 4.

Решение.

&хи = (х + Ах) у г-xyz-yz • Ах-,

| ГаМ

и-

414

Функции нескольких переменных

Ayit = х{у + Ду)я - xyz к sz ¦ Ду; ДггА — ^(г + Лг) - xyz = іу Дг;

Ли » (а; + Даг)(у + + ~ XVZ = + +

+ z* Ау + Ay ¦ Дz) - - у* ¦ Ах + xz > + ху ¦ Az ± х • Ay Az +

+1/ ¦ Ах ¦ Az + г - Дэ: Ay -f Ах - Ау - А г.

3. Непрерывность функции нескольких переменных. Пусть функция z = f{x, у) определена в некоторой области, содержащей точку Мс(х01уэ), тогда функішн z = /(х,у) называется непрерывной а точке ЛГо^о, j/o), если

lim ДМ) = /{Af0). ¦ (4)

Лї—tjlfo

Функция z — f{xjV) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Если обозначит х = яо + йх, У — Уа + ДV, то равенство (4) можно переписать так:

lim f(x0 + Ах,уа 4- Ay) = f(x^y0)

Ду—О

ШШ lim if(*0 + Ах, Уо + Ay) - f(xо, уо)] = о.

Ау^О

Учитывая формулу (3), условие непрерывности функции z = f(xty) & точке A/OC^DS^O) можно переписать п следующем виде;

lim Az = 0.

Задача 5. Показать, что функция и — f(x> у, z) = xyz непрерывна в точке Afo(ioti/of

Решение, Так как полное приращение функции Аъ (см. задачу 4) представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых содержит либо Ах у либо Лі; и Д z1 либо их произведения, то Аи —* 0 при Ах —> О, Ay 0- Az —* 0. Этим самым доказана непрерывность функции и — = xyz в точке AIQ(XQ, у0, ZQ).

Если в некоторой точке не аыполияется условие (4), то

точка Р{хо,уо) называется точкой разрыва функции 2 = }{х,у).

Непрерывность функции часто используется при вычислении пределов , ибо для непрерывности п точке Лдолжно выполняться условие (4). Так, например, найти

lim + lQ^Vy) ¦

і—>1

Под знаком предела стоит многочлен. Это непрерывная гри а: = 1, у » і функция, поэтому данный предел равен значению многочлена ари х = = 1, у = 1. Значит,

lim (tf^ + lOs3^) - І ¦ 1-10 ¦ l2 -vT = 11.

і—• L

y-i

Аналогично находятся следующие пределы.

lim ^

х-О у—а

ху

х

ss lim — = Іііг у — а, х^о * *

Ь—ъ

-О,

lim (as3 + = !im

у—'СО

it—too Ї-Ч»

lira е(1+*"0^ї =

ІІЇТ1 (l +

^^ Ч я/

у—

- * j lim = lim e = e,

ї-ім

y^a

VFT6

Ітф + е'3*) Infl+e0) .

і Vs* + ЗУ3

,. . тгаг ,. тг .

lim sin — = lim sin — = L, 2 $ + y y^oo 2

x—*cо у—too

A

3

2 xy

2xy(l + >/3av+T)

lim

Hm f J

(l ~ ^/Зху+l J (l + 1 J

inO Ax

|? = Um - lim

OX At-fO йх

Аналогично частная производная по у от функции г — f(x,y) определяется как предел отношения частного приращения функции по у

к приращению Ау при стремлении Ау к нулю, Частная нроизподцаи по у обозначается одним иэ символов

Qz t ft

8yy ду5 vt

Таким образомh

= Иш = Ііш Л».» + А»)-/<-.и).

ay Ay Ду—Ау

Так как частное приращение получается лишь за счёт приращения одной независимой переменной при фиксированном знамении другой независимой переменной, то частную п рои З вод ну ЕО можно рассматривать как производную функцию оДной переменной. Следовательно, чтобы найти частную производнуЕО функции нескольких переменным по одному аргументу, нужно все остальные аргументы считать постоянны ми и вычислять производную как от функции одного аргумента. Аналогично этому вычисляются производные по другим аргументам.

