О единственности существования совершенного фрагмента из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе описывается процесс нахождения всех совершенных фраг­ментов из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выявления в них правильных сильных модусов.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

An the Uniqueness of Existence of Perfect Fragment from 38 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the process of finding all perfect fragments from 38 judgments in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics and identifying correct strong modes in them. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results. The indicated rules are obtained on the basis of the semantic method for solving syllogisms proposed by the author earlier by calcu­lating the resulting relations.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с

различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием правильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором семантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В интегральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана, Н.А. Васильева и другие [4].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько).

Таблица 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A-^A*, O-^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')'^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результиру­ющих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства содер­жательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты за­ключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений сил­логистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логической струк­турой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (обратного включе­ния между терминами), и наоборот.

[10] . Свойство силлогистической плотности заключается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное сужде­ние из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство выте­кает из свойства силлогистической плотности, но обратное не верно. Силлоги­стики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами названы в работе

[11] совершенными. Отметим, что силлогистика Аристотеля не является совер­шенной, поскольку не обладает двумя свойствами из четырех, а именно: свойством силлогистической полноты и свойством силлогистической плотности результатов. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержащихся если не в универсальной силлогистике с предельно возможным числом суждений 128 (протологике), то хотя бы в интегральной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке [11]. Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количества вариантов.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из 38 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [5].

Базисное множество суждений традиционной совершенной

интегральной силлогистики из 50 суждений

Таблица 3

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фрагмен­тов из 38 суждений требуется проанализировать более 2,5*10 ¹¹ случаев (число сочетаний из 50 по 38). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлоги­

стики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются силлогистически полными, в то время как остальные силлогистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 38 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 19 содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты. Можно показать, что их число равно 3962, при этом указанные группы делятся на 4 типа: 1) группы содержательно полных пар суждений с четырьмя силлогистически полными па­рами (их число равно С₇⁴ х C₁₁¹¹= 35), 2) группы содержательно полных пар суждений с пятью силлогистически полными парами (их число равно С₇⁵ х C₁₁⁹= 1155), 3) группы с шестью силлогистически полными парами (их число равно C₇⁶х C₁₁⁷= 2310) и 4) группы с семью силлогистически полными парами (их число равно С7⁷х С11⁵ = 462). Для каждой из 3962 силлогистик из 38 суждений в общем случае необходимо произвести 1444 вычислений (каждый с каждым), что в целом составит 5721128. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из этого числа те группы, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистической плотности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать 3962 случая с помощью автопо­рождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 пе­речисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары №2 из таблицы 4 необходимо произвести следующие вычисления (правильные модусы выделены):

1) A 'I(7), A 'I(7) E'(7,9,11,13,15)- №10;

7,7 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

2) A 'I(7), (A 'I)'(6,9,11,13,14,15) A '(6,7,11,14,15)- №8;

7.6 11; 7,9 7; 7,11 6,7,11,14,15; 7,13 7; 7,14 11; 7,15 7,11,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

3) (A 'I)'(6,9,11,13,14,15), A 'I(7) (A *) '(6,7,13,14,15)-№9;

6.7 13; 9,7 7; 11,7 7; 13,7 6,7,13,14,15; 14,7 13; 15,7 7,13,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

4) (A'I) ’(6,9,11,13,14,15), (A’I)’(6,9,11,13,14,15) —;

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 2 8,9,10.

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должны со­держаться пары с номерами 8, 9 и 10 (см. таблицу 4). Аналогично можно пока­зать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пары №7 - наличие пары №12, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в виде следующих четырех правил [7]:

1) 1,17,20 3; 2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С₂₅^1х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 620, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычислен­ные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таб­лицы 4. Например, для пары 16,17 необходимо произвести следующие 8 вы­числений (правильные модусы выделены):

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

1) AII'(13,14), II(7,15) — (A*)'(6,7,13,14,15) - №9;;

13,7 — 6,7,13,14,15; 13,15 — 13,14,15; 14,7 — 13; 14,15 — 13,14,15; Р.О.: 6,7,13,14,15.

