<<
>>

О числе совершенных фрагментов из 8 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. Найдены все совершенные фрагменты из восьми суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выяв­лены в них все правильные сильные модусы методом вычисления результирующих отношений, предложенным автором ранее.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Number of Perfect Fragments from 8 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. All perfect fragments from eight judgments in the traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics were found and all the correct strong modes were found in them by the method of calculating of the resulting relations proposed by the author earlier.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с гораздо большим разнообразием правильных модусов из них [2]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть сил­логистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [3-6].

Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [7] без привлечения логики предикатов и назван автором семантическим методом вычисления результирующих отношений [8].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [9] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями 146

суждения со стороны их объемов. В работе [10] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [11]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

S 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения
P 0 1 0 1
Номер отношения 6 0 1 1 0 Противоречивость S'P+SP’
7 0 1 1 1 Дополнительность S+P
9 1 0 0 1 Равнообъемность S'P'+SP
11 1 0 1 1 Обратное включение S+P’
13 1 1 0 1 Прямое включение S’+P
14 1 1 1 0 Соподчинение S’+P’
15 1 1 1 1 Перекрещивание S'P’+S'P+SP'+SP = 1

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [12] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [13]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями 147

истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15
25 11, 11 11

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1.

Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II)'^(AA'I)', (AA'I)'^(AII)', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот. Указанное свойство позво­

ляет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [15]. Свойство силлогистической плотности заклю­чается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлоги­стической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одно­временно всеми четырьмя свойствами названы в работе [5] совершенными. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержа­щихся если не в универсальной протологике с предельно возможным числом суждений (128), то хотя бы в интегральной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке [5].

Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количества вариантов и громоздкими вычислениями.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из восьми сужде­ний, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, представленным в таблице 3 [5], а также задача демонстрации эффективности предложенного автором ранее и ещё мало из­вестного метода вычисления результирующих отношений для построения сил- логистик.

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
1 AA’ 6 Все Sсуть все не P
2 A’I 7 Все не Sсуть (не суть) только некоторые P
3 AA 9 Все Sсуть все P
4 IA 11 Только некоторые Sсуть (не суть) все P
5 AI 13 Все Sсуть (не суть) только некоторые P
6 AI' 14 Все Sсуть (не суть) только некоторые не P
7 II'I 15 Только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P
8 A 9, 13 Всякие Sсуть P
9 A* 9, 11 Всякие не Sсуть не P
10 E 6, 14 Всякие Sне суть P
11 E* 6, 7 Всякие не Sне суть не P

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
12 AAA' 6, 9 Все Sсуть все Pили не P
13 A'II' 7, 11 Все не S суть (не суть) только некоторые Pили не P
14 AA'I 7, 13 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
15 AA'I' 11, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
16 AII' 13, 14 Все S суть (не суть) только некоторые Pили не P
17 II 7, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
18 II' 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P
19 I'I 13, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P
20 I'I' 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
21 IO 7, 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) P
22 IO* 13, 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) P
23 OI 7, 13, 15 Только некоторые Pсуть (не суть) S
24 OI* 11, 14, 15 Только некоторые не Pсуть (не суть) S
25 (AA'II')' 6, 9, 15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
26 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) P
27 (IO*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) P
28 (OI)' 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Pсуть (не суть) S
29 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не Pсуть (не суть) S
30 AA'II' 7, 11, 13, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
31 I=E' 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Sне суть P (Некоторые или всякие Sсуть P)
32 I*=(E*)' 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Sне суть не P (Некоторые или всякие не Sсуть не P)
33 O=A' 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Sсуть P (Некоторые или всякие Sсуть не P)
34 O*=(A*)' 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие не Sсуть не P (Некоторые или всякие не Sсуть P)
35 (AAA)' 7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все Pили не P
36 (A'II')' 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
37 (AA'I)' 6,9,11,14,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
38 (AA'I')' 6,7,9,13,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
39 (AII')' 6,7,9,11,15 Неверно, что все Sсуть ( не суть) только некоторые Pили не P
40 (II)' 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
41 (II')' 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P
42 (I'I)' 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
43 (I'I')' 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
44 (AA)' 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все P
45 (AI)' 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые P
46 (IA)' 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) все P
47 (AA')' 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все не P
48 (A'I)' 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые P
49 (AI)' 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые не P
50 (II'I)' 6,7,9,11,13, 14 Неверно, что только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 8 суждений требуется проанализировать около 5,4x10 8 случаев (число сочетаний из 50 по 8). Стоит попытаться ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из которых являются силлогистически пол­ными. Для построения всех совершенных фрагментов из 8 суждений целесооб­разно вначале отобрать среди них те четверки содержательно полных пар суж­дений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты (их число равно 736), и лишь для этих последних производить вычисления с целью выяв­ления правильных модусов и фактов соблюдения остальных двух свойств. При этом указанные четверки делятся на три группы: четверки содержательно пол­ных пар суждений с одной силлогистически полной парой ( их число равно С71хС112= 385), четверки содержательно полных пар суждений с двумя силло­гистически полными парами (их число равно С72хС110=21) и четверки содержа­тельно и силлогистически полных пар суждений (их число равно С114=330). В таблице 5 представлены все 736 случаев.