З здача 6. 1. Вычислить первые частние производные функций;

а) и = 2х2у + 3x;iy2 + xyz5\ б) и — zxV\ в) и = xv Н- у*> Решение.

1. а) Вычислим сначала производную по е, считая, что z ц у — постоянные:

< (2х2у + Зх*У2 + - + (3хV)L +

Так как у r z постоянные, то = 2у(х2)'х — 4ху: (Затэу2)'т —

- Зуэ(г3)^ Zy2 - Ъх2 = 9л;V; {яу^У* = угь{хУя — yz5. Подставляя

найденные производные, получим и= 4ху + 9х2у2 + yz5.

Чтобы найти частную производную по у, считаем постоянными х

«1 - (2х2у)'у + (3*V% + (xyzB)'v ~2х2+ 6х3у + Аналогично вычисляется производная по z:

< - (2*2У)'Х + (3*V>', + = Ьхуг\

Здесь учтено, что (2х2уУх = о, (3х^2)', = 0, (xyz5)'K = яу(.гБ)і = =5xyz\

б) При нахождении частной производной по х переменные у и г являются постоянными, тогда данную функцню рассматриваем как показательную от х. По формуле производной показательной функции находим;

< = =*r»inz(*yy*=v**y biz-

Аналогично находится частная производная по у:

Ч = &иУу = *** 1п = In

При нахождении частной производной по z считаем х н у постоянными и рассматриваем данную функцию как степенную функцню z.

в) ue^-1-V1;

= + іНІ, - f^ + Gfft = ух^-1 + «І = («* + У% = X, + {ух) і = ^ Ь * + ху^К

2. Найти А = + если

a> г - In (V* + VftV 6) ^ - ч/ї ain a) z ^ ґ^ j r) z =

yV + y1

Решение.

) A = In (ч/ї + чЛ/) + lu (V^ + \fy) =

= - -W + І/-Г 1

2 і ® v^

* і і/

Г) ++ «V» - *»V +var3'5 -

3C3 -H ^ Q

4

3. Найти ^и^а точки Afo(l.l). если

а) г = зіа + ®у+3/2-3*V 6}* = Решение,

dz . = -З,

Мо

Я* 01/

= х + 2у — fo^Vi

„к

! =0;

= 0.

+•*(»¦ I

Mr,

+ ^ + если II - !n(s3 + ^ + г® - Зяуг).

4. Найти %

Решение. Пусть ^ = + 3xyz, тогда

9ч , ^ , ^ ^ Ifs* + у1 + г2 - - xz - yz) - дї +дії* &z 1>

З

?

$ X + y + Z х + у + z

5. Найти + «?. если » = +

ау ЭЙ

Решение.

"ду

- + У2 + zVV + У3 + - + з,2 + = 3«.

6. Найти и если u^co^y»). Решение.

? = - sin(«y) ¦ ¦ = ~dn(aV) ¦ yVfln* + 1);

^ = - sin^y*) ¦ ** ' Wv - . lV(iny +1).

Здесь учтено, что

- - e"ln*(Uiy-t-l) -n»0mf + X).

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть функция z = f[x}y) имеет непрерывные производные, полное приращение (3) этой функции можно выразить через частные производные. Действительно, прибавим и эычтем в правой части формулы (3) f(x + Ax,y),

Az =[f{x; + Ах, у + Ay) - f{x + Ах,у)} + Ц{х + Ах, у) - f{x, у}}.

Выражение /(ас Ах, у) — f{x, у) можно рассматривать как приращение функции одной переменной, так как аргументу сохраняет постояк-

418

ное значение, а х получил приращение Ах. Тогда но теореме Лагранжа имеем:

f(x + Дя} у) - f(x, у)=(х + Ах- у) ~ f'x{x, у) Ах,

где х заключён между аг и х + Да;, причём при Да; —+ 0 х —+ х. Аналогично можно преобразовать выражение, стоящее в первой квадратной скобке в формуле для полною приращения;

/(X + Да;, у + Ay) - f(x +- Ах, у) = (у I- Ду - + Да:, у) =

= /J(a;+ Ах,у)Ау,

где ? заключен между у и ^ 4- Ду, причём при Ду О ї/ —* у.

