Некоторые сведения о совокупности решений уравнений с частными производными

В отличие от обыкновенных д. у. в случае уравнения с частными производными элементы общего решения являются не константами, а функциями. При этом, выбирая указанные функции с помощью дополнительных условий, мы получим частное решение уравнения в частных производных.

Рассмотрим ряд примеров:

Пример 1. Для функции u=u(x,y) решим д. у. . Очевидно, что функция u не зависит от x, следовательно, u=f(y), где f(y) – произвольная функция y.

Пример 2. Для функции u=u(x,y)

, , ,

Интеграл от произвольной функции также является произвольной функцией. . Таким образом, общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные функции f(y) и φ(x).

Пример 3. Рассмотрим более сложный пример .

Для упрощения сделаем замену ξ=y-x, η=y+x.

подставим производные в новых переменных в д. у.

, следовательно, .

u не зависит от η, следовательно , f – произвольная функция.

Пример 4. Найдем общее решение уравнения колебаний струны

Разделим все уравнение на а², которую считаем постоянной.

, обозначим at=y, .

Введем новые переменные ξ=x-y, η=x+y, и вычислим в этих переменных производные 1-го и 2-го порядков:

Найденные решения подставим в уравнение, получим .

При решении примера 2 мы получили, что решением такого д. у. является сумма двух произвольных функций . Возвращаясь к старым переменным найдем общее решение уравнения колебаний:

.

Пример 5. (якобиан равен нулю).

Следовательно, функции u и v зависимы и общее решение данного д. у. . Произвольные функции могут входить в общее решение достаточно сложным образом.

Пример 6. Рассмотрим простое д. у. , u=u(x,t). Общим решением будет , где φ – произвольная функция. Проверим, что данная функция есть общее решение:

, откуда .

, откуда .

Подставим все в д. у. , получили тождество.

Пример 7. Рассмотрим уравнение 4-го порядка

(бигармоническое уравнение). . Интегрируя по x получаем . Полученное выражение проинтегрируем по y: . Интегрируя еще раз по y получим .

Учитывая, что интегралы от произвольных функций также являются произвольными функциями, можно записать . Таким образом, общее решение уравнения 4-го порядка содержит 4 произвольные функции.

Пример 8. u=u(x,y,z), , .

Рассматривая приведенные примеры можно сделать предварительные выводы. Общее решение д. у. в частных производных зависит от произвольных функций. Число этих функций совпадает с порядком д. у., а число независимых переменных входящих в эти произвольные функции на единицу меньше, чем число независимых переменных входящих в д. у. Данный вывод подтверждается всеми существующими решениями уравнений в частных производных, однако существует достаточно общая теорема, которая фактически содержит это утверждение.

Теорема существования Коши-Ковалевской (для одного д. у.)

В этой теореме рассматривается д. у. порядка k, записанное в нормальном виде:

(1)

где x – некоторое выделенное направление в пространстве.

Заданы дополнительные условия вида

(2)

Если функция f в уравнении (1) и функции φ_i(y₁,y₂,..,y_n), входящие в начальные условия (2) аналитичны в окрестности начала координат, то задача Коши для уравнения (1) с условиями (2) имеет в этой окрестности единственное решение (без доказательства).

Из этой теоремы следует, что решение уравнения k-го порядка должно содержать k произвольных функций, которые можно определить из k начальных условий (2). Заметим, что решение состоит из произвольных функций, которые содержат число независимых переменных на единицу меньше, чем их число в уравнении.

Задача Коши состоит в том, чтобы построить решение уравнения (1), которое при x=0 принимает начальные значения (2).