О построении традиционной совершенной интегральной силлогистики из 20 суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона и А. де Моргана

Аннотация. Выявлены все сильные правильные модусы совершенной интегральной силлогистики традиционного типа с базисным множеством из 20 суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона и А.

On the Construction of Traditional Perfect Integral Syllogistics from

20 Judgments of Aristotle, Theophrastus, W. Hamilton and A. De Morgan

Abstract. All strong correct modes of the traditional perfect integral syllogistic with the basis set from 20 judgments of Aristotle, Theophrastus, W. Hamilton and A. de Morgan of different semantic structure are identified by the author using the semantic method of calculating the resultant relations proposed earlier. The syllogistics constructed in the subsection significantly expands the deductive possibilities of traditional syllogistic from Aristotle's judgments and can serve as its alternative in natural language reasoning.

Keywords: syllogism, syllogistic, resultant relations, solution of syllogisms, constructing of syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики разработана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то далекое время это была единственная силлогистика из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими позднее обозначения A, E, I, O и c 19-ю правильными модусами силлогизма [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с гораздо большим разнообразием правильных модусов из них [2].

Цель публикации

Учитывая большой практический интерес к этому эффективному и простому методу, вполне доступному для не математиков, а также тот факт, что указанный метод пока ещё остается малоизвестным широкому кругу читателей и специалистов по логике, автор считает целесообразным изложить применение метода вычисления результирующих отношений в данной публикации более подробно на примере построения традиционной интегральной силлогистики из суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона и А. де Моргана. Указанная силлогистика обладает на порядок большими дедуктивными возможностями, чем силлогистика из одних только суждений Аристотеля, и может служить хорошей альтернативой классической силлогистике при рассуждениях на естественном языке наряду с другими силлогистиками, построенными ранее [5]. Интегральная силлогистика из 20 выбранных суждений с различной интерпретацией кванторных слов рассматривается впервые.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [6] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [7] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

возможны 2⁷=128 семантически разных суждений и 2¹²⁸различных силлогистик. Из числа базисных суждений целесообразно исключить два тривиальных суждения с семантическими номерами «все нули» и «все единицы», соответствующие тождественно ложному и тождественно истинному суждениям. Среди оставшихся 126 суждений большая часть не имеет простого выражения их логической формы на естественном языке [12]. В данной публикации из суждений с простыми выражениями их логической формы выбраны 20 суждений, представленных в таблице 3, которые составляют базисное множество суждений традиционной интегральной силлогистики, включающей в себя в качестве фрагментов традиционную силлогистику из суждений Аристотеля [2], максимальную позитивную силлогистику [13] и традиционную негативную силлогистику из суждений А. де Моргана [14].

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной интегральной силлогистики из 20 суждений

Интерпретация кванторных слов в суждениях таблицы 3 указана в явном виде. Представленное в таблице 3 базисное множество не содержит суждений третьей и четвертой степени неопределенности и так же, как и в силлогистике из суждений Аристотеля, обладает важным для практики свойством содержательной полноты, то есть для любого суждения в базисном множестве найдется его контрадикторное отрицание. Кроме того, данное базисное множество обладает свойством силлогистической полноты, заключающимся в том, что при наличии в его составе суждения, истинного на отношении 11, оно содержит также суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 13, и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [7].

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления, как минимум, всех её двухпосылочных законов, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают те суждения, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (то есть включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, OE^EO(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры. Ниже приведены примеры вычислений для характерных случаев, соответствующих разным степеням неопределенности базисных суждений рассматриваемой интегральной силлогистики. Правильные модусы выделены. Для выявления всех правильных модусов с двадцатью базисными суждениями

необходимо произвести 20*20 = 400 вычислений. Если же следовать по классическому пути отбраковки неправильных модусов, то потребовалось бы проанализировать 20*20*20 = 8000 модусов в каждой фигуре силлогизма.

Примеры вычислений для первой фигуры силлогизма

1) 1, 1 1;

AA' (6), AA'(6) — AA (9);

6, 6 — 9;

P.O.: 9

2) 1, 1 5:

A 'I (7), IA (11) — O (6, 7,11,14,15);

7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

3) 1, 2 1:

A 'I (7), E (6,14) — IA (11);

7, 6 — 11; 7, 14 — 11;

P.O.: 11.

4) 2, 1 1:

A (9,13), AI (13) — AI (13);

9, 13 — 13; 13, 13 — 13;

P.O.: 13.

