О построении всех содержательно полных традиционных силлогистик на основе суждений с двумя степенями неопределенности и с нетривиальной авто-порождающей функцией

Аннотация. Проведено систематическое исследование по выявлению и построению пятидесяти пяти силлогистик, альтернативных по некоторым критериям близости традиционной силлогистике из суждений Аристотеля, с помощью предложенного автором ранее семантического метода вычисления результирующих отношений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Construction of all Substantially Complete Traditional Syllogistics Based on Judgments with Two Degrees of Uncertainty and with a Nontrivial Auto-generating Function

Abstract. A systematic study was conducted to identify and construct fifty-five syllogistic al­ternatives to traditional syllogistic from Aristotle's judgments, according to some criteria of proximity, using the semantic method proposed by the author for calculating the resulting re­lations. It has been shown that historically, the first syllogistic of the four judgments of Aristotle A, E, I, and O takes one of the first places among the syllogistic systems that are similar to it in terms of deductive productivity which indicates the extraordinary insight of the creator of syllogistic.

Keywords: syllogism, syllogistic, resultant relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Ассерторическая (немодальная) силлогистика Аристотеля была создана великим греческим мыслителем около 2500 лет назад как исторически первый раздел науки логики, посвященный дедукции в рассуждениях из категорических суждений, то есть гарантированному логическому следованию из суждений о свойствах (атрибутах) предметов - атрибутивных суждений, о которых можно сказать, истинны они или ложны без каких-либо условий, и в которых различается субъектно-предикатная форма.

A - Все Sсуть P -общеутвердительное суждение;

E - Ни один Sне есть P- общеотрицательное суждение;

I - Некоторые Sсуть P- частноутвердительное суждение;

O- Некоторые Sне суть P- частноотрицательное суждение, где

S- субъект суждения, P- предикат суждения.

В своей силлогистике Аристотель принял интерпретацию кванторного слова «все» в разделительном смысле как «всякие», а кванторного слова «некоторые» в неисключающем смысле как «некоторые или все» и ввел понятие силлогизма как опосредованного умозаключения из двух посылок - суждений, связанных общим средним термином. Пример силлогизма: первая посылка: «Некоторые врачи - женщины», вторая посылка: «Все хирурги - врачи», заключение: «Некоторые хирурги - женщины».

Среди всех возможных силлогизмов Аристотель выделил важные для практики правильные силлогизмы, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью, то есть при любых конкретных терминах. С помощью аксиоматического метода и неформального метода отбраковки правильных модусов нахождением контрпримеров удалось выявить среди 256 возможных модусов силлогизма 19 сильных правильных модусов, которые оказались неравномерно распределенными по четырем фигурам силлогизма:

1 фигура: MP-SM - AAA, EAE, AII, EIO;

2 фигура: PM-SM- EAE, AEE, EIO, AOO;

3 фигура: MP-MS - AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO;

4 фигура: PM-MS-AAI, EAO, IAI, AEE, EIO,где

M - средний термин, а Sи P - крайние термины силлогизма.

Вышеприведенный силлогизм о врачах не является правильным, так как его логическая форма «Некоторые Mсуть P»,«Все Sсуть M», следовательно «Некоторые Sсуть P» - IAIпервой фигуры отсутствует среди правильных модусов Аристотеля, что подтверждается следующим контрпримером: «Некоторые фрукты - лимоны», «Все яблоки - фрукты», следовательно «Некоторые яблоки - лимоны».

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [4] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения - это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественным отношением между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [5] логической структурой категорического

суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая (семантическая) структура суждения в отличие от его логической формы обладает замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно 7 (отношения Кейнса [6]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Примечание.

соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Именно эти отношения, а не общеизвестные отношения Жергонна, соответствующие незафиксированному универсуму рассуждений, позволяют адекватно выражать семантику суждений с отрицательными терминами, характерными для расширений силлогистики Аристотеля, например, для силлогистики из суждений А. де Моргана [7]. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [8] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

базисных суждения. Общее число базисных множеств различных силлогистик из четырех суждений равно числу сочетаний из 128 по 4, то есть более 10 миллионов.

Цель публикации

Целью данной публикации является продолжение систематического исследования, предпринятого в работе [11] по выявлению силлогистик, которые могли бы быть альтернативными по некоторым критериям традиционной силлогистике из суждений Аристотеля, и сравнение их между собой. Толчком к проведению подобных исследований послужила статья [12], в которой высказано сомнение в том, что мы адекватно понимаем логику Аристотеля. По мнению автора этой работы, «мы ещё не достигли строгого понимания условий истинности категорических атрибутивных высказываний, и до сих пор нет содержательно адекватной семантики категорических атрибутивных высказываний, с изучения которых когда-то началась наука логики». В настоящей публикации сделана попытка прояснить данный вопрос путем перебора всех возможных семантик категорических суждений для силлогистик, близких к силлогистике из суждений Аристотеля по четырем рассмотренным ниже критериям.

Ограничение числа вариантов рассмотрения

Очевидно, что исследовать 10⁷силлогистик как альтернатив силлогистике Аристотеля, по крайней мере, вручную, не представляется возможным. Требуется резко уменьшить их количество за счет введения некоторых ограничений. Одно из таких ограничений, предложенное в работе [11], состоит в том, что целесообразно исключить из числа анализируемых на первом этапе суждений те из них, автопорождающая функция которых по методу вычисления результирующих отношений дает тривиальные решения в виде тождественно-ложных или тождественно-истинных заключений. Для этого требуется произвести ровно 128 вычислений результирующих отношений для силлогизмов, обе посылки которого по форме совпадают с данным суждением. Результаты такой процедуры сведены в таблицу 3, примеры вычислений представлены ниже.

Таблица 3

Перечень суждений традиционных силлогистик, автопорождающая

функция которых не является тривиальной

Семантический номер суждения представляет собой десятичный эквивалент двоичного числа, соответствующего условиям истинности суждения, то есть теоретико-множественным отношениям между терминами суждения со стороны их объемов, записанными в порядке возрастания номеров отношений. В таблице 3 имеется 25 суждений. Число сочетаний из 25 по 4 дает число порядка 10⁴, что в 1000 раз меньше предыдущего, но, к сожалению, все еще остается слишком большим. Требуется продолжить процесс ограничений. Следуя работе [11] в качестве ещё одного ограничивающего признака выберем степень неопределенности суждения, равную двум, как в общих суждениях Аристотеля, при этом под степенью неопределенности суждения будем считать число отношений в его логической структуре. Путем выбора соответствующих

суждений из таблицы 3 получим 11 следующих суждений: 20(9,13), 24(9,11), 66(6,14), 96(6,7), 80(6,9), 72(6,11), 68(6,13), 48(7,9), 34(7,14), 18(9,14), 12(11,13). Заметим, что силлогистика Аристотеля является содержательно полной, то есть для любого из четырех базисных суждений Аристотеля имеется его контрадикторное отрицание: A = O', O = A', E = I', I = E'.Это свойство, важное для практики, целесообразно сохранить. Если из перечисленных выше 11-ти суждений образовать всевозможные пары и добавить к ним их отрицания, логическая структура которых является дополняющей до всех 7 отношений, то получим 22 суждения с семантикой, представленной в таблице 4. Из указанных суждений можно образовать всего 55 базисных множеств, представленных в таблице 5 в виде перечисления семантических номеров входящих в них суждений, и столько же силлогистик как альтернатив традиционной силлогистике из суждений Аристотеля. Задача состоит в построении каждой из этих силлогистик и выявлении всех правильных сильных модусов для каждой для них в четырех фигурах силлогизма, при этом общее число требующихся вычислений составит 55*16*4 = 3520.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения альтернативных силлогистик метод вычисления результирующих отношений заключается в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают семантические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

Таблица 4

Семантика суждений для альтернативных силлогистик

Таблица 5

Базисные множества суждений альтернативных силлогистик

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают те из них, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (то есть включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену определенных суждений в соответствующей фигуре посылках в результатах вычислений для первой фигуры.

Примеры вычислений авто-порождающей функции

1) 1 (15), 1 (15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

2) 2 (14), 2 (14) 31 (9,11,13,14,15);

14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.

3) 12 (11,13), 12 (11,13) 63 (7, 9,11,13,14,15);

11, 11 — 11; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 13 — 13;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 14, 15.

4) 14 (11, 13, 14), 14 (11, 13, 14) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Примеры других вычислений

Для аристотелевской традиционной силлогистики №5 - 20, 66, 107, 61 (AEOI)(см. табл. 6) все вычисления выполнены в работе автора [14]. В результате получены представленные во введении общеизвестные правильные модусы Аристотеля. Вычисления для альтернативных силлогистик №6 - 24, 66, 103, 61 (A*EO*I)и №1 - 20, 24, 107, 103 (AA*OO*)представлены в работе [11]. Ниже приведены вычисления для выявленной в статье альтернативной силлогистики №2 - 66, 96, 61, 31 (EE*II*),правильные модусы выделены.

1 фигура: SM-MP

1) E (6,14), E (6,14) I*(9,11,13,14,15);

6, 6 — 9; 14, 6 — 13;

6, 14 — 11; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.

2) E (6,14), E*(6, 7) I (7, 9,11,13,15), I* (9,11,13,14,15) - неоднозначность результата;

6, 6 — 9; 14, 6 — 13;

6, 7 — 13; 14, 7 — 13;

P.O.: 9, 13.

3) E (6, 14), I (7, 9, 11, 13, 15) — -;

6, 7 — 13; 14, 7 — 13;

6, 9 — 6; 14, 9 — 14;

6, 11 — 14; 14, 11 — 14;

6, 13 - 7; 14, 13 - 6, 7, 13, 14, 15;

6, 15 - 15; 14, 15 - 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

4) E (6, 14), I*(9, 11, 13, 14, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

6, 9 - 6; 14, 9 - 14;

6, 11 — 14; 14, 11 — 14;

6, 13 — 7; 14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15;

6, 14 — 11; 14, 14 — 9, 11, 13. 14, 15;

6, 15 — 15; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

5) E* (6, 7), E (6,14) I (7, 9,11,13,15), I* (9,11,13,14,15) —неоднозначность результата;

6, 6 — 9; 7, 6 — 11;

6, 14 — 11; 7, 14 — 11;

P.O.: 9, 11.

6) E* (6, 7), E* (6, 7) I (7, 9,11,13,15);

6, 6 — 9; 7, 6 — 11;

6, 7 — 13; 7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

7) E*(6, 7), I (7, 9, 11, 13, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

8) E* (6, 7), I* (9, 11, 13, 14, 15) — -;

6, 9 — 6; 7, 9 — 7;

6, 11 — 14; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

6, 13 — 7; 7, 13 — 7;

6, 14 — 11; 7, 14 — 11;

6, 15 — 15; 7, 15 — 7, 11, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

9) I (7, 9, 11, 13, 15), E (6, 14) —

7, 6 — 11; 7, 14 — 11;

9, 6 — 6; 9, 14 — 14;

11, 6 — 7; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

13, 6 - 14; 13, 14 - 14;

15, 6 - 15; 15, 14 - 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

10) I (7, 9, 11, 13, 15), E* (6, 7) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

7, 7 - 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 - 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

11) I (7, 9, 11, 13, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

12) I (7, 9, 11, 13, 15), I* (9, 11, 13, 14, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

13) I* (9, 11, 13, 14, 15), E (6, 14,) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

14) I* (9, 11, 13, 14, 15), E* (6, 7) —

9, 6 — 6; 9, 7 — 7;

11, 6 — 7; 11, 7 — 7;

13, 6 — 14; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

14, 6 — 13; 14, 7 — 13;

15, 6 — 15; 15, 7 — 7, 13, 15;

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

15) I*(9, 11, 13, 14, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

16) I*(9, 11, 13, 14, 15), I*(9, 11, 13, 14, 15) — 127 (6, 7, 9, 11, 13, 14, 15);

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Результаты вычислений для всех 55 силлогистик представлены в таблице 6 в порядке уменьшения их дедуктивной продуктивности, в качестве показателя которой принято число правильных сильных модусов во всех фигурах силлогизма.

Таблица 6

Результаты построения альтернативных силлогистик

Анализ результатов вычислений

Первые четыре альтернативные силлогистики в таблице 6 имеют большее число правильных сильных модусов, чем традиционная аристотелевская силлогистика №5. Эти силлогистики обладают свойством силлогистической полноты, позволяющим ограничиться вычислениями только в первой фигуре силлогизма. Силлогистики №6, №7 и №8 имеют такое же число правильных сильных модусов, что и традиционная аристотелевская силлогистика №5, и свойством силлогистической полноты эти силлогистики не обладают. Все остальные альтернативные силлогистики имеют гораздо меньшую логическую эффективность, а в последних 12 из них вообще отсутствуют правильные модусы. Рассмотрим более подробно первые 8 силлогистик из таблицы 6. В силлогистике №1 (AA*OO*)вместо общеотрицательного суждения E используется общеутвердительное суждение A*,а вместо

частноутвердительного суждения Iиспользуется частноотрицательное суждение O*.Общее число сильных правильных модусов равно 24 (по 6 в каждой фигуре). Между вершинами логического квадрата по всем его сторонам действует отношение независимости, а по диагоналям, как и в силлогистике №5 (AEIO), отношение контрадикторности. В этой силлогистике, как уже отмечалось, отсутствуют общеотрицательное и частноутвердительное суждения, что, возможно, является причиной того, почему Аристотелем не была рассмотрена эта силлогистика несмотря на то, что она построена из известных ему суждений. Её открытие в свое время могло бы навести Аристотеля на мысль о множественности силлогистических систем. Неоспоримое преимущество данной силлогистики состоит в том, что, благодаря свойству силлогистической полноты, сильные правильные модусы распределены в ней по фигурам равномерно, и все правильные модусы силлогистики можно получить из модусов первой фигуры простой заменой суждений A^A*, O^O* в соответствующей фигуре посылках, а именно: во второй фигуре - во второй посылке, в третьей фигуре - в первой посылке, в четвертой фигуре - в обеих посылках одновременно. Силлогистики №2, №7 и №8 в аристотелевской парадигме без фиксации универсума рассуждений были невозможны, поскольку содержат суждения с отрицательными терминами (E*и I*). Отметим, что силлогистика №2 является единственной силлогистикой с неоднозначными результатами. Что касается силлогистик №3 и №4, имеющих по 20 правильных сильных модусов, то суждения, составляющие их базисное множество, не имеют простых выражений на естественном языке, что затрудняет их использование на практике. В альтернативной силлогистике №6 (A*EO*I)по сравнению с традиционной силлогистикой №5 из суждений Аристотеля A,E,O,Iвместо общеутвердительного суждения Aиспользуется общеутвердительное суждение A*, а вместо частноотрицательного суждения O- частноотрицательное суждение O*, в которых субъект и предикат переставлены местами. При этом общее число сильных правильных модусов в обеих силлогистиках равно 19, и правильные модусы распределены по фигурам силлогизма неравномерно, что указывает на отсутствие в них свойства силлогистической полноты.

Непосредственные выводы осуществляются в соответствии с логическим квадратом с такими же отношениями между терминами суждений в вершинах квадрата, как и в аристотелевской силлогистике. Если сравнивать силлогистику №6 с аристотелевской, то при всех равных характеристиках предпочтение всё же следует отдать последней, в которой отношения между субъектом и предикатом выражены в более привычной прямой форме.

Выводы

1. Построены 55 традиционных силлогистик, близких к силлогистике из суждений Аристотеля по четырем критериям: числу базисных суждений, наличию контрадикторного отрицания для каждого из них, степени неопределенности общих суждений и нетривиальности их автопорождающей функции. Выявлены семь альтернативных аристотелевской силлогистик, имеющих большее или равное с ней число правильных сильных модусов. Высказаны предположения относительно причин их нерассмотрения Аристотелем и его последователями.

2. Результаты, полученные в настоящей публикации, наглядно показывают, что в логике наконец-то появился эффективный и доступный широкому кругу читателей инструмент для реконструкции и построения силлогистик, который с успехом может быть использован при создании систем искусственного интеллекта [15].

Описок литературы

1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 201з. 175 с.

3. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

4. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. з26 с.

5. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

6. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 1Э6 с.

7. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

8. Сидоренко О.И. О возможностях дедукции из суждений Аристотеля // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч.конф.:

в 12 т. Т.9 / Под ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политех. ун-та, 2017. С. 126-135.

9. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 197Э. 400 с.

10. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2016. С. 72-83.

11. Sidorenko O. Is There an Alternative to Traditional Syllogistics from the Judgments of Aristotle? // Danish Scientific Journal. №15. Vol. 2, 2018. P. 27-33.

12. Шалак В.И. Обманчивая простота логики Аристотеля // Аристотелевское наследие как конституирующий элемент европейской Рациональности: Материалы Моск. междунар. конф. по Аристотелю. (Москва, 17-19 окт. 2016 г.) / Под общ. ред. В.В. Петрова. М.: Аквилон, 2017. С. 399-406.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: \Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. В лабиринтах логики. Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

15. Сидоренко О.И. Силлогистический процессор / Патент РФ №39722. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.04.2004. Бюллетень №22. С. 20.

1.3.