О диаграмме дедукции в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе построена полная диаграмма дедукции, позволяющая наглядно представить логические связи между классами суждений в традиционной ин­тегральной силлогистике из 50 категорических суждений с различной семантикой и подтвердить особую роль суждений Аристотеля-А.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, совершенный фрагмент силлогистики, построение силлогистик.

About the Deduction Diagram in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. A complete deduction diagram is constructed in the subsection, which makes it possible to visualize the logical connections between the classes of judgments in the traditional integral syllogistic from 50 categorical judgments with different semantics and confirm the special role of Aristotle-A. de Morgan's judgments in her.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, perfect fragment of syllogistic, constructing syllogistics.

Введение

Интегральная силлогистика традиционного типа из 50 категорических суждений всех возможных степеней неопределенности и с различной семанти­кой как альтернатива традиционной аристотелевской силлогистике из четырех суждений A, I, E, Oс квантификацией субъекта была предложена и построена в работе автора [1]. Общее число правильных сильных модусов в указанной сил­логистике равно 3556 (по 889 в каждой из четырех фигур силлогизма), в то время как общее число сильных правильных модусов в силлогистике Аристотеля равно 19 [2]. В предложенной интегральной силлогистике проявляется синергетиче­ский эффект порождения новых правильных модусов от добавления к сужде­ниям Аристотеля суждений Теофраста, У. Гамильтона, А. де Моргана, Н.А. Васильева и других. В отличие от аристотелевской, предложенная инте­гральная силлогистика является совершенной, поскольку обладает важными для дедуктивной практики свойствами содержательной и силлогистической пол­ноты, а также свойствами силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов.

в суждениях указана в явном виде. Цифрами 6,7,9,11,13,14 и 15 в таблице 1 обозначены теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов, а именно: 6 - противоречивость, 7 - дополнительность, 9 - равнообъемность, 11 - обратное включение, 13 - прямое включение, 14 - соподчинение и 15 - перекрещивание. Более подробно данные отношения описаны в работе [2]. Исследования, проведенные автором в работе [4] показали, что совершенные силлогистики являются довольно редкими силлогистическими системами. Так в рассматриваемой интегральной силлогистике, выявлено пока только 32 совершенных фрагмента, включая саму силлогистику, из которых 14 могут служить альтернативой традиционной силлогистике Аристотеля. В работе [3] все суждения интегральной силлогистики по показателям порождаемости разбиты на 9 классов, которые имеют определенные дедуктивные связи между собой.

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Таблица 1

Постановка задачи

Целью настоящей публикации является построение полной диаграммы де­дукции в традиционной интегральной силлогистике, наглядно проясняющей де­дуктивные связи между выделенными классами суждений и позволяющей опера­тивно оценить логическую эффективность и значимость этих классов для силло­гистики.

Метод исследования

Построение диаграммы дедукции проведем с помощью анализа получен­ных в работе [5] методом вычисления результирующих отношений автопорож­дающих (таблица 2) и взаимно порождающих (таблица 3) правил вывода из 25 содержательно полных пар суждений, представленных в таблице 1. В отличие от [5] взаимно порождающие правила приведены без исключений, включая триви­альные правила и правила, не дающие никакого результата, и без объединения правил, имеющих одинаковый результат. Надо иметь в виду, что все эти правила характеризуются одним общим для дедукции свойством: с их помощью нельзя получить суждения с более высокой степенью определенности, чем суждения в посылках, и если есть, например, правило №168: 9,13 2,8,13, то оно означает, что

из содержательно полной пары 2 берется суждение (A'I)', истинное на 6 отношениях.

Таблица 2

Автопорождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Таблица 3

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Все 25 содержательно полных пар суждений традиционной интегральной силлогистики из таблицы 1 разобьем на 6 классов в соответствии с показателями порождаемости пар суждений, полученными в работе [3], при этом пары с но­мерами 1,3,7,12,25 для упрощения диаграммы объединим в один класс. Получим следующие классы суждений, которые обозначим римскими цифрами: 1(8,9,10,11); 11(21,22,23,24); III(2,4,5,6); IV(13,14,15,16); V(1,3,7,12,25)

VI(17,18,19,20).

Составим 21 фрагмент из правил таблиц 2 и 3 для определения результатов вывода из суждений каждого из классов I - VI (между собой и сами с собой), которые представим ниже.

