О построении совершенной интегральной силлогистики традиционного типа из 50 базисных суждений на основе силлогистики из 42 суждений

Аннотация. Проведено построение совершенной интегральной силлогистики радиционного типа из 50 базисных суждений с различной семантикой путем соответствующего расширения силлогистики из 42 суждений после проверки результатов её построения на основе предложенного автором ранее семантического метода вычисления результирующих отношений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Construction of a Perfect Integral Syllogistic of Traditional Type from 50 Basic Judgments Based on Syllogistic from 42 Judgments

Abstract. The construction of the perfect integral syllogistic of the traditional type from 50 basic judgments with different semantic was carried out by appropriately expanding the syllogistic from 42 judgments after verifying the results of its construction on the basis of the semantic method proposed by the author for calculating the resulting relations. For the first time, all the strong cor­rect modes of perfect integrated syllogistics from 50 judgments are presented explicitly, which significantly increases the deductive capabilities of well-known traditional syllogistics and can serve as their alternative for creating artificial intelligence systems.

Keywords: syllogism, syllogistic, resultant relations, solution of syllogisms, constructing of syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики разработана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистика из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, Oи c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма [1].

Цель публикации

Требуется проверить результаты прямого построения традиционной совершенной интегральной силлогистики из 42 категорических суждений с различной семантикой [5] и на её основе путем соответствующего расширения с меньшими трудозатратами построить совершенную силлогистику из 50 суждений [6]. Указанная силлогистика обладает гораздо большими дедуктивными возможностями, чем известные силлогистики, и может служить хорошей альтернативой классической силлогистике при создании систем искусственного интеллекта. Все выявленные в данной силлогистике сильные правильные модусы в отличие от работы [6] впервые представлены в явном виде.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [7] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [8] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления.

Таблица 1 Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике

с фиксацией универсума рассуждений

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений

в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными. При семи отношениях, действующих между терминами в традиционных силлогистиках, возможны 2⁷=128 семантически разных суждений и 2¹²⁸различных силлогистик. Большая часть из указанных суждений не имеет простого выражения их логической формы на естественном языке [13]. В данной публикации к 42 базисным суждениям с достаточно простыми выражениями их логической формы добавлены ещё 8 суждений II, II', II, II', (II)', (II')', (II)', (II)', не изменяющих совершенный характер силлогистики и представленных в таблице

3. Рассматриваемая силлогистика включает в себя традиционную силлогистику из суждений Аристотеля [2], максимальную позитивную силлогистику [14], традиционную негативную силлогистику из суждений А. де Моргана [15], совершенную интегральную силлогистику из 20 суждений [16], а также совершенную интегральную силлогистику из 42 суждений [6]. Интерпретация кванторных слов в суждениях таблицы 3 указана в явном виде. Представленное в таблице 3 базисное множество содержит суждения всех степеней неопределенности и так же, как и в силлогистике из суждений Аристотеля, обладает важным для практики свойством содержательной полноты, то есть для любого суждения в базисном множестве имеется его контрадикторное отрицание.

Таблица 3

Базисные суждения традиционной совершенной силлогистики

из 50 суждений

Кроме того, данное базисное множество обладает свойством силлогистической полноты, заключающимся в том, что при наличии в его составе суждения, истинного на отношении 11, оно содержит также суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 13, и наоборот.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления, как минимум, всех её двухпосылочных законов, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')(AA'I)', (AA'I')(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры. Ниже приведены примеры вычислений для первой фигуры силлогизма для характерных случаев, соответствующих разным степеням неопределенности базисных суждений рассматриваемой силлогистики, связанных с введением в неё новых по сравнению с [5] суждений. Для остальных случаев примеры вычислений представлены в работе [5]. Правильные сильные модусы выделены. Для выявления всех правильных модусов с 50 базисными суждениями в общем случае необходимо произвести 50*50 = 2500 вычислений. С учетом ранее построенной силлогистики из 42 суждений и проведенных в ней 42*42=1764 вычислений число требующихся новых вычислений сокращается до (8*42) + (42*8) + (8*8) = 736. Если же следовать по классическому пути отбраковки неправильных модусов, то потребовалось бы проанализировать 50*50*50 = 125000 модусов в каждой фигуре силлогизма.

Примеры вычислений для первой фигуры силлогизма

1) 1, 2 2:

AA' (6), II (7,15) I'I (13,15);

6, 7 13; 6, 15 15;

P.O.: 13, 15.

2) 2, 1 2:

II (7,15), AA'(6) II' (11,15);

7, 6 11; 15, 6 15;

P.O.: 11, 15.

3) 1, 2 3:

IA (11), II (7,15) IO (7,11,15);

11, 7 7; 11, 15 7, 11, 15;

P.O.: 7, 11, 15.

4) 2, 1 3:

II (7,15), AI (13) — OI (7,13,15);

7, 13 — 7; 15, 13 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 13, 15.

5) 1, 2 5:

A 'I (7), II (7,15) — I (7, 9,11,13,15);

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 15 — 7, 11, 15;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

6) 2, 1 5:

II (7,15), A 'I (7) — I (7, 9,11,13,15);

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 15, 7 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 9, 11, 13, 15.

7) 1, 2 -:

II'I (15), II (7, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

8) 2, 1 -:

II (7, 15), II'I (15) —

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.:6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

9) 1, 5 5:

AA' (6), (II)' (6, 9,11,13,14) — (I'I)' (6, 7, 9,11,14);

6, 6 — 9; 6, 9 — 6; 6, 11 — 14;

6, 13 — 7; 6, 14 — 11;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 14.

10) 5, 1 5:

(II)' (6, 9,11,13,14), AA' (6) — (II')' (6, 7, 9,13,14);

6, 6 — 9; 9, 6 — 6; 11, 6 — 7;

13, 6 — 14; 14, 6 — 13;

P.O.: 6, 7, 9, 13, 14.

11) 1, 5 -:

AI' (14), (II)' (6, 9, 11, 13, 14) — -;

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

12) 5, 1 -:

(II)' (6, 9, 11, 13, 14), AI (13) —

6, 13 — 7; 9, 13 — 13; 11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15;

13, 13 — 13; 14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

13) 2, 2 3:

II (7,15), A (9,13) — OI (7,13,15);

7, 9 — 7; 7, 13 — 7;

15, 9 — 15; 15, 13 — 7, 13, 15;

P.O.: 7, 13, 15.

14) 2, 2 5:

II (7,15), A* (9,11) — O (6, 7,11,14,15);

7, 9 — 7; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

15, 9 — 15; 15, 11 — 11, 14, 15;

14, 7 — 13;

P.O.: 6, 7, 11, 14, 15.

15) 2, 2 -:

II (7, 15), A'II'(7, 11) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

16) 2, 3 -:

II (7, 15), IO (7, 11, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

17) 3, 2 -:

10 (7, 11, 15), II (7, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

18) 2, 4 5:

11 (7,15), (IO)' (6, 9,13, 14) — (AAA ')'(7,11,13,14,15);

7, 6 — 11; 15, 6 — 15; 7, 9 — 7;

15, 9 — 15; 7, 13 — 7; 15, 13 — 7, 13, 15;

7, 14 — 11; 15, 14 — 11, 14, 15;

P.O.: 7, 11, 13, 14, 15.

19) 4, 2 5:

(10) ' (6, 9,13,14), II(7, 15) — O* (6, 7,13,14,15);

6, 7 — 13; 6, 15 — 15; 9, 7 — 7;

9, 15 — 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

13, 15 — 13, 14, 15; 14, 7 — 13; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 13, 14, 15.

20) 2, 4 -:

II (7, 15), (IO*)' (6, 7, 9, 11) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 7, 11 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

21) 4, 2 -:

(OI*)' (6, 7, 9, 13), II (7, 15) — -;

7, 7 — 7, 9, 11, 13, 15; 13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

22) 2, 5 6:

A (9,13), (II)' (6, 9,11,13,14) — (A'I)' (6, 9,11,13,14,15);

9, 6 — 6; 13, 6 — 14;

9, 9 — 9; 13, 9 — 13;

9, 11 — 11; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

9, 13 — 13; 13, 13 — 13;

9, 14 — 14; 13, 14 — 14;

P.O.: 6, 9, 11, 13, 14, 15.

23) 5, 2 6:

(11) ' (6, 9,11,13,14), II (7,15) — (AA)' (6, 7,11,13,14,15);

6, 7 — 13; 6, 15 — 15;

9, 7 — 7; 9, 15 — 15;

11, 7 — 7; 11, 15 — 7, 11, 15;

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 15 — 13, 14, 15;

14, 7 — 13; 14, 15 — 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 11, 13, 14, 15.

24) 2, 5 -:

II (7, 15), I (7, 9, 11, 13, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

25) 5, 2 -:

I (7, 9, 11, 13, 15), II (7, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

26) 2, 6 -:

II (7, 15), (AA)’ (6, 7, 11, 13, 14, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

27) 6, 2 -:

(AA)'(6, 7, 11, 13, 14, 15), II (7, 15) — -;

15, 15 — 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

28) 3, 5 -:

IO (7, 11, 15), (II)' (6, 9, 11, 13, 14) — -;

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

29) 5, 3 -:

(II)' (6, 9, 11, 13, 14), IO (7, 11, 15) — -;

13, 7 — 6, 7, 13, 14, 15; 13, 11 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

30) 4, 5 -:

(10) '(6, 9, 13, 14), (II)' (6, 9, 11, 13, 14) — -;

14, 13 — 6, 7, 13, 14, 15; 14, 14 — 9, 11, 13, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

31) 5, 4 -:

(11) ' (6, 9, 11, 13, 14), (IO)'(6, 9, 13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

32) 5, 5 - :

I (7, 9, 11, 13, 15), (II)' (6, 9, 11, 13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

33) 5, 6 -:

(II)’ (6, 9, 11, 13, 14), (AA)’ (6, 7, 11, 13, 14, 15) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

34) 6, 5 - :

(AA)'(6, 7, 11, , 13, 14, 15), (II')' (6, 7, 9, 13, 14) — -;

11, 13 — 7, 9, 11, 13, 15; 11, 14 — 6, 7, 11, 14, 15;

P.O.: 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15.

Результаты вычислений сведены в таблицы 4 и 5. В таблице 4 представлены результаты вычислений с учетом вычислений в силлогистике из 42 суждений [5] и степеней неопределенности суждений, при этом новые вычисления добавлены со знаком «+» и не учитываются автоматически отбрасываемые при вычислениях неправильные модусы. В таблице 5 заключения правильных сильных модусов расположены на пересечении столбцов и строк соответствующих суждений-посылок для первой фигуры силлогизма (в общепринятой записи), любые другие заключения являются слабыми либо неправильными. Прочерком обозначены любые заключения в неправильных

модусах. Отметим, что при вычислениях обнаружены пропущенные в статье [5] шесть следующих правильных модусов в силлогистике из 42 суждений: IO, (IO*)'— (AAA')'; IO*, (OI*)' — (AAA')'; (IO)', OI — (AAA')'; (IO*)', OI* — (AAA')'; (IO*)', (OI)' — (II'I)'; (IO)', (OI*)'— (II'I)'.

Таблица 4

Результаты вычислений в традиционной совершенной силлогистике

из 50 суждений

Таблица 5

Анализ результатов вычислений

Анализ результатов вычислений показывает, что добавление в интегральную силлогистику из 42 суждений восьми суждений из квазиуниверсальной силлогистики [6] не выводит расширенную таким образом силлогистику из класса совершенных в смысле работы [6] силлогистических систем, а результаты её альтернативного построения совпадают с результатами данной работы.

Выводы

1. Получено уточнение числа сильных правильных модусов совершенной интегральной силлогистики из 42 суждений. Это число равно 2692 по 673 модуса в каждой фигуре силлогизма, что на 6 модусов больше, чем указано в работе [5].

2. Впервые в явном виде для первой фигуры силлогизма представлены все сильные правильные модусы совершенной интегральной силлогистики

из 50 суждений с различной семантикой (интерпретацией кванторных слов), что с учетом свойства силлогистической полноты позволяет легко получить все правильные модусы для остальных трех фигур. Предлагается сделать это читателю. При затруднениях просьба обращаться к автору по электронной почте odis_okner@mail.ru.Таким образом, общее число правильных сильных модусов для данной силлогистики равно 3556 по 889 в каждой из четырёх фигур силлогизма.

3. Результаты, полученные в настоящей публикации, наглядно показывают, что в логике появился достаточно эффективный и доступный широкому кругу читателей инструмент для реконструкции и построения силлогистик. Этот инструмент может быть использован при создании систем искусственного интеллекта, для которых большое и практически необозримое для человека число правил вывода не является проблемой [17].

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное Слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

4. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

5. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentals scientiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

6. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18). Изд-во «Проблемы науки», 2017. С. 41-53.

7. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. 326 с.

8. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

9. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

10. Сидоренко О.И. О возможностях дедукции из суждений А. де Моргана // American Scientific Journal. № 16. Vol. 1. USA. Queens, 2017. P. 7-13.

11. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 c.

12. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

13. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2016. С. 72-83.

14. Сидоренко О.ИВведение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

15. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических результатов Аристотеля семантическим методом вычисления

результирующих отношений // Мультидисциплинарный научный журнал «Архивариус». Выпуск 8 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.

16. Сидоренко О.И. О построении традиционной интегрированной силлогистики из суждений Аристотеля, Теофраста, У. Гамильтона и А. де Моргана // Austria-science. №19. Часть 1, 2018. С. 33-40.

17. Сидоренко О.И. Силлогистический процессор / Патент РФ №39722. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.04.2004. Бюллетень №22. С. 20.

Модусы традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений (1 фигура силлогизма)

Кто привык за победу бороться, С нами вместе пускай запоёт: «Кто весел - тот смеётся, Кто хочет - тот добьётся, Кто ищет - тот всегда найдет!» - Из песни «Весёлый ветер»

2.