Дг = f'x{x, у)' Да: + f'y{x 4- Ах,у) - Д^

Так как частные производные непрерывны по предположению, то

lim &(х,у) ^ ҐЛ*>У)\

Да^О

Ига (х + Ах, і/) = /ІС^і ї)-

Отсюда по теореме ] (гл, III, § 14) получим:

где а и /3 стремятся к нулю при Да; —» 0 и Ау О, Окончательно полное приращение принимает вид:

Д з = - ДЇ 4- у) ¦ Ay 4- а Дх + 0 ¦ Дт/,

Полным дифференциалом функции ? = f{x,y) называется выражение

и обозначается dx или Учитывая, что приращение независимого переменного равно его дифференциалу, т.е. Да; = dx, Ді/ — dy (см< § 25), получим, что полный дифференциал функции г —имеет вид:

Ох ау

Аналогично для функции и ~и(х. справедлива фор-

du — dx і + 4 іігз + ... 4- Jr— dxn.

dxt дхг Ззз

Задача 7. Найти полный дифференциал функций; а) z = е1 • sin (а;^2); б) и = arctg(a;^).

419

Решеііие, 1. Первый способ, а) Найдем частные производные

4 = 2хех*+У* ¦ sin (хгу2) + 2xy2e*i+v* со

^ = 2sin (aV) + 2ї'уеЕІ+"! cos(*V). Подставляя 4 и выражение для полного дифференциала, получим:

dz = } + у2 cos(*?)) ^ 4- 2у(еіп(аїа||2) +

+ cos(jV)}dyJ;

Vz ..г _ ХУ

t + cw 4 i+L

с/гь =

{^z сіа: + хг dy + xjy dje).

1 + (a;y*)2

2. Второй способ. Применяя правила дифференцирования, получим: a) dz = sm(aV) + соз{хУ)] dx +

+ вііі(^2) + 2ї/х2вягЧі'а coe(®V)l d?/ =

= є'

{2a:|sm(a?) 4- у2 cos{zV+

¦+¦ 2y[fcm(a;V) + * соз(хУ )j dy}',

уз dx

б) гі-u

xzdy . xy dz * ' і , г —

I 4- (тух)

I + (a^z)' і + (ЯУ*)'

6. Частные производные высших порядков. Пусть функция Z — — і(ХІУ) имеет в области D все частные производные первого порядка, которые сами являются функциями переменных а; и у. Поэтому от них можно находить частные производные.

Частными производными второго порядка от функции z = f(x,у) называются частные производные ат функций и /^'(х^у). Общее

число вторых производных от функций цзух переменных — четыре, так как каждую из функций и f'v можно дифференцировать как по х, так и по у.

д :

d*f

у»

или f?z(x,y)

Аналогично обозначаются остальные производные:

д

дх

=0 =&(*.»)

Дифференцируя ПО І и по у вторые производные, получим частные производные третьего порядка (их восемь) н т.д.

Задача S. Найти вторые частные производные от функций

а) и — х4, + у4, — 4х2у21 б) z — - соа(?3).

Решение.

а) < = - toy* и'<х - 12г1 - 8у2', и'у = V - 8 %2у, zth = 12 у2» Qx2;

if _ ХУ

и:

= -16.T7J, Ujj = -1 бху]

6} z' = z" = —- sm(xa) — 4— cos(^2); у у у

zxv = 34 sinf^); г' = ~4jcos(a;2)t V V

Задача 9. Найти если Ж = Решение,

Wi - ze*v* + - + xyz)e?v*;

- +- xtf**®1" + + nPyWe*** =

«(1+a^s + asV*1)^-

7. Теорема о равенстве смешанных производиых. Теорема 24. Если функция z = Дз:„у) кмеет внутри некоторой области D непрерывные производные /^{ar,v)t fy{x, у), у) и то во всех точках внутри области D смешанные производные равны! т.е.