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та
1 AA'(6),

(AA')'(7,9,11,13,14,15)

Есть 14 AA'I(7,13),

(AA'I)'(6,9,11,14,15)

Нет
2 A'I(7),

(A'I)'(6,9,11,13,14,15)

Есть 15 AA'I'(11,14),

(AA'I')'(6,7,9,13,15)

Нет

Логические структуры суждений Силло­гисти­ческая полно­та Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та
3 AA(9),

(AA)’(6,7,11,13,14,15)

Есть 16 AII'(13,14),

(AII')'(6,7,9,11,15)

Нет
4 IA(11),

(IA)'(6,7,9,13,14,15)

Нет 17 II(7,15),

(II)'(6,9,11,13,14)

Есть
5 AI(13),

(AI)'(6,7,9,11,14,15)

Нет 18 II'(11,15),

(II')'(6,7,9,13,14)

Нет
6 AI'(14),

(AI')'(6,7,9,11,13,15)

Есть 19 1’1(13,15),

(I'I)'(6,7,9,11,14)

Нет
7 II'I(15),

(II'I)'(6,7,9,11,13,14)

Есть 20 I'I'(14,15),

(I'I')'(6,7,9,11,13)

Есть
8 A(9,13),

A'(6,7,11,14,15)

Нет 21 IO(7,11,15), (IO)'(6,9,13,14) Нет
9 A*(9,11),

(A*)’(6,7,13,14,15)

Нет 22 IO*(13,14,15),

(IO*)'6,7,9,11)

Нет
10 E(6,14),

E'(7,9,11,13,15)

Есть 23 OI(7,,13,15), (OI)'(6,9,11,14) Нет
11 E*(6,7),

(E*)'(9,11,13,14,15)

Есть 24 OI*(11,14,15), (OI*)'(6,7,9,13) Нет
12 AAA'(6,9),

(AAA')'(7,11,13,14,15)

Есть 25 (AA'II')'(6,9,15),

AA'II'(7,11,13,14)

Есть
13 A ’II'(7,11), (A 'II') ’(6,9,13,14,15) Нет

Таблица 5

Силлогистически полные четверки содержательно полных пар суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3
1 1,2,3,6 40 1,2,12,25 79 1,6,7,10 118 1,7,12,25 157 1,11,21,23
2 1,2,3,7 41 1,2,17,20 80 1,6,7,11 119 1,7,4,5 158 1,11,22,24
3 1,2,3,10 42 1,2,17,25 81 1,6,7,12 120 1,7,8,9 159 1,12,17,20
4 1,2,3,11 43 1,2,20,25 82 1,6,7,17 121 1,7,13,14 160 1,12,17,25
5 1,2,3,12 44 1,3,6,7 83 1,6,7,20 122 1,7,15,16 161 1,12,20,25
6 1,2,3,17 45 1,3,6,10 84 1,6,7,25 123 1,7,18,19 162 1,12,4,5
7 1,2,3,20 46 1,3,6,11 85 1,6,4,5 124 1,7,21,23 163 1,12,8,9
8 1,2,3,25 47 1,3,6,12 86 1,6,8,9 125 1,7,22,24 164 1,12,13,14
9 1,2,4,5 48 1,3,6,17 87 1,6,13,14 126 1,7,17,20 165 1,12,15,16
10 1,2,8,9 49 1,3,6,20 88 1,6,15,16 127 1,7,17,25 166 1,12,18,19
11 1,2,13,14 50 1,3,6,25 89 1,6,18,19 128 1,7,20,25 167 1,12,21,23
12 1,2,15,16 51 1,3,4,5 90 1,6,21,23 129 1,10,11,12 168 1,12,22,24
13 1,2,18,19 52 1,3,8,9 91 1,6,22,24 130 1,10,11,17 169 1,17,20,25
14 1,2,21,23 53 1,3,13,14 92 1,6,10,11 131 1,10,11,20 170 1,17,4,5
15 1,2,22,24 54 1,3,15,16 93 1,6,10,12 132 1,10,11,25 171 1,17,8,9
16 1,2,6,7 55 1,3,18,19 94 1,6,10,17 133 1,10,4,5 172 1,17,13,14

Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3
17 1,2,6,10 56 1,3,21,23 95 1,6,10,20 134 1,10,8,9 173 1,17,15,16
18 1,2,6,11 57 1,3,22,24 96 1,6,10,25 135 1,10,13,14 174 1,17,18,19
19 1,2,6,12 58 1,3,7,10 97 1,6,11,12 136 1,10,15,16, 175 1,17,21,23
20 1,2,6,17 59 1,3,7,11 98 1,6,11,17 137 1,10,18,19 176 1,17,22,24
21 1,2,6,20 60 1,3,7,12 99 1,6,11,20 138 1,10,21,23 177 1,20,4,5
22 1,2,6,25 61 1,3,7,17 100 1,6,11,25 139 1,10,22,24 178 1,20,8,9
23 1,2,7,10 62 1,3,7,20 101 1,6,12,17 140 1,10,12,17 179 1,20,13,14
24 1,2,7,11 63 1,3,7,25 102 1,6,12,20 141 1,10,12,20 180 1,20,15,16
25 1,2,7,12 64 1,3,10,11 103 1,6,12,25 142 1,10,12,25 181 1,20,18,19
26 1,2,7,17 65 1,3,10,12 104 1,6,17,20 143 1,10,17,20 182 1,20,21,23
27 1,2,7,20 66 1,3,10,17 105 1,6,17,25 144 1,10,17,25 183 1,20,22,24
28 1,2,7,25 67 1,3,10,20 106 1,6,20,25 145 1,10,20,25 184 1,25,4,5
29 1,2,10,11 68 1,3,10,25 107 1,7,10,11 146 1,11,12,17 185 1,25,8,9
30 1,2,10,12 69 1,3,11,12 108 1,7,10,12 147 1,11,12,20 186 1,25,13,14
31 1,2,10,17 70 1,3,11,17 109 1,7,10,17 148 1,11,12,25 187 1,25,15,16
32 1,2,10,20 71 1,3,11,20 110 1,7,10,20 149 1,11,17,20 188 1,25,18,19
33 1,2,10,25 72 1,3,11,25 111 1,7,10,25 150 1,11,17,25 189 1,25,21,23
34 1,2,11,12 73 1,3,12,17 112 1,7,11,12 151 1,11,20,25 190 1,25,22,24
35 1,2,11,17 74 1,3,12,20 113 1,7,11,17 152 1,11,4,5 191 2,3,6,7
36 1,2,11,20 75 1,3,12,25 114 1,7,11,20 153 1,11,8,9 192 2,3,6,10
37 1,2,11,25 76 1,3,17,20 115 1,7,11,25 154 1,11,13,14 193 2,3,6,11
38 1,2,12,17 77 1,3,17,25 116 1,7,12,17 155 1,11,15,16 194 2,3,6,12
39 1,2,12,20 78 1,3,20,25 117 1,7,12,20 156 1,11,18,19 195 2,3,6,17
196 2,3,6,20 245 2,6,11,17 294 2,11,12,20 343 3,6,7,25 392 3,10,4,5
197 2,3,6,25 246 2,6,11,20 295 2,11,12,25 344 3,6,4,5 393 3,10,8,9
198 2,3,4,5 247 2,6,11,25 296 2,11,4,5 345 3,6,8,9 394 3,10,13,14
199 2,3,8,9 248 2,6,12,17 297 2,11,8,9 346 3,6,13,14 395 3,10,15,16
200 2,3,13,14 249 2,6,12,20 298 2,11,13,14 347 3,6,15,16 396 3,10,18,19
201 2,3,15,16 250 2,6,12,25 299 2,11,15,16 348 3,6,18,19 397 3,10,21,23
202 2,3,18,19 251 2,6,17,20 300 2,11,18,19 349 3,6,21,23 398 3,10,22,24
203 2,3,21,23 252 2,6,17,25 301 2,11,21,23 350 3,6,22,24 399 3,10,12,17
204 2,3,22,24 253 2,6,20,25 302 2,11,22,24 351 3,6,10,11 400 3,10,12,20
205 2,3,7,10 254 2,7,10,11 303 2,11,17,20 352 3,6,10,12 401 3,10,12,25
206 2,3,7,11 255 2,7,10,12 304 2,11,17,25 353 3,6,10,17 402 3,10,17,20
207 2,3,7,12 256 2,7,10,17 305 2,11,20,25 354 3,6,10,20 403 3,10,17,25
208 2,3,7,17 257 2,7,10,20 306 2,12,17,20 355 3,6,10,25 404 3,10,20,25
209 2,3,7,20 258 2,7,10,25 307 2,12,17,25 356 3,6,11,12 405 3,11,12,17
210 2,3,7,25 259 2,7,4,5 308 2,12,20,25 357 3,6,11,17 406 3,11,12,20
211 2,3,10,11 260 2,7,8,9 309 2,12,4,5 358 3,6,11,20 407 3,11,12,25
212 2,3,10,12 261 2,7,13,14 310 2,12,8,9 359 3,6,11,25 408 3,11,4,5
213 2,3,10,17 262 2,7,15,16 311 2,12,13,14 360 3,6,12,17 409 3,11,8,9
214 2,3,10,20 263 2,7,18,19 312 2,12,15,16 361 3,6,12,20 410 3,11,13,14
215 2,3,10,25 264 2,7,21,23 313 2,12,18,19 362 3,6,12,25 411 3,11,15,16
216 2,3,11,12 265 2,7,22,24 314 2,12,21,23 363 3,6,17,20 412 3,11,18,19
217 2,3,11,17 266 2,7,11,12 315 2,12,22,24 364 3,6,17,25 413 3,11,21,23
218 2,3,11,20 267 2,7,11,17 316 2,17,20,25 365 3,6,20,25 414 3,11,22,24

Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3
219 2,3,11,25 268 2,7,11,20 317 2,17,4,5 366 3,7,10,11 415 3,11,17,20
220 2,3,12,17 269 2,7,11,25 318 2,17,8,9 367 3,7,10,12 416 3,11,17,25
221 2,3,12,20 270 2,7,12,17 319 2,17,13,14 368 3,7,10,17 417 3,11,20,25
222 2,3,12,25 271 2,7,12,20 320 2,17,15,16 369 3,7,10,20 418 3,12,17,20
223 2,3,17,20 272 2,7,12,25 321 2,17,18,19 370 3,7,10,25 419 3,12,17,25
224 2,3,17,25 273 2,7,17,20 322 2,17,21,23 371 3,7,4,5 420 3,12,4,5
225 2,3,20,25 274 2,7,17,25 323 2,17,22,24 372 3,7,8,9 421 3,12,8,9
226 2,6,7,10 275 2,7,20,25 324 2,20,4,5 373 3,7,13,14 422 3,12,13,14
227 2,6,7,11 276 2,10,11,12 325 2,20,8,9 374 3,7,15,16 423 3,12,15,16
228 2,6,7,12 277 2,10,11,17 326 2,20,13,14 375 3,7,18,19 424 3,12,18,19
229 2,6,7,17 278 2,10,11,20 327 2,20,15,16 376 3,7,21,23 425 3,12,21,23
230 2,6,7,20 279 2,10,11,25 328 2,20,18,19 377 3,7,22,24 426 3,12,22,24
231 2,6,7,25 280 2,10,4,5 329 2,20,21,23 378 3,7,11,12 427 3,17,20,25
232 2,6,4,5 281 2,10,8,9 330 2,20,22,24 379 3,7,11,17 428 3,17,4,5
233 2,6,8,9 282 2,10,13,14 331 2,25,4,5 380 3,7,11,20 429 3,17,8,9
234 2,6,13,14 283 2,10,15,16 332 2,25,8,9 381 3,7,11,25 430 3,17,13,14
235 2,6,15,16 284 2,10,18,19 333 2,25,13,14 382 3,7,12,17 431 3,17,15,16
236 2,6,18,19 285 2,10,21,23 334 2,25,15,16 383 3,7,12,20 432 3,17,18,19
237 2,6,21,23 286 2,10,22,24 335 2,25,18,19 384 3,7,12,25 433 3,17,21,23
238 2,6,22,24 287 2,10,12,17 336 2,25,21,23 385 3,7,17,20 434 3,17,22,24
239 2,6,10,11 288 2,10,12,20 337 2,25,22,24 386 3,7,17,25 435 3,20,4,5
240 2,6,10,12 289 2,10,12,25 338 3,6,7,10 387 3,7,20,25 436 3,20,8,9
241 2,6,10,17 290 2,10,17,20 339 3,6,7,11 388 3,10,11,12 437 3,20,13,14
241 2,6,10,20 291 2,10,17,25 340 3,6,7,12 389 3,10,11,17 438 3,20,15,16
243 2,6,10,25 292 2,10,20,25 341 3,6,7,17 390 3,10,11,20 439 3,20,18,19
244 2,6,11,12 293 2,11,12,17 342 3,6,7,20 391 3,10,11,25 440 3,20,21,23
441 3,20,22,24 490 6,11,12,25 539 7,10,13,14 588 7,25,4,5 637 10,25,18,19
442 3,25,4,5 491 6,11,4,5 540 7,10,15,16 589 7,25,8,9 638 10,25,21,23
443 3,25,8,9 492 6,11,8,9 541 7,10,18,19 590 7,25,13,14 639 10,25,22,24
444 3,25,13,14 493 6,11,13,14 542 7,10,21,23 591 7,25,15,16 640 11,12,17,20
445 3,25,15,16 494 6,11,15,16 543 7,10,22,24 592 7,25,18,19 641 11,12,17,25
446 3,25,18,19 495 6,11,18,19 544 7,10,12,17 593 7,25,21,23 642 11,12,4,5
447 3,25,21,23 496 6,11,21,23 545 7,10,12,20 594 7,25,22,24 643 11,12,8,9
448 3,25,22,24 497 6,11,22,24 546 7,10,12,25 595 10,11,12,17 644 11,12,13,14
449 6,7,10,11 498 6,11,17,20 547 7,10,17,20 596 10,11,12,20 645 11,12,15,16
450 6,7,10,12 499 6,11,17,25 548 7,10,17,25 597 10,11,12,25 646 11,12,18,19
451 6,7,10,17 500 6,11,20,25 549 7,10,20,25 598 10,11,4,5 647 11,12,21,23
452 6,7,10,20 501 6,12,17,20 550 7,11,12,17 599 10,11,8,9 648 11,12,22,24
453 6,7,10,25 502 6,12,17,25 551 7,11,12,20 600 10,11,13,14 649 11,12,20,25
454 6,7,4,5 503 6,12,4,5 552 7,11,12,25 601 10,11,15,16 650 11,17,20,25
455 6,7,8,9 504 6,12,8,9 553 7,11,4,5 602 10,11,18,19 651 11,17,4,5
456 6,7,13,14 505 6,12,13,14 554 7,11,8,9 603 10,11,21,23 652 11,17,8,9
457 6,7,15,16 506 6,12,15,16 555 7,11,13,14 604 10,11,22,24 653 11,17,13,14
458 6,7,18,19 507 6,12,18,19 556 7,11,15,16 605 10,11,17,20 654 11,17,15,16
459 6,7,21,23 508 6,12,21,23 557 7,11,18,19 606 10,11,17,25 655 11,17,18,19
460 6,7,22,24 509 6,12,22,24 558 7,11,21,23 607 10,11,20,25 656 11,17,21,23

Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3 Номера четверок пар суждений из табл. 3
461 6,7,11,12 510 6,12,20,25 559 7,11,22,24 608 10,12,17,20 657 11,17,22,24
462 6,7,11,17 511 6,17,20,25 560 7,11,17,20 609 10,12,17,25 658 11,20,4,5
463 6,7,11,20 512 6,17,4,5 561 7,11,17,25 610 10,12,4,5 659 11,20,8,9
464 6,7,11,25 513 6,17,8,9 562 7,11,20,25 611 10,12,8,9 660 11,20,13,14
465 6,7,12,17 514 6,17,13,14 563 7,12,17,20 612 10,12,13,14 661 11,20,15,16
466 6,7,12,20 515 6,17,15,16 564 7,12,17,25 613 10,12,15,16 662 11,20,18,19
467 6,7,12,25 516 6,17,18,19 565 7,12,4,5 614 10,12,18,19 663 11,20,21,23
468 6,7,17,20 517 6,17,21,23 566 7,12,8,9 615 10,12,21,23 664 11,20,22,24
469 6,7,17,25 518 6,17,22,24 567 7,12,13,14 616 10,12,22,24 665 11,25,4,5
470 6,7,20,25 519 6,20,4,5 568 7,12,15,16 617 10,12,20,25 666 11,25,8,9
471 6,10,11,12 520 6,20,8,9 569 7,12,18,19 618 10,17,20,25 667 11,25,13,14
472 6,10,11,17 521 6,20,13,14 570 7,12,21,23 619 10,17,4,5 668 11,25,15,16
473 6,10,11,20 522 6,20,15,16 571 7,12,22,24 620 10,17,8,9 669 11,25,18,19
474 6,10,11,25 523 6,20,18,19 572 7,12,20,25 621 10,17,13,14 670 11,25,21,23
475 6,10,4,5 524 6,20,21,23 573 7,17,20,25 622 10,17,15,16 671 11,25,22,24
476 6,10,8,9 525 6,20,22,24 574 7,17,4,5 623 10,17,18,19 672 12,17,20,25
477 6,10,13,14 526 6,25,4,5 575 7,17,8,9 624 10,17,21,23 673 12,17,4,5
478 6,10,15,16 527 6,25,8,9 576 7,17,13,14 625 10,17,22,24 674 12,17,8,9
479 6,10,18,19 528 6,25,13,14 577 7,17,15,16 626 10,20,4,5 675 12,17,13,14
480 6,10,21,23 529 6,25,15,16 578 7,17,18,19 627 10,20,8,9 676 12,17,15,16
481 6,10,22,24 530 6,25,18,19 579 7,17,21,23 628 10,20,13,14 677 12,17,18,19
482 6,10,12,17 531 6,25,21,23 580 7,17,22,24 629 10,20,15,16 678 12,17,21,23
483 6,10,12,20 532 6,25,22,24 581 7,20,4,5 630 10,20,18,19 679 12,17,22,24
484 6,10,12,25 533 7,10,11,12 582 7,20,8,9 631 10,20,21,23 680 12,20,4,5,
485 6,10,17,20 534 7,10,11,17 583 7,20,13,14 632 10,20,22,24 681 12,20,8,9
486 6,10,17,25 535 7,10,11,20 584 7,20,15,16 633 10,25,4,5 682 12,20,13,14
487 6,10,20,25 536 7,10,11,25 585 7,20,18,19 634 10,25,8,9 683 12,20,15,16
488 6,11,12,17 537 7,10,4,5 586 7,20,21,23 635 10,25,13,14 684 12,20,18,19
489 6,11,12,20 538 7,10,8,9 587 7,20,22,24 636 10,25,15,16 685 12,20,21,23
686 12,20,22,24 696 17,20,13,14 706 17,25,21,23 716 4,5,13,14 726 13,14,15,16
687 12,25,4,5 697 17,20,15,16 707 17,25,22,24 717 4,5,15,16 727 13,14,18,19
688 12,25,8,9 698 17,20,18,19 708 20,25,4,5 718 4,5,18,19 728 13,14,21,23
689 12,25,13,14 699 17,20,21,23 709 20,25,8,9 719 4,5,21,23 729 13,14,22,24
690 12,25,15,16 700 17,20,22,24 710 20,25,13,14 720 4,5,22,24 730 15,16,18,19
691 12,25,18,19 701 17,25,4,5 711 20,25,15,16 721 8,9,13,14 731 15,16,21,23
692 12,25,21,23 702 17,25,8,9 712 20,25,18,19 722 8,9,15,16 732 15,16,22,24
693 12,25,22,24 703 17,25,13,14 713 20,25,21,23 723 8,9,18,19 733 18,19,21,23
694 17,20,4,5 704 17,25,15,16 714 20,25,22,24 724 8,9,21,23 734 18,19,22,24
695 17,20,8,9 705 17,25,18,19 715 4,5,8,9 725 8,9,22,24 735 21,23,22,24
736 3,12,20,25

