26. Метод сведения линейной системы к одному уравнению.

Пример 1. Система дифференциальных уравнений

- линейная; она имеет нормальный вид.

в этом примере мы имеем линейную систему с постоянными коэффициентами (коэффициенты при неизвестных функциях и их производных постоянны).

Из линейной системы (присоединяя к ней уравнения, выведенные дифференцированием) можно исключить все неизвестные (и их производные), кроме одной. Полученное уравнение будет содержать одну неизвестную функцию и ее производную первого и более высоких порядков. Это уравнение тоже будет линейным, а если исходная система была системой с постоянными коэффициентами, то и найденное уравнение высшего порядка будет иметь постоянные коэффициенты.

Разыскав неизвестную функцию этого уравнения, подставляем ее выражение в данные уравнения и находим остальные неизвестные функции.

Пример 2. Решить линейную систему примера 1.

Решение: Чтобы исключить y и , продифференцируем (1). Получим:

= - + 3t. (3)

Из уравнения (1) находим выражение y через t, x и ; подставляя в (2), найдем выражение через те же величины. Подставляя это выражение в (3), получим линейное уравнение второго порядка

+ - 6х=3t2-t-1 (4)

Находим его общее решение

x=C1e2t+C2e-3t - t2 (5)

Это выражение подставляем в уравнение (1) и находим вторую неизвестную функцию

y = - + x + t2 = - C1e2t + 4C2e-3t + t2 + t (6)