у) =

Доказательство. Для доказательства рассмотрим выражение W = + &®tf + Ду) - fix + Л*, у)] - У + - №>

Вводя в рассмотрение функцию = -у + Ду) — /(ж, у), которая по условию теоремы имеет производную по х (по условию теоремы существует /х(Х)У}), получим, что выражение W можно представить

421

Как приращение этой функции, т.е. W = ? + ^) -= Так как для функции р(х) на отрезке [х,х + Ах\ выполняются все условия теоремы Лагранжа (см. §23), то, применяв к этой разности теорему Лагранжа, преобразуем W:

W - + Ах) - = {ar-f Дя - ffVfai) Аз * V^fa),

іде Xi заключено между я И яг h Дгт причём при Дж-0 ^ - і. Так как - fUxuV + J /і(®ьу) н, пользуясь существованием

второй производной Сад)* снова применим теорему Лагранжа, на этот раз к функции fi&i.yj аргумента у на отрезке + Ду]:

где ух заключено между у и у + Ду и при Ау 0 уі у. Таким образом, выражение W принимает вид:

W = Ах ¦ fZy&itVi).

Теперь перепишем л ер во начальное выражение W в следующем виде:

W « [f(x + Ах,у +- Ау) - + Ду}] - [Дат + Дх,у) - Д®,у)]

Н, пведя новую вспомогательную функцию -ф{у)

ИУ) = + Д^у) -

путем аналогичных рассуждений получим:

W = АуАх-/Ь(х2іУз),

где х3 —* х при Дг —* О и Уз у при Ду —> 0- С ледова тел ьн о, мы получаем

ИГ = Дгг * Дт,- /^(огі.уі) = Дя - Ау ¦

нли

f'Jv(x 11 Уі) - /yzfeli Уз).

Устремив теперь Дл; —+ 0 и Ау —* 0, перейдем в зтом равенстве к пределу. Учитывал, что f'Jv н fyX непрерывны по условию теоремы, получим:

lira /ху(хиуі) = f?y(x,y), Дт-0 Ду-0

lim /^(х2туг) =Шх>У),

Дг —о Ду—*о

Окончательно получаем: = /^(аг, у). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь две частные производные третьего порядка f3L

/

fit ¦ 1/ vei, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Учитывая

только что доказанную теорему, где говорится, что результат дву крат- 422

ного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можно записать:

?/1/ д /д Q fx ?>tt rift Jtflt

дхду ~ дудх ~ ~ Ty*x ~ Tyx

Это свойство можно перенести на смешанные производные любого го- рядка и на случаи функции любого числа аргументов. Таким образом, имеет место общая теорема: результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором оно производится.

Задача 10. Показать, что х?у — z^, если

a) z — х2 4- ху1 - + б) z = Xу. Решение.

а) ^ = З*2 - у2 - Ъу3; -2у- 15г/а; z'y - 2 ху - 15 ху2 + 5у4-,

б) 4 = ух»-1; - ху"х -г уху~1\пх\ 4 =¦ л^іпя; - — ухУ"1 ІТЇ X + Xу ' і = 4" In xr т Є- z'xy = .

Задача II. Показать, что W!SL = W™а, если

1) w = с1* ; 2) Т^ = sm(a:V); 3J W = хпут.

Решение,

W'a - у2ЄУ\ = jrV* ; = Ve^' + 2xy*e*v\

Wi = 2xyex*\ W^ -Ь Яа^е*»*,

Таким образом, W"L = Itt.

эе І/ І/І

= 2zj/2 cos і V, W^ ^ 2y2 cos x2yz - 4х2ул am x2y2,

= 4ycosx2y2 - 4«Vbhi«V - 16s V ein»V — Sar4y5 сов x2y2 =

= 4^(1 - 2;RV) COSIV - 2Qx2y3 sin x2y2; Wy = 2X2y сов x2y2, Wyx = 4xy cos x2y2 - 4гУ sin а2уг, Wyxt = 4y cos^V -&cVsinajV - sin^y — Sa'V cosi2y2 =

= 4y(l - 2xV) cos^V - 20ж2уэ зіпхну2.

