Существует ли альтернатива традиционной силлогистике из суждений Аристотеля?

Аннотация. Проведено систематическое исследование по выявлению и построению силлогистик, альтернативных традиционной силлогистике из суждений Аристотеля по некоторым критериям близости, с помощью семантического метода вычисления результирующих отношений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

Is There an Alternative to Traditional Syllogistics from the Judgments of Aristotle?

Abstract. A systematic study was conducted to identify and build syllogistics, alternative to traditional syllogistics from Aristotle's judgments by certain proximity criteria, with the help of semantic method for computing the resulting relations. Two closest alternative Aristotelian syllogistics were constructed that satisfy the chosen proximity criteria, and it was also proposed to consider the aximal positive syllogistic from the six judgments of Aristotle constructed by the author and the universal traditional syllogistics from 126 judgments with arbitrary seman­tics as alternative.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Ассерторическая (немодальная) силлогистика Аристотеля была создана великим греческим мыслителем около 2500 лет назад как исторически первый раздел науки логики, посвященный дедукции в рассуждениях из категорических суждений, то есть гарантированному логическому следованию из суждений о свойствах (атрибутах) предметов - атрибутивных суждений, о которых можно сказать, истинны они или ложны без каких-либо условий, и в которых различается субъектно-предикатная форма.

буквами и введя в рассмотрение следующие логические формы категорического суждения:

A - Все Sсуть P -общеутвердительное суждение;

E- Ни один Sне есть Р - общеотрицательное суждение;

I - Некоторые Sсуть Р - частноутвердительное суждение;

O- Некоторые Sне суть Р - частноотрицательное суждение, где

S - субъект, Р - предикат суждения.

В своей силлогистике Аристотель принял интерпретацию кванторного слова «все» в разделительном смысле как «всякие», а кванторного слова «некоторые» в неисключающем смысле как «некоторые или все» и ввел понятие силлогизма как опосредованного умозаключения из двух посылок - суждений, связанных общим средним термином. Пример силлогизма: первая посылка: «Некоторые врачи - женщины», вторая посылка: «Все хирурги - врачи», заключение: «Некоторые хирурги - женщины».

Среди всех возможных силлогизмов Аристотель выделил важные для практики правильные силлогизмы, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью, то есть при любых конкретных терминах. С помощью аксиоматического метода и неформального метода отбраковки правильных модусов нахождением контрпримеров удалось выявить среди 256 возможных модусов силлогизма 19 сильных правильных модусов, которые оказались неравномерно распределенными по четырем фигурам силлогизма:

1 фигура: МР-SM - AAA, EAE, AII, EIO;

2 фигура: РМ-SM- EAE, AEE, EIO, AOO;

3 фигура: МР-MS - AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO;

4 фигура: РМ-MS-AAI, EAO, IAI, AEE, EIO,где

M -средний термин, а Sи Р - крайние термины силлогизма.

Вышеприведенный силлогизм о врачах не является правильным, так как его логическая форма «Некоторые Mсуть Р», «Все Sсуть M», следовательно «Некоторые Sсуть Р» - IAIпервой фигуры отсутствует среди правильных модусов Аристотеля, что подтверждается следующим контрпримером: «Некоторые жители города Саратова - дети», «Все сотрудники НПП «Анфас» - жители города Саратова», следовательно « Некоторые сотрудники НПП «Анфас» - дети».

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения - это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественным отношением между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [4] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая (семантическая) структура суждения в отличие от его логической формы обладает замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно 7 (отношения Кейнса [5]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

Таблица 1

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Примечание.

Именно эти отношения, а не общеизвестные отношения Жергонна, соответствующие незафиксированному универсуму рассуждений, позволяют адекватно выражать семантику суждений с отрицательными терминами, характерными для расширений силлогистики Аристотеля, например, для силлогистики из суждений А. де Моргана [6]. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [7] правил

порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

семантическими номерами «все нули» и «все единицы», соответствующих тождественно ложному и тождественно истинному суждениям. Среди оставшихся 126 суждений большая часть не имеет простого выражения их логической формы на естественном языке [9]. В силлогистике Аристотеля имеется всего четыре базисных суждения. Общее число базисных множеств различных силлогистик из четырех суждений очевидно равно числу сочетаний из 126 по 4, то есть более 10 миллионов.