Примеры вычислений (для первой фигуры силлогизма)

Для каждой из 736 силлогистик из 8 суждений перечисленных в таблице 5 четверок в общем случае необходимо произвести 64 вычисления (каждый с каждым), что в целом составит 736x64 = 47104. Число вычислений можно зна­чительно сократить, если предварительно исключить из указанной таблицы те четверки, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистической плотности результатов. Для этого предлагается вначале вычислить автопо­рождающие функции для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар сужде­ний. Например, для пары №10 из таблицы 4 получим следующую автопорож­дающую функцию (правильные модусы выделены).

1) E(6,14), E(6,14) (E*)'(9,11,13,14,15) -№11;

6.6 - 9; 6,14 - 11; 14,6 - 13; 14,14 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

2) E(6,14), E'(7,9,11,13,15) (A*)'(6,7,13,14,15) - № 9;

6.7 - 13; 6,9 - 6; 6,11 - 14; 6,13 - 7; 6,15 - 15;

14.7 - 13; 14,9 - 14; 14,11 - 14; 14,13 - 6,7,13,14,15; 14,15 - 13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

3) E'(7,9,11,13,15), E(6,14) A '(6,7,11,14,15) - №8;

7,6 - 11; 9,6 - 6; 11,6 - 7; 13,6 - 14; 15,6 - 15;

7,14 - 11; 9,14 - 14; 11,14 - 6,7,11,14,15; 13,14 - 14; 15,14 - 11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

4) E'(7,9,11,13,15), E'(7,9,11,13,15) - -;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Представленные выше вычисления означают, что если в четверке содер­жательно полных пар суждений из таблицы 5 имеется пара с номером 10, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должны содержаться пары с номерами 8, 9 и 11 (см. таблицу 4). Анало­гично можно показать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №2- наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пар №7 или №25 - наличие пары №12. Такой подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев с 736 до 75, выделенных в таблице 5.

Фрагмент №51: 1,3,4,5 (см. таблицу 5).

AA'(6), AA(9), IA(11); AI(13); (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15);

(IA)'(6,7,9, 13,14,15); (AI)'(6,7,9,11,14,15).

IA(11), AI(13) - -;

11,13 - 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

Вывод: суждение с полученной логической структурой отсутствует среди базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента, следова­тельно, данный фрагмент не является совершенным.

Фрагмент №599: 8,9,10,11 (см. таблицу 5).

E(6,14), E*(6,7), A(9,13), A*(9,11), E'(7,9,11,13,15), (E*)'(9,11,13,14,15),

A '(6,7,11,14,15), (A *) '(6,7,13,14,15).

1) E(6,14), E(6,14) (E*)'(9,11,13,14,15);

6,6 - 9; 6,14 - 11; 14,6 - 13; 14,14 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

2) E(6,14), E*(6,7) A (9,13);

6.6 - 9; 6,7 - 13; 14,6 - 13; 14,7 - 13;

P.O.: 9,13.

3) E(6,14), A(9,13) (A*) '(6,7,13,14,15);

6,9 - 6; 6,13 - 7; 14,9 - 14; 14,13 - 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

4) E(6,14), A*(9,11) E(6,14);

6,9 - 6; 6,11 - 14; 14,9 - 14; 14,11 - 14;

P.O.: 6,14.

5) E (6,14), E'(7,9,11,13,15) (A*)'(6,7,13,14,15);

6.7 - 13; 6,9 - 6; 6,11 - 14; 6,13 - 7; 6,15 - 15;

14.7 - 13; 14,9 - 14; 14,11 - 14; 14,13 - 6,7,13,14,15; 14,15 - 13,14,15;

P.O.:6,7,13,14,15.

6) E(6,14), (E*) ’ (9,11,13,14,15) - —;

14,13 - 6,7,13,14,15; 14,14 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) E(6,14), A'(6,7,11,14,15) (E*)' (9,11,13,14,15);

6.6 - 9; 6,7 - 13; 6,11 - 14; 6,14 - 11; 6,15 - 15;

14.6 - 13; 14,7 - 13; 14,11 - 14; 14,14 - 9,11,13,14,15; 14,15 - 13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

8) E(6,14), (A*)'(6,7,13,14,15) - —;

14,13 - 6,7,13,14,15; 14,14 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

9) E*(6,7), E(6,14) A*(9,11);

6.6 - 9; 6,14 - 11; 7,6 - 11; 7,14 - 11;

P.O.: 9,11.