Таким образом, =

3} Wl = nxn~lym, = n{n -

W$y = nm(n - l)xn-2ym~\ WJ = mxnym~K WyX = rMw""1^"1. WJJ* = " I^^V"-1»

Таким образом, -

[Гл. VI]

А2А

функции нескольких переменных

8. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второ-го порядка (вторым дифференциалом) функции и — /(и) называется дифференциал от первого дифференциала и обозначается одним нз символов ^ d2f{u)i d2f

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка н других выс-ших порядков. ., ,

Например пусть функция и = f(x,y) - двух независимых переменных х и у. Для дифференциала второго порядка имеем

Ои ду

dy

tPu = tf(rfu)

dx -Ь ^ dy

Так кйк дифференциалы независимых переменных dx и dy считаются постоянными, то их можно выносить за энак дифференциала как постоянные множители. Далее, учитывая, что по определению

первого дифференциала дифференциалы функций ^ и — находятся по формулам

ду'

Поэтому

(Здесь учтено, что

?k ^te^te3. dydy^dy2.)

Эту формулу можно записать в виде символического квадрата суммы

А

дх

dx •+

*

(*и =

Чтобы и з этой записи получить вышеприведённую формулу, нугкно произвести возведение в квадрат

и,

^ d±J + dxdy +¦ ^ V

пд:

' а/ у

а затем функцию ввести под їінакн вторых производных.

Аналогично, символическая запись имеет место н для дифференциала и-го порядка

tf*u(xTtf) = ^iLdx + jld^ ті = 1, 2,3,... 424

Дифференциал п-го порядка функции и = ti(a?i,-н. ,Фт)і где — независимые переменные, также можно выразить символической формулой

Л!- (к ¦Лсі + ШІ-+ ЯЇ'+ ¦¦ н" dh dx-T

Задача !2. Найти дифференциалы первого и второго порядка следующих функций:

а} и = хл + + у* і б) її = orctg(.T^); в) iz = ]ґі Решение.] способ, а) и =s аг4 -j- -І-і/4.

би

? = 4®* -І- 2ху*, ~ = 2х2у + V,

dti = ^ to + ~ dy = 2х(2х2 + jfltir + 2у (a? +

Далее

д2-

Єй

a*3 .dpfe

= 2(Єл;3 + уа)гіяїа -f 8ху dxdy +- 2 (в* 4-

б) и = аг ctg (.ту).

з і

у

2s3 у

А

дх і + (агу) 2ху*

.(і+Лт (i+«V)

а?

. _ yds + xdy t

. n fiT( '— ~ ' д j і

14-®V

r (.xt/)

1 » -V

U

(1 + *V)

=

[xy dx - (1 -+

в) и = In

du

du = 2xy2 (in l~\)dx + 2x2y (in I + i) dy; - 2у2 (ы 2 - I) dx2 + toy In I tody 4- 2*г (in | + |) dy2.

425

II способ. Применяя правило дифференцирования, имеем: a) du = (4тэ -Н 2ху2) dx + (2х^у + 4у3) dy =

= 2дг(2.т2 + у2) dx + 2у{х2 -ї-2у2) dy, d2u = {12х'Л 2y2)dx2 -Ь 4xydxdy + Аху dydx + {2х2 -f- 12j/2) dy2 =

= 2(5т3 у2) dx + Йху dx dy + 2(х2 + 6у2) dy2.

ydx

ydx + xdy _

~ -j Л і

1 4 xV

б) du =

xdy

l+x2y2 1+iV

O-f-aV}3 (i+®V) (i + iV]

Ory3 dx -(1 - cir cfy + dfr*);

(1 + JCVT

в) dii = I" I - ^ + (2s 2y Іл | + a:3^ tfy =

= bcj,3 (ln|dx + ax2y (in I + i) dy, d2u = In I — 2ya - уdx2 -t- In | + 2ary - dx dy + -h In I - 2зсу + dy dar + (Win | 4- 2л;2 + xc2) ^y2 ^

= (in I - I) dx7 4-in I dxdy+ 2x* (їй I + I)

Задача 13. Проверить правильность нахождения частных производных первого и второго порядков следующих функций. 1) U — а;3 -Ь у3 + ^ + 3xyz.