5) 1, 2 2:

AA (9), A* (9,11) — A* (9,11);

9, 9 — 9; 9, 11 — 11;

P.O.: 9, 11.

6) 2, 1 2:

E* (6, 7), AA (9) — E * (6, 7);

6, 9 — 6; 7, 9 — 7;

P.O.: 6, 7.

7) 1, 2 5:

A 'I (7), A* (9,11) — O (6, 7,11,14,15);

7, 9 — 7; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

8) 1, 6 5:

AI'(14), EO (6, 7, 9,11,14,15) — I* (9,11,13,14,15);

14, 6 — 13; 14, 7 — 13; 14, 9 — 14; 14, 11 — 14; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.

9) 6, 1 5:

E'O (6, 9,11,13,14,15), IA (11) — I* (9,11,13,14,15);

6, 11 - 14; 9, 11 - 11; 11, 11 - 11; 13, 11 - 9, 11, 13, 14, 15; 14, 11 - 14;

15, 11 - 11, 14, 15;

P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.

10) 1, 6 6:

AA (9), EE (6, 7,11,13,14,15) — EE (6, 7,11,13,14,15);

9, 6 - 6; 14, 9, 7 - 7; 9, 11 - 11; 9, 13 - 13; 9, 14 - 14; 9, 15 - 15;

P.O.: 6, 7, 11, 13, 14, 15.

11) 6, 1 6:

EE' (7, 9,11,13,14,15), AA' (6) — EE (6, 7,11,13,14,15);

7, 6 — 11; 9, 6 — 6; 11, 6 — 7; 13, 6 — 14; 14, 6 — 13; 15, 6 — 15;

P.O.: 6, 7, 11, 13, 14, 15.

12) 1, 6 :

A'I (7), EE' (7, 9, 11, 13, 14, 15) — —;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

13) 6, 1 —:

EE' (7, 9, 11, 13, 14, 15), A'I (7) — —;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

14) 2, 5 5:

A*(9,11), O (6, 7,11,14,15) O (6, 7,11,14,15);

9, 6 — 6; 11, 6 — 7;

9, 7 — 7; 11, 7 — 7;

9, 11 — 11; 11, 11 — 11;

9, 14 — 14; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

9, 15 — 15; 11, 15 — 7, 11, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

15) 5, 2 5:

O*(6, 7,13,14,15), A (9,13) O* (6, 7,13,14,15);

6, 9 - 6; 6, 13 - 7;

7, 9 - 7; 7, 13 - 7;

13, 9 - 13; 13, 13 - 13;

14, 9 - 14; 14, 13 - 6, 7, 13, 14, 15;

15, 9 — 15; 15, 13 — 7, 13, 15.

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

16) 2, 6 6:

E*(6, 7), E'O (6, 9,11,13,14,15) EO (6, 7, 9,11,14,15);

6, 6 - 9; 7,6 - 11;

6, 9 - 6; 7,9 - 7;

6, 11 - 14; 7, 11 - 6, 7, 11, 14, 15;

6, 13 - 7; 7, 13 - 7;

6, 14 - 11; 7, 14 - 11;

6, 15 - 15; 7, 15 - 7, 11, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 14, 15.

17) 6, 2 6:

OE (6, 7, 9,13,14,15), A (9,13) OE (6, 7, 9, 13,14,15);

6, 9 - 6; 6, 13 - 7;

7, 9 - 7; 7, 13 - 7;

9, 9 - 9; 9, 13 - 13;

13, 9 - 13; 13, 13 - 13;

14, 9 - 14; 14, 13 - 6, 7, 13, 14, 15;

15, 9 - 15; 15, 13 - 7, 13, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 13, 14, 15.

18) 2, 5 —:

A (9, 13), O (6, 7, 11, 14, 15) — —;

13, 7 - 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 - 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

19) 5, 2 —:

O* (6, 7, 13, 14, 15), E* (6, 7) ——;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

20) 2, 6 :

A (9, 13), EE' (7, 9, 11, 13, 14, 15) — -;

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

21) 6, 2

EE' (7, 9, 11, 13, 14, 15), A (9, 13) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

22) 2,1 5:

E (6,14), AI (13) O* (6, 7,13,14,15);

6, 13 — 7; 14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

23) 2, 2 2:

E (6,14), A* (9,11) E (6,14);

6, 9 — 6; 6, 11 — 14; 14, 9 — 14; 14, 11 — 14;

P.O.: 6, 14.