10) E*(6,7), E*(6,7) E'(7,9,11,13,15);

6.6 - 9; 6,7 - 13; 7,6 - 11; 7,7 - 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

11) E*(6,7), A(9,13) E*(6,7);

6,9 - 6; 6,13 - 7; 7,9 - 7; 7,13 - 7;

P.O.: 6,7.

12) E*(6,7), A*(9,11) A '(6,7,11,14,15);

6,9 - 6; 6,11 - 14; 7,9 - 7; 7,11 - 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

13) E*(6,7), (E)' (7,9,11,13,15) - —;

7.7 - 7,9,11,13,15; 7,11 - 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

14) E* (6,7), (E*) '(9,11,13,14,15) A'(6,7,11,14,15);

6.9 - 6; 6,11 - 14; 6,13 - 7; 6,14 - 11; 6,15 - 15;

7.9 - 7; 7,11 - 6,7,11,14,15; 7,13 - 7; 7,14 - 11; 7,15 - 7,11,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

15) E* (6,7), A '(6,7,11,14,15) - —;

7,7 - 7,9,11,13,15; 7,11 - 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

16) E*(6,7), (A*)'(6,7,13,14,15) E'(7,9,11,13,15);

6.6 - 9; 6,7 - 13; 6,13 - 7; 6,14 - 11; 6,15 - 15;

7.6 - 11; 7,7 - 7,9,11,13,15; 7,13 - 7; 7,14 - 11; 7,15 - 7,11,15;

P.O.: 7,9,11,13, 15.

17) A (9,13), E(6,14) E(6,14);

9.6 - 6; 9,14 - 14; 13,6 - 14; 13,14 - 14;

P.O.: 6,14.

18) A(9,13), E*(6,7) (A*)'(6,7,13,14,15);

9,6 - 6; 9,7 - 7; 13,6 - 14; 13,7 - 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

19) A(9,13), A(9,13) A(9,13);

9,9 - 9; 9,13 - 13; 13,9 - 13; 13,13 - 13;

P.O.: 9,13.

20) A(9,13), A*(9,11) (E*)'(9,11,13,14,15);

9,9 - 9; 9,11 - 11; 13,9 - 13; 13,11 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

21) A(9,13), E'(7,9,11,13, 15) -

13,7 - 6,7,13,14,15; 13,11 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

22) A(9,13), (E*)'(9,11,13,14,15) (E*)'(9,11,13,14,15);

9.9 - 9; 9,11 - 11; 9,13 - 13; 9,14 - 14; 9,15 - 15;

13.9 - 13; 13,11 - 9,11,13,14,15; 13,13 - 13; 13,14 - 14; 13,15 - 15; P.O.: 9,11,13,14,15.

23) A(9,13), A’(6,7,11,14,15) -

13,7 - 6,7,13,14,15; 13,11 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

24) A(9,13), (A*)'(6,7,13,14,15) (A*)'(6,7,13,14,15);

9.6 - 6; 9,7 - 7; 9,13 - 13; 9,14 - 14; 9,15 - 15;

13.6 - 14; 13,7 - 6,7,13,14,15; 13,13 - 13; 13,14 - 14; 13,15 - 13,14,15; P.O.: 6,7,13,14,15.

25) A*(9,11), E(6,14) A '(6,7,11,14,15);

9.6 - 6; 9,14 - 14; 11,6 - 7; 11,14 - 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

26) A*(9,11), E*(6,7) E*(6,7);

9.6 - 6; 9,7 - 7; 11,6 - 7; 11,7 - 7;

P.O.: 6,7.

27) A*(9,11), A(9,13) E'(7,9,11,13,15);

9.9 - 9; 9,13 - 13; 11,9 - 11; 11,13 - 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

28) A*(9,11), A* (9,11) A*(9,11);

9.9 - 9; 9,11 - 11; 11,9 - 11; 11,11 - 11;

P.O.: 9,11.

29) A*(9,11), E'(7,9,11,13,15) E'(7,9,11,13,15);

9.7 - 7; 9,9 - 9; 9,11 - 11; 9,13 - 13; 9,15 - 15;

11.7 - 7; 11,9 - 11; 11,11 - 11; 11,13 - 7,9,11,13,15; 11,15 - 7,11,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

30) A*(9,11), (E*)'(9,11,13,14,15) -

11,13 - 7,9,11,13,15; 11,14 - 6,7,11,14,15;

7.9 - 7; 11,9 - 11; 13,9 - 13; 14,9 - 14; 15,9 - 15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

31) A*(9,11), A '(6,7,11,14,15) A '(6,7,11,14,15);

9.6 — 6; 9,7 — 7; 9,11 — 11; 9,14 — 14; 9,15 — 15;

11.6 — 7; 11,7 — 7; 11,11 — 11; 11,14 — 6,7,11,14,15; 11,15 — 7,11,15; P.O.: 6,7,11,14,15.

32) A*(9,11), (A *) '(6,7,13,14,15) —

11.13 — 7,9,11,13, 15; 11,14 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

33) E'(7,9,11,13,15), E(6,14) A'(6,7,11,14,15);

7.6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 15,6 — 15;

7.14 — 11; 9,14 — 14; 11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15; P.O.: 6,7,11,14,15.