^ = Зх» + = V + Зи, | = Зі2 + jhv, = бі, с?*3 дуЗх dzdy t)2

It

3 ^-j,

=* Зх. ^ 5= 6г.

2) и = In - + sin ху = In |g[ — In |y| + sin xy.

у

3ti 1 ( fru 1 , Эги

соsxy — ху білху,

-s- — - 4-усазяу, ™ = hя:СОЙху, ——

dx X ^ ву у дх&у

І* ЧІ11 і

6} ffav) = I —j— dt. Учитывая, что

A

dx

Tp(t) dt = (см. § 47), получим

Xі x

— 0;

dj _ Si" У2 - g v~. _ jV _

Ї/

Oydx

—^ — —ті \2x cosar — sinr) = 2 —— 4cos2 , dx x ^

Зу Ї/

Ї2/

7) Найти F^Ci^v), если F(x,y) = | (z - yz)f{z) dzt где f(z) диф-

x/y

ференцируемая функция. Решение Учитывая, что

VI С")

да

/(«, i) dt = о - +

«І

(см, § 48), получим

F'Ax, у) ±у(х~у< xy)f{xy) - І (х - у. / ф 4- { /(г) ^ -

J^y) - х{1 - 3y2)f(xy) -f а?у{ 1 - у2)/'(*у) 4- 4-

+ ? ; (l) = х(2 " sfWw)+ 7 / + *2?<х - v Vto).

Задача 14. Найти функцию если известен её первый

дифференциал:

a) du ^ (у2 ^ 1) dx 4- у{2х 4- 3) dy;

428

б) du = (у - J dx + + x4- -ooe2yj dy,

в) du — (sin 2y — у tg i) dx + (2a; cos 2y + In cos a: + 2y) dy.

Решение. Пусть ip\(x,y) и — дифференцируемые функ

ции, тогда выражение Фі(х,у) dx -Ь ФгІріУ) dy будет первым дифферен-циалом некоторой функции если

_ дрг ду дх

{равенство смешанных производных), причём

д-ф\ Вф а

fin

ду д:с 1 10 дх

а) Так как ^ = у2 — 1, фъ — 2ху + 3у и

= І>1=У2 ~ 1. Отсюда и= {у1 - \)dx + v{y) = - 1) H-v(y). Диф-ференцируя это выражение по у и учитывая, что = получим

дії 3

щ = 2ху + Uy(v) = V>2 = + 3у или v'v(y) = 3у, а и(у) = - у2 + С,

Следовательно, искомая функция есть

и(х,у) = х(у2 - + = х{уъ - 1) + | у2 + С;

а®

б) -фі - у у», уг = 1 + я + — сое2і/ и — тогда =

Эаг

ау

, аіпйу ( ч , sm2y . , ч дії . „cas2y .

= Vi = V pA a y) ш xy + —+ «№)• ай = —^

+ + = 1, - у + С. Искомая фу нкцня есть

¦ X

u(xty) =ху+ ±5т2у + у+С^у(х + 1)-\-^&т2у + С-,

в) -фі = sin 2у-у tgz, = соя 2y + In j cos gj + 2y и - =

^ - = sin 2y - у tg x, u{Xi у) ^ x sin 2y -f у In | cos x\ + u(y), щ =

= = 2xcos2y4-ln|cos?| +u'(v) = 2зеcos 2y + In | cos x| + 2y, v'{y) = —y2+C. Следовательно,

"fo у) ~ J/2 +ism2y + у In |cosx| + C.

