О числе и построении совершенных фрагментов из 40 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе описывается процесс нахождения и построения всех со­вершенных фрагментов из 40 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Number and Construction of Perfect Fragments from 40 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the process of finding and construction all perfect frag­ments from 40 judgments in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics and identifying all correct strong modes in them. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез- 281

вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором семантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В интегральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект по­рождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [3]). Семантика указанных отношений представлена в таб­лице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии.

В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)’^(OI)', (IO*)’^(OI*)', A'II’^AA'I, AAT^AII’, (A’II')’^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача опре­деления числа и построения совершенных силлогистических систем из 40 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [9].

Таблица 3

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 40 суждений требуется проанализировать около 10 ¹⁰ случаев (число сочетаний из 50 по 40). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлоги­стики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются силлогистически полными, в то время как остальные силлогистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 40 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 20 содержательно полных пар сужде­ний, в которых соблюдается требование силлогистической полноты. Можно показать, что их число равно 1848, при этом они делятся на 3 группы: 1) группы

содержательно полных пар суждений с пятью силлогистически полными па­рами (их число равно С₇⁵* C₁₁¹⁰= 231), 2) группы содержательно полных пар суждений с шестью силлогистически полными парами (их число равно С₇⁶ * C₁₁⁸= 1155) и 3) группы содержательно полных пар суждений с семью силлогистически полными парами (их число равно С₇⁷ *С₁₁⁶ = 462). Для каждой группы из 40 суждений в общем случае необходимо произвести 1600 вычисле­ний (каждый с каждым), что в целом составит 2956800. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из рассмотрения те группы суждений, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогисти­ческой плотности и однозначности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать массив из 1848 силлогистик с помощью автопорождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары №2 из таблицы 4 необходимо произвести следующие 4 вычисления (правильные модусы выделены):

1) A 'I(7), A 4(7) — E'(7,9,11,13,15) - №10;

7,7 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

2) A 'I(7), (A 'I)'(6,9,11,13,14,15) — A '(6,7,11,14,15) - №8;

7.6 11; 7,9 7; 7,11 6,7,11,14,15; 7,13 7; 7,14 11; 7,15 7,11,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

3) (A'I)'(6,9,11,13,14,15), A 'I(7) — (A*) '(6,7,13,14,15) -№9;

6.7 13; 9,7 7; 11,7 7; 13,7 6,7,13,14,15; 14,7 13; 15,7 7,13,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

4) (A'I) ’(6,9,11,13,14,15), (A'I)'(6,9,11,13,14,15)

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 2 8,9,10.

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должны со­держаться пары с номерами 8, 9 и 10 (см. таблицу 4). Аналогично можно пока­зать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пары №7 - наличие пары №12, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в следующем виде [7]:

1) 1,17,20 3; 2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С₂₅¹х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 364, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычислен­ные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таб­лицы 4. Например, для пары 8,25 необходимо произвести следующие 8 вычис­лений (правильные модусы выделены):

1) A(9,13), (AA 'II')'(6,9,15) (A'II')'(6,9,13,14,15) - № 13;

9,6 6; 9,9 9; 9,15 15; 13,6 14; 13,9 13; 13,15 13,14,15;

Р.О.: 6,9,13,14,15.

2) (AA'II')'(6,9,15), A(9,13) (AA 'I')'(6,7,9,13,15) - № 15;

6,9 6; 9,9 9; 15,9 15; 6,13 7; 9,13 13; 15,13 7,13,15;

P.O.: 6,7,9,13,15.

3) A(9,13), AA'II'(7,11,13,14) —

13.7 — 6,7,13,14,15; 13,11 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

4) AA’II’(7,11,13,14), A(9,13) —

11,13 — 7,9,11,13,15; 14,13 — 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

5) (AA'II')'(6,9,15), A'(6,7,11,14,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

6) A'(6,7,11,14,15), (AA’II’)(6,9,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) A’(6,7,11,14,15), AA’II’(7,11,13,14) —

7.7 — 7,9,11,13,15; 7,11 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) AA’II’(7,11,13,14), A’(6,7,11,14,15) —

7,7 — 7,9,11,13,15; 7,11 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 8,25 13,15.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 8 и 25, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суждений с номерами 13 и 15. Для получения всех взаимно порождающих пра­вил требуется произвести С₂₅^{2 х} 8 = 2400 вычислений результирующих отно­шений. Всего существует 116 нетривиальных правил указанного вида, пред­ставленных в таблице 5:

Таблица 5

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Для облегчения отбора совершенных фрагментов по отсутствующим в группе суждениям представим перечисленные выше правила в виде перечня правил вывода для каждой содержательно полной пары суждений из таблицы 4:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

14;

17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;

15;

16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,107,112,115,116;

16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;

17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;

11,94,95,96,97,112,113;

19,24,27,42,44,46,48,51,52,54,55,56,57,58,59,67,68,69,74,76,77,81,87,90,98,99,100,

101, 102,106,107,108,111,114,115,116;

19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99,103,

104,105,106,109,110,111,114,115, 116;

10. 12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99,100, 101,102,103,104,105,112,113,115;

11. 13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100,103, 106,107,108,109,110,112,113,116;

12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;

13. 4,25,28,53,56,80,88;

14. 3,25,30,52,64,79,87;

15. 2,28,33,57,65,78,86;

16. 1,30,33,63,69,77,85;

17. 21;

18. 20;

19. 20;

20. 21;

21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;

22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;

23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;

24. 7,26,32,36,55,66,76,82,93,95,97;

25. 10,100,101,103,104,108,110.

Фильтрацию вариантов перебора целесообразно проводить до нахождения первого же бракующего группу правила вывода, при этом правило является бракующим группу, если из суждений группы с помощью данного правила можно получить отсутствующие в группе суждения. Группа суждений, для ко­торой не находится ни одного бракующего автопорождающего или взаимно порождающего правила, является результатом фильтрации. Результаты филь­трации массива из 1848 групп содержательно полных суждений с помощью авто и взаимно порождающих правил представлены в таблице 6 и представляют со­бой всего одну группу суждений, для которой требуется построить силлоги-

стику, то есть определить все её двухпосылочные законы.

Результаты фильтрации групп из 40 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Таблица 6

Рассмотрим характерные примеры применения автопорождающих и вза­имно порождающих правил при фильтрации групп суждений. Для удобства группы суждений представим в инверсном виде, то есть перечислением отсут­ствующих в них содержательно полных пар суждений из таблицы 4. Пусть, например, требуется отфильтровать группу из 40 суждений, в которой отсут­ствуют содержательно полные пары 1,8,9,13,14. Данную группу бракует авто­порождающее правило №2: 2 8, поскольку его посылка - пара №2, не входит в

состав группы, а заключение №8 входит. Рассмотрим другой пример. Пусть дана группа суждений 1,2,7,4,5. Поскольку в качестве заключений в автопорождаю­щих правилах могут служить только пары №3,8,9,10,11 и 12, которые отсут­ствуют в инверсной форме группы, то никакие из автопорождающих правил к ней неприменимы. Первая пара №1 из группы порождается единственным вза­имно порождающим правилом №14, состоящим из 4 частей: 17,18 1;

17,19 1; 18,20 1 и 19,20 1. Нам подходит любая из указанных частей, так как все посылки правил входят в отсутствующую часть группы. Для её бра­ковки можно выбрать любую из них, например, 17,18 1. Рассмотрим третий

пример: пусть дана группа 1,17,18,19,20. Очевидно, что автопопрождающие правила к ней неприменимы. Пары суждений 1, 17,18,19 и 20 порождаются только взаимно порождающими правилами №14, №20 и №21, однако к данной группе суждений неприменимо ни одно из указанных правил, поскольку суж­дения группы входят в состав представленных правил. Следовательно, группа 1,17,18,19,20 проходит фильтрацию и является совершенной.

Выводы

Указанный в таблице 6 фрагмент из 40 суждений является совершенным, поскольку обладает по построению свойствами содержательной и силлогисти­ческой полноты, а также силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов, что подтверждают результаты построения данного фрагмента, то есть выявления всех его правильных модусов с помощью метода вычисления ре­зультирующих отношений, представленные в таблице 7 на пересечении столб­цов и строк, соответствующих посылкам модуса. Прочерк в таблице 7 означает невозможность необходимого результата из данных посылок, правильные мо­дусы Аристотеля выделены.

Таблица 7

Правильные модусы традиционной совершенной интегральной силлогистики из 40 суждений (1 фигура силлогизма)

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит всего один совершенный силлогистический фрагмент из 40 суждений (см. таблицу 6), обладающий 588 правильными модусами в каждой из фигур силлогизма (см. таблицу 7). Такое малое количество совершенных фрагментов с таким большим

числом правильных модусов свидетельствует об исключительной уникальности подобных силлогистических систем, логическая эффективность которых во много раз превышает силлогистику Аристотеля. Большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко используются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопределенности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем, например, более опреде­ленные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовершенной традиционной силлоги­стики Аристотеля до более мощных совершенных систем, включающих в себя все его суждения, например, до совершенной негативной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана и позволяющей оперировать с отрицательными терминами [9], или до ещё более мощной и выявленной в настоящей публикации совершенной сил­логистической системы из 40 суждений, включающих в себя помимо суждений Аристотеля суждения У. Гамильтона с квантификацией предиката и акциден- тальные суждения Н.А. Васильева. Существуют ли другие совершенные силлоги­стические системы, обладающие привлекательными для практики свойствами, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic // European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С. 14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной сил­логистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современ­ные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

2.14.