Некоторые определения и понятия
Для функции u(x,y,…) независимых переменных x,y,… имеем соотношение вида
(1)
называется уравнением с частными производными.
В дальнейшем мы всегда будем считать, что функция F непрерывна и имеет частные производные по всем своим аргументам в областях их изменения.Функция u(x,y,…) называется решением дифференциального уравнения (1) если, будучи подставленной в это уравнение, она обращает его в тождество.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него, например
- 1-го порядка,
- 2-го порядка.
Уравнение (1) называется линейным, если оно линейно относительно функции u и всех ее частных производных. В то же время коэффициенты могут зависеть от независимых переменных x,y,…, например
Уравнение (1) называется квазилинейным если оно линейно относительно старших производных, в то время как его коэффициенты зависят от независимых переменных, искомой функции и производных более низкого порядка, например
В случае двух независимых переменных решение д. у. (1) можно геометрически рассматривать как поверхность в пространстве x,y,u.
Уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, если независимая переменная одна.