2. Построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты a_i и b_i выбираются таким образом, чтобы разностное уравнение (2) аппроксимировало дифференциальное уравнение (2.1) с достаточно гладкой правой частью с некоторым порядком s.

, (9)

является величиной 0(h^s+1). Число s называется порядком аппроксимации, или степенью разностного уравнения (2). Величина

(10)

называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (2.1) разностным уравнением (2).

Другими словами, погрешность аппроксимации — это невязка, которая получается после подстановки точного решения дифференциального уравнения в разностное уравнение (8).

Степень s разностного уравнения (2) определяется только коэффициентами a_i и b_i этого уравнения и не зависит от того конкретного дифференциального уравнения, для решения которого оно применяется.

Для того, чтобы величина r_n+k и погрешность аппроксимации r_n+k не изменялись при умножении разностного уравнения (2) на произвольную постоянную, вводится нормировка разностного уравнения с помощью дополнительных условий, налагаемых на коэффициенты уравнения. Обычно полагают:

, (16)

. (17)

При выполнении условия (16) уравнение (2) можно записать:

. (18)

В этом случае невязка r_n+k (9) называется локальной погрешностью формулы (18).