24) 2, 2 5:

A (9,13), A * (9,11) I*(9,11,13,14,15);

9, 9 — 9; 9, 11 — 11; 13, 9 — 13; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15; P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.

25) 1, 5 5:

AA (9), I (7, 9,11,13,15) I (7, 9,11,13,15);

9, 7 — 7; 9, 9 — 9; 9, 11 — 11; 9, 13 — 13; 9, 15 — 15; P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

26) 5,1 5:

O (6, 7,11,14,15), AA' (6) I (7, 9,11,13,15);

6, 6 — 9; 7, 6 — 11; 11, 6 — 7; 14, 6 — 13; 15, 6 — 15;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

27) 1, 5 —:

AI (7), I (7, 9, 11, 13, 15) — —;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

28) 5,1 —:

O* (6, 7, 13, 14, 15), A’I (7) — ;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

29) 5, 5 —:

I (7, 9, 11, 13, 15), O (6, 7, 11, 14, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

30) 5, 6 —:

I (7, 9, 11, 13, 15), EE (6, 7, 11, 13, 14, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

31) 6, 5 —:

OE (6, 7, 9, 13, 14, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

32) 6, 6 —:

EE (6, 7, 11, 13, 14, 15), OE (6, 7, 9, 13, 14, 15) — —;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Результаты вычислений сведены в таблицы 4 и 5. В таблице 4 представлены результаты вычислений с учетом степеней неопределенности суждений. В таблице 5 заключения правильных и неправильных модусов расположены на пересечении столбцов и строк соответствующих суждений-посылок для первой фигуры силлогизма, причем для неправильных модусов заключения обозначены прочерком.

Таблица 4

Результаты вычислений в традиционной интегральной силлогистике из 20 суждений

Таблица 5

Модусы традиционной интегральной силлогистики из 20 суждений

Анализ результатов вычислений

Анализ результатов вычислений показывает, что заключением всех неправильных модусов традиционной интегральной силлогистики является тождественно-истинное суждение, в логической структуре которого содержатся все 7 возможных отношений между терминами: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15. В работе [13] такое свойство силлогистики названо свойством силлогистической плотности. Кроме того, все результаты вычислений носят однозначный характер. В совокупности с указанными выше свойствами содержательной и силлогистической полноты базисного множества суждений, выявленные свойства силлогистической плотности и однозначности результатов вычислений позволяют отнести рассматриваемую интегральную силлогистику к типу совершенной силлогистической системы [15]. Наблюдения показывают также, что в данной силлогистике любые комбинации суждений со степенями неопределенности 1 или 2 порождают только правильные модусы, а любые комбинации суждений со степенями 5 или 6 порождают только неправильные модусы (см. таблицу 4).

Выводы

1. С помощью предложенного автором ранее семантического метода вычисления результирующих отношений выявлены все сильные правильные модусы традиционной интегральной силлогистики из 20 суждений с различной семантикой. Их оказалось всего 816 по 204 в каждой фигуре силлогизма, что почти в 43 раза больше числа правильных модусов в традиционной силлогистике из суждений Аристотеля. В рассмотренной совершенной силлогистике сильные правильные модусы распределены равномерно по фигурам силлогизма, что упрощает дедуктивные выводы в силлогистике, и их число превышает число неправильных модусов (при вычислениях), чего не было в силлогистике из суждений Аристотеля и что указывает на дедуктивную продуктивность предложенной силлогистики.

2. Результаты, полученные в настоящей публикации, наглядно показывают, что в логике появился достаточно эффективный и доступный широкому кругу читателей инструмент для реконструкции и построения силлогистик. Этот инструмент может быть использован при создании систем искусственного интеллекта, для которых большое и практически необозримое для человека число правил вывода не является проблемой [16].

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное Слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

4. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

5. Sidorenko O. Is there an Alternative to Traditional Syllogistics from the Judgments of Aristotle? // Danish Scientific Journal. №15. Vol. 2, 2018. P. 27-33.

6. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. 326 с.

7. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

8. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

9. Сидоренко О.И. О возможностях дедукции из суждений А. де Моргана // American Scientific Journal. №16. Vol. 1. USA. Queens, 2017. P. 7-13.

10. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 c.

11. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических результатов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отношений // Мультидисциплинарный научный журнал «Архивариус». Выпуск 8 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.

15. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2017. С. 41-53.

16. Сидоренко О.И. Силлогистический процессор / Патент РФ №39722. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.04.2004. Бюллетень №22. С. 20.

1.4.