2) II(7,15), AII'(13,14) — (AAA ')'(7,11,13,14,15) - №12;

7.13 — 7; 7,14 — 11; 15,13 — 7,13,15; 15,14 — 11,14,15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

3) AII'(13,14), (II)'(6,9,11,13,14) —

14.13 — 6,7,13,14,15; 14,14 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

4) (II)'(6,9,11,13,14), AII'(13,14)

14,13 6,7,13,14,15; 14,14 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

5) II(7,15), (AII’)’(6,7,9,11,15)

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

6) (AII')'(6,7,9,11,15), II(7,15)

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) (AII’)’(6,7,9,11,15), (II)’(6,9,11,13,14)

11,13 7,9,11,13,15; 11,14 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) (II)'(6,9,11,13,14), (AII')'(6,7,9,11,15)

13,7 6,7,13,14,15; 13,11 9,11,13;14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 16,17 9,12.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 16 и 17, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суждений с номерами 9 и 12. Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С₂₅² х 8 = 2400 вычислений результирующих отношений. Всего существует 116 нетривиальных правил указанного вида, представленных в таблице 5.

Таблица 5

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Для облегчения отбора совершенных фрагментов по отсутствующим в группе суждениям представим перечисленные выше правила в виде перечня правил вывода для каждой содержательно полной пары суждений из таблицы 4:

1. 14;

2. 17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;

3. 15;

4. 16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,107,112,115,116;

5. 16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;

6. 17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;

7. 11,94,95,96,97,112,113;

8. 19,24,27,42,44,46,48,51,52,54,55,56,57,58,59,67,68,69,74,76,77,81,87,90,98,99, 100,101, 102,106,107,108,111,114,115,116;

9. 19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99, 103,104,105,106,109,110,111,114,115, 116;

10. 12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99, 100,101,102,103,104,105,112,113,115;

11. 13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100, 103,106,107,108,109,110,112,113,116;

12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;

13. 4,25,28,53,56,80,88;

14. 3,25,30,52,64,79,87;

15. 2,28,33,57,65,78,86;

16. 1,30,33,63,69,77,85;

17. 21;

18. 20;

19. 20;

20. 21;

21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;

22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;

23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;

24. 7,26,32,36,55,66,76,82,93,95,97;

25. 10,100,101,103,104,108,110.

Фильтрацию вариантов перебора целесообразно проводить до нахождения первого же бракующего группу правила вывода, при этом правило является бракующим группу, если из суждений группы с помощью данного правила можно получить отсутствующие в группе суждения. Группа суждений, для ко­торой не находится ни одного бракующего автопорождающего или взаимно порождающего правила, является результатом фильтрации.

Рассмотрим характерные примеры применения автопорождающих и вза­имно порождающих правил при фильтрации групп суждений. Для удобства группы суждений представим в инверсном виде, то есть перечислением отсут­ствующих в них содержательно полных пар суждений из таблицы 4. Пусть, например, требуется отфильтровать группу из 38 суждений, в которой отсут­ствуют содержательно полные пары 4,5,6,8,9,11 . Данную группу бракует авто­порождающее правило №2: 2 8, поскольку его посылка - пара №2, не входит в

состав группы, а заключение №8 входит. Рассмотрим другой пример. Пусть дана группа суждений 1,2,15,16,17,20. Поскольку в качестве заключений в автопо­рождающих правилах могут служить только пары 3,8,9,10,11 и 12, которые от­сутствуют в инверсной форме группы, то никакие из автопорождающих правил к ней неприменимы. Пара №2 из группы порождается, например, взаимно по­рождающим правилом №39 8,14 2, все посылки которого входят в отсут­

ствующую часть группы. К группе 1,3,17,18,19,20 неприменимо ни одно из авто и взаимно порождающих правил. Таким образом, фильтрация массива из 620 силлогистик с помощью взаимно порождающих правил дает всего одну группу суждений, для которой требуется произвести построение силлогистики,

то есть выявить все её двухпосылочные законы. Иными словами, множество совершенных фрагментов из 38 суждений в традиционной интегральной сил­логистике содержит единственный фрагмент.

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная инте­гральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит единственный совершенный фрагмент из 38 суждений, что свидетельствует об исключительной уникальности совершенных силлогистических систем. Суще­ствуют ли другие подобные случаи, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Со­временное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic // European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С. 14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41 -53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Совре­менные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Моногра­фия. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А.Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.15.