Цель публикации

Целью данной публикации является проведение систематического исследования по выявлению силлогистик, которые могли бы быть альтернативными по некоторым критериям традиционной силлогистике из суждений Аристотеля, и сравнение их между собой. Толчком к проведению подобного исследования послужила работа [10], в которой высказано сомнение в том, что мы адекватно понимаем логику Аристотеля. По мнению автора этой работы, «мы ещё не достигли строгого понимания условий истинности категорических атрибутивных высказываний, и до сих пор нет содержательно адекватной семантики категорических атрибутивных высказываний, с изучения которых когда-то началась наука логики».

Ограничение числа вариантов рассмотрения

Очевидно, что исследовать 10⁷силлогистик как альтернатив силлогистике Аристотеля, по крайней мере, вручную, не представляется возможным. Требуется резко уменьшить их количество за счет введения некоторых ограничений. Одно из таких ограничений состоит в том, что целесообразно исключить из числа анализируемых на первом этапе суждений те из них, автопорождающая функция которых по методу вычисления результирующих отношений дает тривиальные решения. Для этого требуется произвести ровно 126 вычислений результирующих отношений для силлогизмов, обе посылки которого по форме совпадают с данным суждением. Результаты такой процедуры по сокращению числа кандидатов в альтернативные суждения Аристотеля до 25 представлены в таблице 3.

Таблица 3

Перечень суждений традиционных силлогистик, автопорождающая функция которых не является тривиальной

Число сочетаний из 25 по 4 дает число порядка 10⁴, что в 1000 раз меньше предыдущего, но, к сожалению, все еще остается слишком большим. Требуется продолжить процесс ограничений. На этот раз в качестве ограничивающего признака выберем степень неопределенности суждения, равную двум, как в общих суждениях Аристотеля, при этом под степенью неопределенности суждения будем считать число отношений в его логической структуре. Путем выбора соответствующих суждений из таблицы 3 получим 11 следующих суждений: 96(6,7), 80(6,9), 72(6,11), 68(6,13), 66(6,14), 48(7,9), 34(7,14), 24(9,11), 20(9,13), 18(9,14) и 12(11,13). Заметим, что силлогистика Аристотеля является содержательно полной, то есть для любого из четырех базисных суждений Аристотеля имеется его контрадикторное отрицание: A = O', O = A', E = I', I = E'.

Это свойство, важное для практики, целесообразно сохранить. Если из перечисленных выше 11 -ти суждений образовать всевозможные пары суждений и добавить к ним их отрицания, логическая структура которых является дополняющей до всех 7 отношений, то получим 55 базисных множеств суждений и столько же силлогистик как альтернатив традиционной силлогистике из суждений Аристотеля. Дальнейшее уменьшение общего числа подлежащих рассмотрению альтернативных силлогистик возможно путем исключения из 11 -ти суждений, истинных ровно на двух отношениях, тех из них, которые не имеют на сегодня простого выражения на естественном языке. Получим 8 базисных суждений А. де Моргана A, A*, E, E*, I, I*, O,O*[4] и 6 базисных множеств из них:

1) AEIO;2) AA*O*O;3) A*EIO*;4) A E*I*O; 5) A* E*I*O*и 6) E*EII*.

Учитывая, что при незафиксированном универсуме рассуждений, как это, видимо, рассматривал Аристотель, не возможны отношения 6 и 7 и суждение E*, истинное на указанных отношениях, то из шести базисных множеств остаются только три первых множества , причем базисное множество №1 представляет собой традиционную силлогистику из суждений Аристотеля, а базисные множества №2 и №3 - искомые её альтернативы с семантикой суждений, представленной в таблице 4.

Таблица 4

Семантика суждений альтернативных силлогистик №2 и №3

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения альтернативных силлогистик метод вычисления результирующих отношений заключается в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают семантические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй Mи Р,

что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [11].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают те из них, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (то есть включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену определенных суждений в соответствующей фигуре посылках в результатах вычислений для первой фигуры (см. ниже).

Примеры вычислений

Для традиционной силлогистики AEIO№1 из суждений Аристотеля все вычисления выполнены в работе автора [12]. В результате получены представленные во введении общеизвестные правильные модусы Аристотеля. Вычисления для выявленной выше альтернативной силлогистики №3-A*EIO* осуществляются аналогично и дают следующие правильные модусы:

1 фигура: A *A *A*, IA *I, A*EE, IEO*;

2 фигура: A*A*I, IA*I, A*EO*, IEO*, A*O*O*, A*II;

3 фигура: EA*E, O*A*O*, A*EE, IEO*;

4 фигура: A *A *I, EA*E, A*EO*, IEO*, A *II.

Ниже приведены вычисления для выявленной в статье альтернативной силлогистики №2 -AA*OO*, правильные модусы выделены. При вычислениях результирующих отношений по таблице 2 отношения №6 и №7, соответству­ющие зафиксированному универсуму рассуждений, не учитываются.

1 фигура: SM-MP

1) A(9,13), A(9,13) — A(9,13);

9,9 9; 9,13 13; 13,9 13; 13,13 13;

P.O.: 9,13.

2) A(9,13), A *(9,11) 31(9,11,13,14,15);

9,9 9; 9,11 11; 13,9 13; 13,11 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

3) A(9,13), 0(11,14,15) 31(9,11,13,14,15);

9,11 11; 13,11 9,11,13,14,15;

9.14 14; 13,14 14;

9.15 15; 13,15 13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

4) A (9,13), O*(13,14,15) — O*(13,14,15);

9.13 13; 13,13 13;

9.14 14; 13,14 14;

9.15 15; 13,15 13,14,15;

P.O.: 13,14,15.

5) A*(9,11), A(9,13) —;

9,9 9; 9,13 13; 11,9 11; 11,13 9,11,13,15;

P.O.: 9,11,13,15.

6) A*(9,11), A*(9,11) — A*(9,11);

9.9 9; 9,11 ^11; 11,9 11; 11,11 11;

P.O.: 9,11.

7) A*(9,11), 0(11,14,15) — 0(11,14,15);

9,11 11; 11,11 11;

9.14 14; 11,14 11,14,15;

9.15 15; 11,15 11,15;

P.O.: 11,14,15.

8) A*(9,11), O*(13,14,15) 31(9,11,13,14,15);

9.13 13; 11,13 9,11,13,15;

9.14 14; 11,14 11,14,15;

9.15 15; 11,15 11,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

9) 0(11,14,15), A(9,13) 31(9,11,13,14,15);

11.9 11; 11,13 9,11,13,15;

14.9 14; 14,13 13,14,15;

15.9 15; 15,13 13,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

10) 0(11,14,15), A*(9,11) — O (11,14,15);

11.9 11; 11,11 11;

14.9 14; 14,11 14;

15.9 15; 15,11 11,14,15;

P.O.: 11,14,15.

11) 0(11,14,15), 0(11,14,15) 31(9,11,13,14,15);

15.15 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

12) 0(11,14,15), O*(13,14,15) 31(9,11,13,14,15);

15,15 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

13) O*(13,14,15), A(9,13) — O*(13,14,15);

13.9 13; 13,13 13;

14.9 14; 14,13 13,14,15;

15.9 15; 15,13 13,15;

P.O.: 13,14,15.

14) O*(13,14,15), A*(9,11) — 31(9,11,13,14,15);

13.9 — 13; 13,11 — 9,11,13,14,15;

14.9 — 14; 14,11 — 14;

15.9 — 15; 15,11 — 11,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

15) O*(13,14,15), 0(11,14,15) — 31(9,11,13,14,15);

15,15 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

16) O*(13,14,15), O*(13,14,15) — 31(9,11,13,14,15);

15,15 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

В результате вычислений с учетом силлогистической полноты данной силлогистики (см. ниже) получим следующие правильные модусы (в общепринятой записи):

1 фигура: AAA, O*AO*, A*A*A*, OA*O, A*OO, AO*O*;

2 фигура: AA*A, AOO*, A*AA*, A*O*O, OAO, O*A*O*;

3фигура: AA*A*, AOO, A*AA, A*O*O*, OAO*, O*AO;

4 фигура: AAA*, AO*O, A*A*A, A*OO*, OA*O*, O*AO.

Анализ результатов вычислений

В альтернативной силлогистике A*EIO*по сравнению с традиционной силлогистикой из суждений Аристотеля AEIOвместо общеутвердительного суждения Aиспользуется общеутвердительное суждение A*, а вместо частноотрицательного суждения O- частноотрицательное суждение O*,в которых субъект и предикат переставлены местами. При этом общее число сильных правильных модусов в обеих силлогистиках равно 19 и правильные модусы распределены по фигурам силлогизма неравномерно, что указывает на отсутствие в них свойства силлогистической полноты.

Непосредственные выводы осуществляются в соответствии с логическим квадратом с такими же отношениями между терминами суждений в вершинах квадрата, как и в силлогистике AEIO.Альтернативная силлогистика AA*O*O является, в отличие от предыдущей силлогистики, силлогистически полной, что позволяет ограничиться вычислениями только в первой фигуре силлогизма. В этой силлогистике вместо общеотрицательного суждения Eиспользуется общеутвердительное суждение A*, а вместо частноутвердительного суждения I используется частноотрицательное суждение O*.Общее число сильных правильных модусов равно 24 (по 6 в каждой фигуре). Между вершинами логического квадрата по всем его сторонам действует отношение независимости, а по диагоналям, как и в силлогистике AEIO, отношение контрадикторности.

Выводы

1. Если сравнивать силлогистику AEIOс альтернативной силлогистикой A*EIO*, то при всех равных характеристиках предпочтение следует отдать изначальной силлогистике AEIO, в которой отношения между субъектом и предикатом выражены в прямой, а не обращенной форме, что привычней для практики.

2. В альтернативной силлогистике AA*O*Oотсутствуют общеотрицательное и частноутвердительное суждения, что, возможно, является причиной того, почему Аристотелем не была рассмотрена эта силлогистика, несмотря на то, что она построена из известных ему суждений. Открытие данной силлогистики в свое время могло навести Аристотеля на мысль о множественности силлогистических систем. Неоспоримое преимущество этой силлогистики состоит в том, что, благодаря свойству силлогистической полноты, сильные правильные модусы распределены в ней по фигурам равномерно, и все правильные модусы силлогистики можно получить из модусов первой фигуры силлогизма простой заменой суждений A A*, O O* в соответствующей фигуре посылках, а именно: во второй фигуре - во второй посылке, в третьей фигуре - в первой посылке, в четвертой фигуре - в обеих посылках одновременно. В работе автора [13] было предложено исправить этот недостаток традиционной силлогистики из суждений Аристотеля путем введения в неё ещё двух суждений Л*и O*и была построена максимальная позитивная силлогистика из суждений Аристотеля с числом сильных правильных модусов по 15 в каждой фигуре силлогизма. Поэтому указанную силлогистику AEIOA*O*также можно считать альтернативой силлогистике AEIO.

3. Попытку создать логику, альтернативную аристотелевской, предпринял,

современник Ж.Д. Жергонна Уильям Гамильтон. Для этого он использовал суждения с квантификацией предиката, в которых трактовка кванторных слов «все» и «некоторые» другая, чем в суждениях Аристотеля. Кроме того, вместо четырех у Гамильтона восемь суждений и они имеют меньшую степень неопределенности, а общее число правильных модусов в силлогистике Гамильтона 144 [14]. По мнению известного ученого Я.А. Слинина

силлогистику Гамильтона губит так называемая «глобальная информативность» [15]. «Куда годится такая необозримая силлогистика?» спрашивает он и продолжает: « И действительно, силлогистика Гамильтона мало кому известна, а компактную изящную силлогистику Аристотеля люди знали, изучали и применяли на практике в течение без малого двух с половиной тысячелетий. Её изучаем, ею пользуемся и мы. Значит, Аристотель был прав, вводя в логику свои неопределенности и удачно их используя». Здесь ключевым словом, думается, является слово «люди». Сегодня, в век информатики, кибернетики и искусственного интеллекта ситуация резко меняется. Большое число правил вывода и необозримое количество правильных модусов уже не представляют проблемы и в автоматизированных системах могут найти применение и другие, неаристотелевские силлогистики [16], в том числе построенные в настоящей статье. В наше время уже не требуется знать все правильные модусы практически бесчисленных силлогистик, а нужно просто уметь вычислять заключения из любых суждений с произвольной семантикой подобно тому, как мы вычисляем результат умножения многоразрядных чисел, минуя громоздкие промежуточные таблицы умножения для нужного числа разрядов. Выявленные в публикации альтернативные силлогистики по существу являются альтернативой в малом, а по большому счету настоящей альтернативой

традиционной силлогистике из суждений Аристотеля является, по мнению автора, универсальная силлогистика с её методом вычисления результирующих отношений [4].

Список литературы

1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

4. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

5. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

6. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

7. Сидоренко О.И. О возможностях дедукции из суждений Аристотеля //Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.9 / Под ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2017. С. 126-135.

8. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

9. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14). Иваново: Изд-во «Проблемы науки», 2016. С. 72-83.

10. Шалак В.И. Обманчивая простота логики Аристотеля //Аристотелевское наследие как конституирующий элемент европейской рациональности: Материалы Моск. междунар. конф. по Аристотелю. (Москва 17-19 окт. 2016 г.) / Под общ. ред. В.В. Петрова. М.: Аквилон, 2017. С. 399-406.

11. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

12. Сидоренко О.И. В лабиринтах логики. Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

13. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.2./ Под общ. ред. А.А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-128.

14. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Изд-во «Наука», 1967. 508 с.

15. Слинин Я.А. Логический синтаксис Аристотеля // Логико-философские штудии. Том 11. №1. М., 2013. С. 24-40.

16. Сидоренко О.И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». №2 (2). Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

1.2.