34) E'(7,9,11,13,15), E*(6,7) — —;

7.7 — 7,9,11,13,15; 13,7 — 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

35) E'(7,9,11,13,15), A(9,13) E'(7,9,11,13,15);

7.9 — 7; 9,9 — 9; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 15,9 — 15;

7.13 — 7; 9,13 — 13; 11,13 — 7,9,11,13,15; 13,13 — 13; 15,13 — 7,13,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

36) E'(7,9,11,13,15), A* (9,11) — —;

7.11 — 6,7,11,14,15; 13,11 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

37) E'(7,9,11,13,15), E'(7,9,11,13,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

38) E'(7,9,11,13,15), (E*)'(9,11,13,14,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

39) E'(7,9,11,13,15), A’(6,7,11,14,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

40) E'(7,9,11,13,15), (A*)'(6,7,13,14,15) —

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

41) (E*)’(9,11,13,14,15), E(6,14) —

11.14 — 6,7,11,14,15); 14,14 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

42) (E*)'(9,11,13,14,15), E*(6,7) (A*)'(6,7,13,14,15);

9.6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;

9.7 — 7; 11,7 — 7; 13,7 — 6,7,13,14,15; 14,7 — 13; 15,7 — 7,13,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

43) (E*)'(9,11,13,14,15), A(9,13) —

11.13 — 7,9,11,13,15; 14,13 — 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

44) (E*)'(9,11,13,14,15), A*(9,11) (E*)'(9,11,13,14,15);

9.9 — 9; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15;

9.11 — 11; 11,11 — 11; 13,11 — 9,11,13,14,15; 14,11 — 14; 15,11 — 11,14,15; P.O: 9,11,13,14,15.

45) (E*)’(9,11,13,14,15), E'(7,9,11,13,15) —

15.15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

46) (E*)'(9,11,13,14,15), (E*)'(9,11,13,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

47) (E*)'(9,11,13,14,15), A’(6,7,11,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

48) (E*)'(9,11,13,14,15), (A*)'(6,7,13,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

PO.: 6,7,9,11,13,14,15.

49) A '(6,7,11,14,15), E(6,14) - —;

11.14 - 6,7,11,14,15; 14,14 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

50) A'(6,7,11,14,15), E*(6,7) E'(7,9,11,13,15);

6.6 - 9; 7,6 - 11; 11,6 - 7; 14,6 - 13; 15,6 - 15;

6.7 - 13; 7,7 - 7,9,11,13,15; 11,7 - 7; 14, 7 - 13; 15,7 - 7,13,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

51) A'(6,7,11,14,15), A(9,13) - —;

11.13 - 7,9,11,13,15; 14,13 - 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

52) A'(6,7,11,14,15), A*(9,11) A'(6,7,11,14,15);

6,9 - 6; 7,9 - 7; 11,9 - 11; 14,9 - 14; 15,9 - 15;

6.11 - 14; 7,11 - 6,7,11,14,15; 11,11 - 11; 14,11 - 14; 15,11 - 11,14,15; P.O.: 6,7,11,14,15.

53) A’(6,7,11,14,15), E'(7,9,11,13,15) - —;

15.15 - 6,7,9,11,13,14, 15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

54) A'(6,7,11,14,15), (E*) '(9,11,13,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

55) A'(6,7,11,14,15), (A *) ’(6,7,13,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15:

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

56) A’(6,7,11,14,15), A’(6,7,11,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

57) (A*)'(6,7,13,14,15), E(6,14) (E*)'(9,11,13,14,15);

6.6 - 9; 7,6 - 11; 13,6 - 14; 14,6 - 13; 15,6 - 15;

6,14 - 11; 7,14 - 11; 13,14 - 14; 14,14 - 9,11,13,14,15; 15,14 - 11,14,15; P.O.: 9,11,13,14,15.

58) (A*)'(6,7,13,14,15), E*(6,7) - —;

7.7 - 7,9,11,13,15; 13,7 - 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

59) (A*)'(6,7,13,14,15), A(9,13) (A*)'6,7,13,14,15);

6,9 - 6; 7,9 - 7; 13,9 - 13; 14,9 - 14; 15,9 - 15;

6.13 - 7; 7,13 - 7; 13,13 - 13; 14,13 - 6,7,13,14,15; 15,13 - 7,13,15; P.O.: 6,7,13,14,15.

60) (A*)'(6,7,13,14,15), A*(9,11) - —;

7.11 - 6,7,11,14,15; 13,11 - 9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

61) (A*)'(6,7,13,14,15), E'(7,9,11,13,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

62) (A*)'(6,7,13,14,15), (E*)'(9,11,13,14,15) - —;

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

63) (A*)'(6,7,13,14,15), A'(6,7,11,14,15) -

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

64) (A*)'(6,7,13,14,15), (A*)'(6,7,13,14,15) -

15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Выводы

Силлогистика из 8 суждений, соответствующая фрагменту №599, является совершенной, поскольку обладает свойствами содержательной и силлогисти­ческой полноты по построению и свойствами силлогистической плотности и однозначности по результатам вычислений.

Результаты вычислений по выявлению правильных сильных модусов со­вершенных фрагментов в традиционной интегрированной силлогистике из 50 суждений сведены в таблицу 6. Правильные модусы представлены не в обще­принятой форме (с переставленными посылками).

Таблица 6

Правильные сильные модусы совершенных фрагментов из 8 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений

Номер четвер­

ки

из табл. 5

Логические формы базисных суждений совершенного фраг­мента силлогистики Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики Общее число правиль­ных мо­дусов
60 (1,3,7,12) AA(6),

AA(9),

II'I(15),

AAA'(6,9),

(AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15), (II'I)'(6,7,9,11,13,14), (AAA')'(7,11,13,14,15)

AA',AA',AA; AA',AA,AA'; AA'JI'IJI'I; AA',AAA',AAA'; AA',(AA')',(AA)'; AA',(AA)',(AA')';

AA',(II'I)',(II'I)'; AA',(AAA')',(AAA')'; AA,AA',AA'; AA,AA,AA; AA,II'I,II'I; AA,AAA',AAA'; AA,(AA')',(AA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(II'I)',(II'I)'; AA,(AAA')',(AAA')'; II'I,AA',II'I; II'I,AA,II'I; II'I,AAA',II'I;

II'I,(II'I)',(AAA')'; AAA',AA',AAA'; AAA',AA,AAA'; AAA',II'I,II'I;

AAA',AAA',AAA'; AAA,'(II'I)',(II'I)'; AAA',(AAA')',(AAA')';

(AA')',AA',(AA)'; (AA')',AA,(AA')'; (AA),'AA',(AA')'; (AA)',AA,(AA)'; (II'I)',AA',(II'I)'; (II'I)',AA,(II'I)'; (II'I)',II'I,(AAA')'; (II'I)',AAA',(II'I)'; (AAA')',AA',(AAA')';