9. Производные и дифференциалы функции, заданной неявно,

I. Если функция F(x}y,z) обращается а нуль в некоторой точке Afo(?btltot*b) и F(xty,z) и F^(x,y,z) определены и непрерывны а окрестности точки Mo{xotyo,zо) и о, уо, ?о) ф 0. то в некоторой

429

достаточно малой окрестности точки Mo(3q, существует един

ственная однозначная непрерывная функция z = /(х,у), удовлетворяющая уравнению y}z) — 0.

2, Пусть z = z{x^y) функция двух переменных, заданная уравнением F^x.y.z) — 0, где F(xyytz), Fy(x,y,z) — непрерывные функции и F'z{xty, z) Ф 0, тогда первые частные производные функции заданной неявно, определяются по формулам

dz^ F'z{xiy,z) dz _ dz dy FLfay,*)'

Производные высших порядков вычисляются последовательным диф-ференцированием этих формул.

Задача 15. Найти вторые частные производные функции z(xtу), заданной неявно, если

1) х- + у + z2 = Я2, 2) az2 + 2axyz - Ь2 = 0.

Решение.

+

1) Так как F(x, у, z) = + у2 + - R2, то F^ = 2х. F*y = 2у, 1% = = 2z, a = z'y — — Найдём теперь вторые производные

& z у ,

*

=

дхду

_Э

\&у) ЗуК 1) ^

у

fo3

_ (г 4 ) (г + ду) — xz(y 4 zT)

дхду

2,21 _ z 4-х т/Zj

г ( г2 -f xyz х2у2} {z + агу)3

dfi (z + xy)2 +

Задача 16. Найти z'x, z' 4, г", z'' dz, dPz, если z-he* —x2 -

У

2=0.

Решение, Дифференцируем данное уравнение

dz + czdz -2xdx- 2ydy = 0:

430

отсюда выражаем dz

С*)

z j +V

Oz dz

Сравнивая с формулой dz = — dx + щ dy, получаем

dz

2x

_ 2y

dx 1 + ez' dy Ife"

Далее, дифференцируя равенство (*) и подставляя в результат выражение для dz, определяемое формулой {*}. имеем

V 1 + е ) {1 +1 )2 1 + е

{2xdx -f 2у dtjf л 2dx:i + 2dy*

- (i + е )3 е + ї+7 "

77^73 1(2-2^ +e*+e-*)dx2 +

{1 + е )

+ (2 - 2у2 ^ є"*) dy3 - dx .

Сравнивая это выражение с формулой d2z = * dx2 + dxdy 4-

дх'

дхду

+ ^-f di/2, находим, что

2ес

d2z

(l + e*)3'

Другой способ. Так как — % е* - х2 ~ І7, — —2xt F' —

- -2у, F^ 1 -+¦ то

FL

dz дх

2х

dz = _

1 + е* —¦ _

Далее по определению

= э fdz_\ _ д_ ( 2х \ _ 2

дх3 ~~ ~ Ас \ 1 + С*/

(1+е8)

_0 дхду

= JL = І. (ЛL '1 =

J f

(1 + е*)3 О + О

віду дх\ду) Йа; \1 + с*/ ^ д_ (дЛ _ f 2у Л _ 1 +

2е~

14 е

їла

1 + е"/

3 (2 - 2j/2 ч- Н- 6і),

(If О

[(2 - 2х' 4 с~г -h tf)dxг - +

Для функции tt — f(x, у, определяемой уравнением F{x,Pi z,u) = О, частные производные находятся по формулам

^ и _ дгі _ _ pr і n

dx " Ft* РУ dz F"

10. Применение дифференциала в приближённых вычислениях- Пусть задана дифференцируемая функция /{я,у), В приближённых вычислениях используется приближённая формула Л/ « df или

/{х 4 Ах, у 4- Ay) « f(xt у) +

Пример. Вычислить (3,03^

Решение, Рассмотрим функцию f[x,y) = \Jх2 4-у2, Её производные равны

+ Дя)2 4 ІУ 4- Ау)2 &

Ці

** у/х*Ту* +х ¦ Ах - (х2 + э/2Г1/2 f а ¦ Ду ¦ (я* + уаГ1/а. Полагая а: = 4, Ах = —0,05, у = 3, Д^ — получим

/(3,95)її + (3,03)2 к ^4*4 3* - 4 0,05(4= + 4

4 + | ъ

— 5 — 0,04 + 0,013 к 4*98.