Результаты исследования

1) I(8,9,10,11), I(8,9,10,11) >I(8,9,10,11);

8.8 8 - таблица 2;

8.9 > 8,9,10,11;

8.10 9,10,11;

8.11 > 9,10,11;

9,9 9 - таблица 2;

Таким образом, I, I — I.

2) I(8,9,10,11), II(21,22,23,24) I(8,

8.21 4,10,21;

8.22 6,9,22;

8.23 2,9,23;

8.24 4,11,24;

9.21 > 2,8,21;

9.22 5,11,22;

9.23 5,10,23;

9.24 6,8,24;

9.10 - 8,10,11;

9.11 > 8,10,11;

10.10 8,9,11 - таблица 2;

10.11 8,9;

11.11 8,9,10 - таблица 2.

’,10,11), II(21,22,23,24), III(2,4,5,6):

10,21 2,8,22;

10.22 5,11,21;

10.23 2,9,24;

10.24 4,11,23;

11.21 4,10,22;

11.22 > 6,9,21;

11.23 5,10, 24;

11.24 6,8,23.

Таким образом, I, II — I, II, III.

3) I(8,9,10,11), III(2,4,5,6) >I(8,9,10,11), III(2,4,5,6);

2.8 > 2,9,10;

2.9 > 2,8,10;

2.10 4,5;

2.11 > 4,5,8,9,10;

4.8 > 4,8,10,11;

4.9 > 4;

4.10 > 2,6,8,10;

4.11 > 2,6,8,11;

5.8 > 5;

5.9 5,9,10,11;

5.10 > 2,6,9,10;

5.11 2,6,9,11;

6.8 > 6,9,11;

6.9 > 6,8,11;

6.10 > 4,5,8,9,11;

6.11 4,5.

Таким образом, I, III —— I, III.

4) I(8,9,10,11), IV(13,14,15,16) > I(8,9,10,11), III(2,4,5,6), IV(13,14,15,16);

8.13 4,10,13;

8.14 > 2,9,14;

8.15 > 4,11,15;

8.16 6,9,16;

9.13 > 2,8,13;

9.14 5,10,14;

9.15 > 6,8,15;

9.16 > 5,11,16;

10.13 > 2,8,16;

10.14 > 2,9,15;

10.15 4,11,14;

10.16 5,11,13;

11.13 4,10,16;

11.14 5,10,15;

11.15 > 6,8,14;

11.16 6,9,13.

Таким образом, I, IV I, III, IV.

5) 1(8,9,10,11), V(1,3,7,12,25) ' 1(8,9,10,11), 11(21,22,23,24), IV(13,14,15,16).

Таким образом, II, IV I, III, V₁₂,₂₅.

10) 11(21,22,23,24), V(1,3,7,12,25) — 11(21,22,23,24), IV(13,14,15,16), V(7,12);

Таким образом, II, V II, IV, Ѵ_7>12.

11) 11(21,22,23,24), VI(17,18,19,20) — 1(8,9,10,11), V(12);

17.21 — 9,12;

17.22 — 10;

17.23 — 8,12;

17.24 — 10;

18,21 — 11;

18,22 — 8,12;

18.23 — 8,12;

18.24 — 10;

19.21 — 9,12;

19.22 — 10;

19.23 — 11;

19.24 — 9,12;

20,21 — 11;

20,22 — 8,12;

20,23 — 11;

20.24 — 9,12

Таким образом, II,VI ^I, V₁₂.

12) III(2,4,5,6), III(2,4,5,6) — 1(8,9,10,11), III(2,4,5,6);

2,2 — 8,9,10 -таблица 2; 4,5 — 8,9,10,11;

2.4 — 2,8,10,11; 4,6 — 6,8,10,11;

2.5 — 2,9,10,11; 5,5 — 5 - таблица 2;

2,6 — 4,5;

4,4 — 4 - таблица 2;

5.6 — 6,9,10,11;

6.6 — 8,9,11 - таблица 2.

Таким образом, III, III I, III.

13) III(2,4,5,6), IV(13,14,15,16) — 1(8,9,10,11), 11(21,22,23,24), IV(13,14,15,16);

2,13 — 9,10,21; 5,13 — 9,10,22;

2.14 — 8,10,23;

2.15 — 8,10,14;

2.16 — 9,10,13;

4.13 — 8,11,13;

4.14 — 8,10,24;

4.15 — 8,10,15;

5.14 — 9,11,14;

5.15 — 9,11,23;

5.16 — 9,10,16;

6.13 — 8,11,16;

6.14 — 9,11,15;

6.15 — 9,11,24;

4,16 — 8,11,21;

6,16 — 8,11,22.

Таким образом, III, IV I, II, IV.

14) III(2,4,5,6),V((1,3,7,12,25) — II(21,22,23,24), III(2,4,5,6), IV(13,14,15,16);

1.2 — 4,5;

1.4 — 2,6;

1.5 — 2,6;

1.6 — 4,5;

2.3 — 2;

3.4 — 4;

3.5 — 5;

3.6 — 6;

2.7 — 21,23;

4.7 — 21,24;

5.7 — 22,23;

6.7 — 22,24;

2.12 — 13,14;

4.12 — 13,15;

5.12 — 14,16;

6.12 — 15,16;

2.25 — 21,23;

4.25 — 21,24;

5.25 — 22,23;

6.25 — 22,24.

Таким образом, V, V 4 V.

20) V(1,3,7,12,25), VI(17,18,19,20) 4 II(21,22,23,24), V(7,12), VI(17,18,19,20);

1.17 4 18,19;

3.17 4 17;

7.17 4 12;

12.17 4 7,21,23;

17.25 4 —;

1.18 4 17,20;

3.18 4 18;

7.18 412;

12.18 4 7,21,24;

18.25 4 —;

Таким образом, V, VI 4 II, V^u, VI.

21) VI(17,18,19,20), VI(17,18,19,20) 4 V(1,3);

17.17 > 3 - таблица 2;

17.18 4 1;

17.19 4 1;

17.20 4 —;

18,18 4---- таблица 2;

Таким образом, VI, VI 4 V_1>3.

1.19 4 17,20;

3.19 4 19;

7.19 4 12;

12,19 4 7,22,23;

19.25 4 —;

1.20 4 18,19;

3.20 4 20;

7.20 4 12;

12.20 4 7,22,24;

20.25 4 —.

18.19 4 3;

18.20 4 1;

19.19 4------ таблица 2;

19.20 4 1;

20.20 4 3 - таблица 2.

Диаграмма дедукции, построенная на основе полученных правил вывода из шести выделенных классов суждений, представлена на рисунке.

Логическое следование между классами, представленное на диаграмме дугой со стрелкой, означает, что его результатом является хотя бы одно из суждений содержательно полных пар результирующего класса (в прямой либо инверсной форме).

Заключение

Анализ построенной диаграммы дедукции в традиционной интегральной силлогистике позволяет сделать следующие выводы:

1. Из классов I и V на диаграмме дедукции в другие классы не выходит ни одна из дуг, что указывает на замкнутость классов I и V относительно операции логического следования. Указанные классы являются совершенными фрагмен­тами традиционной интегральной силлогистики, что подтверждается результа­тами работы [4].

2. Классы на диаграмме дедукции характеризуются следующим числом входящих в них дуг: I - 15 дуг, II, V - 10 дуг, III- 8 дуг, IV- 7 дуг, VI - 1 дуга. По числу входящих в класс дуг можно судить о порождаемости суждений данного класса в интегральной силлогистике. По этому показателю на первом месте с большим отрывом находится класс I суждений Аристотеля-А. де Моргана, что подтверждает особую роль этих суждений в традиционной интегральной сил­логистике, выявленную в [3].

Рис.1

Диаграмма дедукции в традиционной интегральной силлогистике

Список литературы

1. Сидоренко О.И. О построении совершенной интегрированной силлоги­стики традиционного типа из 50 базисных суждений на основе силлогистики из 42 суждений / О.И. Сидоренко // United journal. №24, 2019. С. 20-33.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. Об особой роли суждений Аристотеля-А. де Моргана в традиционной интегральной силлогистике / О.И. Сидоренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф. в 12 т. Т. 1 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2020. С. 95-102.

4. Сидоренко О.И. О результатах выявления совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики / О.И. Сидоренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф. В 12 т. Т. 1 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2020. С. 49-56.

5. Сидоренко О.И. О правилах вывода для выявления совершенных фраг­ментов традиционной интегральной силлогистики / О.И. Сидоренко // Матема­тические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 12: в 3 ч. Ч. 3 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 43-48.