(AAA')',AA,(AAA')'; (AAA')',AAA',(AAA')'

37x4=148

Номер четвер­

ки

из табл. 5

Логические формы базисных суждений совершенного фраг­мента силлогистики Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики Общее число правиль­ных мо­дусов
75 (1,3,12,25) AA'(6),

AA(9),

AAA'(6,9), (AA'II')'(6,9,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7, 11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15), AA'II'(7,11,13,14)

AA',AA',AA; AA',AA,AA'; AA',AAA',AAA';

AA',(AA'II')',(AA'II')'; AA,'(AA')',(AA)'; AA',(AA)',(AA')'; AA',(AAA')',(AAA')';

AA',AA'II',AA'II'; AA,AA',AA'; AA,AA,AA; AA,AAA',AAA';

AA,(AA'II')',(AA'II')'; AA,(AA')',(AA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(AAA')',(AAA')'; AA,AA'II',AA'II'; AAA',AA',AAA'; AAA',AA,AAA';

AAA',AAA',AAA'; AAA',(AA'II')',(AA'II')';

AAA',(AAA')',(AAA')'; AAA',AA'II',AA'II';

(AA'II')',AA',(AA'II')'; (AA'II')',AA,(AA'II')';

(AA'II')',AAA',(AA'II')';

(AA'II')',AA'II',(AAA')';

(AA')',AA,(AA')'; (AA)',AA',(AA')'; (AA)',AA,(AA)'; (AAA')',AA',(AAA')'; (AAA')',AA,(AAA')';

(AAA)'AAA',(AAA)';

AA'II',AA',AA'II'; AA'II',AA,AA'II'; AA'II',AAA',AA'II';

AA'II',(AA'II')',(AAA')';

(AA)’,AA',(AA)’

37x4=148
384 (3,7,12,25) AA(9),

II'I(15),

AAA'(6,9), (AA'II')'(6,9,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15), (II'I)'(6,7,9,11,13,14), (AAA')'(7,11,13,14,15), AA'II'(7,11,13,14)

AA,AA,AA; AA,II’I,II’I;

AA,AAA',AAA'; AA,(AA'II')',(AA'II')'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(II'I)',(II'I)';

AA,(AAA')',(AAA')'; AA,AA'II',AA'II'; II'I,AA,II'I; II'I,AAA',II'I;

II'I,(II'I)',(AAA')'; II'I,AA'II',(AAA')'; AAA',AA,AAA'; AAA',II'I,II'I;

AAA',AAA',AAA';

AAA',(AA'II')',(AA'II')'; AAA',(II'I)',(II'I)';

AAA',(AAA')',(AAA')';

AAA',AA'II',AA'II';

(AA'II')',AA,(AA'II')';

(AA'II')',AAA',(AA'II')';

(AA'II')',AA'II',(AAA')';

(AA)',AA,(AA)'; (II'I)',AA,(II'I)'; (II'I)',II'I,(AAA')'; (II'I)',AAA',(II'I)'; (AAA')',AA,(AAA')';

(AAA')',AAA',(AAA')';

AA'II',AA,AA'II'; AA'II',II'I,(AAA')'; AA'II',AAA',AA'II';

AA'II',(AA'II')',(AAA')'

32x4=128

Номер четвер­

ки

из табл. 5

Логические формы базисных суждений совершенного фраг­мента силлогистики Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики Общее число правиль­ных мо­дусов
599 (8,9,10,11) A(9,13),

A*(9,11),

E(6,14),

E*(6,7),

A’(6,7,11,14,15),

(A*)'(6,7,13,14,15),

E’(7,9,11,13,15),

(E*)'(9,11,13,14,15)

E,E,(E*)'; E,E*,A; E,A,(A*)'; E,A*,E; E,E’,(A*)’; E, A',(E*)’; E*,E,A*; E*,E*,E'; E*,A,E*; E*,A*,A’; E*,(E*)’,A’; E*,(A*)’,E’; A,E,E; A,E*,(A*)’; A,A,A; A,A*,(E*)’; A,(E*)’,(E*)’; A,(A*)’,(A*)’; A*,E,A’; A*,E*,E*; A*,A,E’; A*,A*,A*; A*,E’,E’; A*,A’,A’; E’,E,A’; E’,A,E’; (E*) ’,E*, (A *) ’; (E*) ’,A*, (E*) ’; A’,E*,E*; A’,A*,A’; (A*)’,E,(E*)’; (A*)’,A,(A*)’ 32x4=128

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит всего 4 совершенных силлогистических фрагмента из 8 суждений, из которых только один фрагмент содержит суждения Аристотеля. Большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко используются в есте­ственном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопреде­ленности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовершенной традиционной силлогистики Аристотеля до более мощной совершенной системы, включающей в себя все его суждения, например, до совершенной негативной силлогистики № 599 (см. табл. 6) из 8 суждений А. де Моргана, включающей в себя все суж­дения Аристотеля и позволяющей работать с отрицательными терминами [3], или до ещё более мощной совершенной интегральной силлогистической си­стемы из 42 суждений, включающей в себя помимо суждений Аристотеля суж­дения У. Г амильтона с квантификацией предиката и акцидентальные суждения Н.А. Васильева [4], или, наконец, до совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений [5], включающей в себя все выше перечисленные силлогистики. Существуют ли другие совершенные силлогистические системы, обладающие привлекательными для практики свойствами, ещё предстоит выяснить в даль­нейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических резуль­татов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отно­шений // Архивариус. Выпуск 7 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.

4. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam”. №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

5. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силло­гистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

6. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

7. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

8. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

9. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

10. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

11. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

12. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

14. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

15. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов междунар. научн. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

2.5.

<< | >>
Источник: Логические исследования в интегральных силлогистиках: Монография /О.И. Сидоренко. - Саратов: Издательский Центр «Наука»,2020. - 360 с.. 2020

Еще по теме О числе совершенных фрагментов из 8 суждений в традиционной интегральной силлогистике: