<<
>>

1.5. Исследование систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений.

Задача: определить: Совместна или нет данная система Если совместна, то сколько имеет решений а)единственное

б)беск.множество

Понятие ранга матрицы

А=() i= j=

Возьмем в матрице К строк и К столбцов, тогда элементы матрицы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка К.

Определитель этой квадратной матрицы называется минором порядка К для матрицы А.

Опр.1. Наибольший порядок минора матрицы, отличный от нуля называется рангом матрицы.

Опр.2. Число r(A)=k называется рангом матрицы А, если среди миноров порядка k есть по крайней мере один, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.

М==0 М==-20 М==0 М==3 Ранг равен 3.

Совершенно очевидно, что нулевой ранг имеет только нулевая матрица. Если матрица не нулевая то её ранг1. С другой стороны если матрица имеет порядок MxN, то r(A)min(M,N).

Теоремы о ранге матриц

Т.1. Если матрица А эквивалентна матрице B, то ранг матрицы А равен рангу матрицы B (элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы).

Доказательство.

Для докозательства достаточно доказать, что каждое из преобразований не может изменить ранга матрицы.

1) А~B B получена умножением строки(столбца) на отличное от нуля число.

А= B=

Если i-я строка не входит в выделенный минор то миноры матриц А и B совпадают. Если i-я строка входит в выделенный минор В=А(по св-ву определителей). Если минор А был отличен от нуля, то В будет отличен от нуля. Таким образом умножение на отличное от нуля число не изменяет ранг матрицы.

2) A~B B получена прибавлением строк

А= В=

Если выбранные строки не содержат i-й строки, то соответствующие миноры матриц А и В полностью совпадают. Если минор матрицы А=0, то и минор матрицы В=0, если минор матрицы А0, то и минор матрицы В0.

Если выбранные миноры содержат i-ю и j-ю строки, тогда М(А)=А=

В=

минор В получен из А путем прибавления строки. Элементарные преобразования получаются с помощью конечного числа преобразований 1 и 2 типа и по уже доказанному на каждом из шагов ранг матрицы не меняется. Следовательно, он не изменится и за конечное число шагов. Ранг матрицы не меняется, если произведено конечное число элементарных преобразований.

Т.2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

<< | >>
Источник: Лекции по Линейной алгебре. 2016

Еще по теме 1.5. Исследование систем линейных уравнений:

  1. 1.3. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера).
  2. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
  3. Решение произвольных систем линейных уравнений.
  4. Линейные уравнения.
  5. Тема 3. Системылинейных уравнений. Модель Леонтьева.
  6. 1.2. Линейные уравнения и неравенства
  7. 1. Линейные уравнения.
  8. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
  9. 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
  10. 3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
  11. Тема 4 Решение систем линейных уравнений.
  12. Тема 5 Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).
  13. Содержание