О невозможности существования совершенных фрагментов из 46 и 48 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе описывается процесс нахождения всех совершенных фраг­ментов из 46 и 48 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

About Impossibility of Existence of Perfect Fragments from 46 and 48 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the process of finding all perfect fragments from 46 and 48 judgments in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the re­sults. The indicated rules are obtained on the basis of the semantic method for solving syllo­gisms proposed by the author earlier by calculating the resulting relations.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют

право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез­вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором се­мантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В инте­гральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана и Н.А. Васильева [4].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии.

В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')'^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот.

Цель публикации

В данной статье поставлена и впервые решена более простая задача опре­деления числа совершенных силлогистических систем из 46 и 48 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [5],

вместе с очередной демонстрацией эффективности предложенного автором ра­нее и ещё мало известного метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик.

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 48 суждений требуется проанализировать более 1225 случаев (число сочетаний из 50 по 48), а для фрагментов из 46 суждений - 230300 случаев. Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно пол­ных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 сужде­ний, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются сил­логистически полными, в то время как остальные силлогистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для по­строения всех совершенных фрагментов из 48 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 24 содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты, при этом суще­ствует всего одна группа из 24 содержательно полных пар суждений с семью силлогистически полными парами (их число равно С₁₁¹⁰ х C₇⁷= 11). Для по­строения всех совершенных фрагментов из 46 суждений целесообразно вначале

отобрать среди них те группы из 23 содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты, при этом суще­ствует всего две группы из 23 содержательно полных пар суждений с семью парами силлогистически полных пар и с шестью парами силлогистически пол­ных пар суждений. В первом случае их число равно С₁₁⁹ хС₇⁷ =55 , а во втором случае их число равно С₁₁¹¹ х С₇⁶ = 7, что в сумме составляет 62. Для каждой из 11 силлогистик из 48 суждений в общем случае необходимо произвести 2304 вычислений (каждый с каждым), что в целом составит 25344. Для каждой из 62 силлогистик из 46 суждений в общем случае необходимо произвести 2116 вы­числений (каждый с каждым), что в целом составит 131192. Однако указанные числа можно значительно сократить, если предварительно исключить из их числа те группы, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистиче­ской плотности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать массивы для 11 и 62 случаев с помощью автопорождающих правил вывода, ко­торые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары №20 из таблицы 4 необходимо произвести сле­дующие вычисления (правильные модусы выделены):

1) I'I'(14,15), I'I'(14,15)

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

2) I'I'(14,15), (I'I')'(6,7,9,11,13) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - №3;

14.6 — 13; 14,7 — 13; 14,9 — 14; 14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15;

15.6 — 15; 15,7 — 7,13,15; 15,9 — 15; 15,11 — 11,14,15; 15,13 — 7,3,15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

3) (I'I')'(6,7,9,11,13), I'I'(14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - №3;

6.14 — 11; 7,14 — 11; 9,14 — 14; 11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14;

6.15 — 15; 7,15 — 7,11,15; 9,15 — 15; 11,15 — 7,11,15; 13,15 — 13,14,15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) (I’I’)’(6,7,9,11,13), (I’I’)’(6,7,9,11,13) — —;

7,7 — 7,9,11,13,15; 7,11 — 6,7,11,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 20,20 3.

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 20, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должна со­держаться пара с номером 3 (см. таблицу 4). Аналогично можно показать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пары №7 - наличие пары №12, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №2 - наличие пар с номерами 8,9 и 10. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в виде следующих четырех правил [7]:

1) 1,17,20 3; 2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С₂₅^1х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 7 в случае фрагментов из 48 суждений и до 29 в случае фрагментов из 46 суждений. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно по­рождающие правила, вычисленные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таблицы 4. Например, для пары 5,6 необходимо про­извести следующие 8 вычислений (правильные модусы выделены):

1) AI(13), AI'(14) — AI'(14) - №6;

13,14 14;

Р.О.: 14.

2) AI'(14), AI(13) — (A *) '(6,7,13,14,15) - №9;

14,13 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

3) AI(13), (AI')'(6,7,9,11,13,15) —;

13,7 6,7,13,14,15; 13,11 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

4) (AI')'(6,7,9,11,13,15), AI(13) E'(7,9,11,13,15) - №10;

6.13 7; 7,13 7; 9,13 13; 11,13 7,9,11,13,15; 13,13 13;

15.13 7,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

5) AI'(14), (AI)'(6,7,9,11,14,15) (E*)'(9,11,13,14,15) -№11;

14,6 13; 14,7 13; 14,9 14; 14,11 14; 14,14 9,11,13,14,15;

14,15 13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

6) (AI)’(6,7,9,11,14,15), AI’(14) —;

11.14 6,7,11,14,15; 14,14 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) (AI)'(6,7,9,11,14,15), (AI')’(6,7,9,11,13,15) —;

15.15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) (AI’)’(6,7,9,11,13,15), (AI)’(6,7,9,11,14,15) —;

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 5,6 9,10,11.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 5 и 6, то для удо­влетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суж­дений с номерами 9,10 и 11. Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С₂₅² х 8 = 2400 вычислений результирующих отношений. Всего существует 116 нетривиальных правил указанного вида:

1) 1,13; 22,25 > 16; 2) 1,14; 24,25 > 15; 3) 1,15; 23,25 > 14; 4) 1,16; 21,25 > 13; 5) 1,21 > 22; 6) 1,22 > 21; 7) 1,23 > 24; 8) 1,24 > 23; 9) 7,17; 7,18; 7,19; 7,20; 7,25 > 12; 10) 12,13; 12,14; 12,15; 12,16 > 25; 11) 12,21; 12,22; 12,23; 12,24 > 7; 12) 13,17; 13,19; 14,17; 14,18; 17,22; 17,24; 18,24; 19,22 > 10; 13) 15,19; 15,20; 16,18; 16,20; 18,21; 19,23; 20,21; 20,23 > 11; 14) 17,18; 17,19; 18,20; 19,20 > 1; 15) 18,19 > 3; 16) 1,2; 1,6; 2,6; 2,10; 6,11 > 4,5; 17) 1,4; 1,5 > 2,6; 18) 1,8; 1,9; 4,8; 5,9; 8,9 > 10,11; 19) 1,10; 1,11; 10,11 > 8,9; 20) 1,17; 1,20 > 18,19; 21) 1,18;

I, 19 > 17,20; 22) 2,7; 2,20; 2,25; 7,11; 10,12; 11,20 > 21,23; 23) 2,8; 5,16; 5,22; 8,11 > 9,10; 24) 2,9; 4,15; 4,24; 9,11 > 8,10; 25) 2,12; 10,25 >13,14; 26) 4,7; 4,18; 4,25; 7,9; 8,12; 9,18 > 21,24; 27) 4,13; 4,21; 6,9; 9,10 > 8,11; 28) 4,12; 8,25 > 13,15; 29) 5,7; 5,19; 5,25; 7,8; 8,19; 9,12 > 22,23; 30) 5,12; 9,25 > 14,16; 31) 5,14; 5,23; 6,8; 8,10 > 9,11; 32) 6,7; 6,25; 6,17; 7,10; 10,17;

II, 12 > 22,24; 33) 6,12; 11,25 > 15,16; 34) 7,13; 7,22; 13,25 > 12,21; 35) 7,14; 7,24; 14,25 > 12,23; 36) 7,15; 7,23; 15,25 > 12,24; 37) 7,16; 7,21;16,25 >12,22; 38) 8,13; 8,21 > 4,10; 39) 8,14; 8,23 > 2,9; 40) 8,15; 8,24 > 4,11; 41) 8,16; 8,22 > 6,9; 42) 9,13; 9,21 > 2,8; 43) 9,14; 9,23 > 5,10; 44) 9,15; 9,24 > 6,8; 45) 9,22 > 5,11; 46) 13,18; 13,20; 15,17; 15,18; 17,23; 18,22; 18,23; 20,22 > 8,12; 47) 14,19; 14,20; 16,17; 16,19; 17,21; 19,21; 19,24; 20,24 > 9,12; 48) 2,4; 4,6; 4,19 > 8,10,11; 49) 2,5; 5,6; 5,18 > 9,10,11; 50) 2,13; 2,19; 2,22 > 9,10,21; 51) 2,14; 2,18; 2,24 > 8,10,23; 52) 2,15; 2,23 > 8,10,14; 53) 2,16; 2,21 > 9,10,13; 54) 2,17 > 8,9,10; 55) 4,14; 4,20 > 8,10,24; 56) 4,22 > 8,11,13; 57) 4,23 > 8,10,15; 58) 4,10; 4,11 > 2,6,8; 59) 4,16; 4,17 > 8,11,21; 60) 5,10; 5,11 > 2,6,9; 61) 5,13; 5,20 > 9,10,22; 62) 5,15; 5,17> 9,11,23; 63) 5,21 > 9,10,16; 64) 5,24 > 9,11,14; 65) 6,14; 6,24 > 9,11,15; 66) 6,15; 6,19; 6,23 > 9,11,24; 67) 6,16; 6,18; 6,21 > 8,11,22; 68) 6,20 > 8,9,11; 69) 6,13; 6,22 > 8,11,16; 70) 8,17 > 2,9,23; 71) 8,18 > 4,10,11; 72) 8,20 > 6,9,22; 73) 10,22 > 5,11,21; 74) 9,17 > 2,8,21; 75) 9,19 > 5,10,11; 76) 9,20 > 6,8,24; 77) 10,13 > 2,8,16; 78) 10,14 > 2,9,15; 79) 10,15 > 4,11,14; 80) 10,16 > 5,11,13;

81) 10,18; 10,21 2,8,22; 82) 10,19; 10,23 2,9,24; 83) 10,20 4,5,11; 84) 10,24 4,11,23;

85) 11,13 4,10,16; 86) 11,14 5,10,15; 87) 11,15 6,8,14; 88) 11,16 6,9,13; 89) 11,17

4,5,10; 90) 11,18 6,8,23; 91) 11,19; 11,22 6,9,21; 92) 11,21 4,10,22; 93) 11,23 5,10,24;

94) 12,17 7,21,23; 95) 12,18 7,21,24; 96) 12,19 7,22,23; 97) 12,20 7,22,24; 98) 4,5

8,9,10,11; 99) 13,14 8,9,10,12; 100) 13,15 8,10,11,25; 101) 13,23 2,8,10,25; 102) 13,24

4,8,10,12; 103) 14,16 9,10,11,25; 104) 14,21 2,9,10,25; 105) 14,22 5,9,10,12; 106) 15,16

8,9,11,12; 107) 15,21 4,8,11,12; 108) 15,22 6,8,11,25; 109) 16,23 5,9,11,12; 110) 16,24

6,9,11,25; 111) 21,23 2,8,9,12; 112) 21,24 4,7,10,11; 113) 22,23 5,7,10,11; 114) 22,24

6,8,9,12; 115) 2,11 4,5,8,9,10; 116) 6,10 4,5,8,9,11.

Для облегчения отбора совершенных фрагментов по отсутствующим в

группе суждениям представим перечисленные выше правила в виде перечня правил вывода для каждой содержательно полной пары суждений из таблицы 4: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

14;

17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;

15;

16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,107,112,115,116;

16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;

17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;

11,94,95,96,97,112,113;

19,24,27,42,44,46,48,51,52,54,55,56,57,58,59,67,68,69,74,76,77,81,87,90,98,99,100,101, 102,106,107,108,111,114,115,116;

9. 19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99,103,

104,105,106,109,110,111,114,115, 116;

10. 12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99,100,

101,102,103,104,105,112,113,115;

11. 13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100,103,

106,107,108,109,110,112,113,116;

12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;

13. 4,25,28,53,56,80,88;

14. 3,25,30,52,64,79,87;

15. 2,28,33,57,65,78,86;

16. 1,30,33,63,69,77,85;

17. 21;

18. 20;

19. 20;

20. 21;

21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;

22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;

23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;

24. 7,26,32,36,55,66,76,82,93,95,97;

25. 10,100,101,103,104,108,110.

Результаты фильтрации групп из 48 и 46 суждений с помощью автопо­рождающих и взаимно порождающих правил представлены в таблицах 5 и 6 соответственно, из которых видно, что после фильтрации ничего не остается (все группы суждений забраковываются), то есть множества совершенных фраг­ментов из 46 и 48 суждений в традиционной интегральной силлогистике яв­ляются пустыми.

Таблица 5

Результаты фильтрации групп из 48 суждений с помощью автопорождающих

и взаимно порождающих правил вывода

Таблица 6

Результаты фильтрации групп из 46 суждений с помощью автопорождающих и взаимно порождающих правил вывода

Выводы

Совершенные фрагменты из 46 и 48 суждений в традиционной интеграль­ной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений отсутствуют, то есть их существование не возможно. В то же время известно, что, например, для 8,10, а также для 42 и 50 суждений совершенные фрагменты существуют [6-8,11].

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений не содержит со­вершенных фрагментов из 46 и 48 суждений, что свидетельствует об исключи­тельной уникальности совершенных силлогистических систем. Существуют ли другие подобные случаи, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Со­временное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic //European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С.14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamental scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41 -53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Совре­менные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Моногра­фия. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.11.