4 3 - 0,03(42 + З2)-*'2 = 5 - ^ ¦ 0,05 4- | ¦ 0,03 =

о о

11. Дифференцирование сложных функций. Пусть їй = и){гі}гО, где и = f(x,y) и япляютсп функциями независимых пере

менных х и у, тогда функций w есть сложная функция аргументов х и у.

1. Если фуЕШции и и V подставить в ти, то получим ш = т(/(а:,у),

Например, w = виши, где и = ху, и — In асу, тогда ги =¦ г?) — — ід(:гу In ху) — БІп(,ту In ху),

В этом случае частные производные по ^ и у находятся по вышеизложенным правилам нахождения частных производных

^ = cosuu jj/ійху 4- зсу^) — y(inaiy-h l)cosuv = у(1 4- и) COSU1J,

^ = cos ни { яіпяу 4 ху- ] = x(Ina;y -Ь 1}сояг™ 4- и) cos uv.

ay \ у J

2. Частные производные сложной функции w(u} v) можно также вычислять по формулам

chu _ ftu ди , div th div _ dw ^ ди dw dv 9x tot ' 0* dv ' Oxf Gy " ви ' &v * dy *

тогда

, ^ /ч ! \

-5— = COS UV ' V ~ у + COS UV ¦ U ¦ - = J/(l +ll) COS UV\

(j'J*

^ = cos uv * v ¦ x 4 00s uv ¦ и * — = 4 1) cos uv. ду У

Задача 17. Наити и -5-, если:

от оу

ID = arctg{vT))p где и — V = Ж*;

-ш — и ¦ ve?1где = tgxy. Решение. . ' v

і) = Лі + = • (і + і) ,

дх n-uV V v / I+11V \ У/

dw ду

т-ї { -v-тг 4 uxyln я) « ¦ и\-*і (їп х - М .

V у J і+їгг V V

cos іу У

2) ™ - +"* (v 4 2ш3) 3®= 4 С*4*3 (и + 2uv2) ^J^ -

v а

- ™ \гх2 (2и 4 4- (2tr + і)

і Ч и/ cos v}

ду сой ху

434

[Гл, VII

Функаии^ческол ьких переменных

Если функция где и = -и(х) и v — v{a:) функции одного

переменного, то iti{xt ti, t?) есть функция одного переменного, ее производную можно вычислять по формуле

dw_ _ dw dw du dv

dx dx du dx dv dx'

Эта производная называется полной производной в отличие от частной

dw

производном —.

Задача 18. Найти ™ н если:

ах ах

1) V) яг sin2 у7, где у = f(x); 2) w - ххуту где у = hia tgx. Решение.

, ,, Out „ ¦ а і 1) ^ = 2хе sin і/,

dw dw . dw dy n ¦ 2 з , z3^ ¦ а 2 л tn % fa " Ж + ^ "й =2ХЄ SiTL У 2smyacoay3 -/ (*} =

- 2ХЁ37' sin у2 (sin v2 4- /'(x) .

dw

2) — = i/ro(i»); = гГхя{1 4- in x).

dw dx

tgx CC?r

= +lux)+ 1 ' 2hltg?

Л J 1 . A™ bl tg

= u 1 4- In ж 4- 4—

у ЕІЛ 2x Задача 19. Найти:

z'x(p,ip) и если р =» v^-b:/, ^ = arctg —, 2 = z(p, p);

x

и если ? в у- z = z{x,y). Решение.

V r

П —

; dx

, dz dip xz'p , i2 ^ 1 , / r,

It ¦>

x

dz dz dp , dz dip 1 , , , , ,

a* a^

-pz'x sin tp 4- pz fy cos If =

dz дх , dz ду _ dx dtp ду д<р

= p{z' C05

zv sm (p,

dz dz dx t dz dy ,

§Ш]І' Зкспірсмум "функции нескольких? Пёр сменных 435