<<
>>

О правилах вывода для выявления совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики

Аннотация. Получены все автопорождающие и взаимно порождающие правила вывода из 25 содержательно полных пар суждений с различной семантикой, позволяющие значительно сократить трудоемкость выявления совершенных фрагментов традицион­ной интегральной силлогистики из 50 базисных суждений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, совершенный фрагмент силлогистики, построение силлогистик.

On Inference Rules for Revealing Perfect Fragments of Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The all self-generating and mutually generating inference rules from 25 meaning­fully complete pairs of judgments with different semantics are obtained, allowing to signifi­cantly reduce the complexity of identifying perfect fragments of traditional integral syllogistics from 50 basic judgments.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, perfect fragment of syllogistic, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпре­тацией смыслов составляющих их суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них. В интегральных силлогистиках ярко проявляется си­нергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с различной семантикой, к которым можно отнести суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж.

Венна, А. де Моргана и Н.А. Васильева и другие [2].

При построении интегральных силлогистик предложенным автором семан­тическим методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из суждений с различной семантикой свойства силлогистических систем: свойства содержательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности резуль­татов [3]. Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами, названы в работе [4] совершенными. Исследования, проведенные в [5], свиде­тельствуют об исключительной уникальности подобных силлогистических систем, однако вопрос об их общем числе в традиционной силлогистике пока остается

открытым, что связано с многочисленными вычислениями результирующих от­ношений и перебором огромного количества вариантов.

Постановка задачи

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача получения всех вспомогательных для ограничения перебора вариантов автопо­рождающих и взаимно порождающих правил вывода из 25 содержательно полных пар суждений, позволяющих значительно сократить трудоемкость выявления со­вершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики из 50 базисных суждений с различной семантикой, представленных в таблице 1. При этом вычис­ления результирующих отношений полностью исключаются на стадии отбора ва­риантов и остаются только на стадии построения силлогистик для отобранных случаев. Само же получение автопорождающих и взаимно порождающих правил вывода основано на вычислениях результирующих отношений из соответствую­щих правилам пар суждений таблицы 2 по методу [1] с использованием таблицы 3 правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках. Цифрами 6,7,9,11,13,14, и 15 в логических структурах суждений, представленных в таблицах 1-3, обозначены теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов, а именно: 6 - противоречивость, 7 - дополни­тельность, 9 - равнообъемность, 11 - обратное включение, 13 - прямое вклю­чение, 14 - соподчинение, 15 - перекрещивание.

Таблица 1

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
1 AA' 6 Все Sсуть все не P
2 A'I 7 Все не Sсуть (не суть) только некоторые P
3 AA 9 Все Sсуть все P
4 IA 11 Только некоторые Sсуть (не суть) все P
5 AI 13 Все Sсуть (не суть) только некоторые P
6 AI' 14 Все Sсуть (не суть) только некоторые не P
7 II'I 15 Только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P
8 A 9, 13 Всякие Sсуть P
9 A* 9, 11 Всякие не Sсуть не P
10 E 6, 14 Всякие Sне суть P
11 E* 6, 7 Всякие не Sне суть не P
12 AAA' 6, 9 Все Sсуть все Pили не P
13 A'II' 7, 11 Все не S суть (не суть) только некоторые Pили не P
14 AA'I 7, 13 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
15 AA'I' 11, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
16 AII' 13, 14 Все S суть (не суть) только некоторые Pили не P
17 II 7, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
18 II' 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P

Обозначение логической формы суждения Логическая

структура суждения

Логические формы суждения (одни из возможных)
19 I'I 13, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P
20 I'I' 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
21 IO 7, 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) P
22 IO* 13, 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) P
23 OI 7, 13, 15 Только некоторые Pсуть (не суть) S
24 OI* 11, 14, 15 Только некоторые не Pсуть (не суть) S
25 (AA'II')' 6, 9, 15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
26 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) P
27 (IO*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) P
28 (OI)' 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Pсуть (не суть) S
29 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не Pсуть (не суть) S
30 AA'II' 7, 11, 13, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
31 I=E' 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Sне суть P (Некоторые или всякие Sсуть P)
32 I*=(E*)' 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Sне суть не P (Некоторые или всякие не Sсуть не P)
33 O=A' 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Sсуть P (Некоторые или всякие Sсуть не P)
34 O*=(A*)' 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие не Sсуть не P (Некоторые или всякие не Sсуть P)
35 (AAA')' 7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все Pили не P
36 (A'II')' 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые P или не P
37 (AA'I)' 6,9,11,14,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
38 (AA'I')' 6,7,9,13,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
39 (AII')' 6,7,9,11,15 Неверно, что все Sсуть ( не суть) только некоторые Pили не P
40 (II)' 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
41 (II')' 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P
42 (I'I)' 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P
43 (I'I')' 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
44 (AA)' 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все P
45 (AI)' 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые P
46 (IA)' 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) все P
47 (AA')' 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все не P
48 (A'I)' 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые P
49 (AI)' 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые не P
50 (II'I)' 6,7,9,11,13, 14 Неверно, что только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P

Таблица 2

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та
1 AA'(6),

(AA')'(7,9,11,13,14,15)

Есть 14 AA'I(7,13),

(AA'I)'(6,9,11,14,15)

Нет
2 A'I(7),

(A'I)'(6,9,11,13,14,15)

Есть 15 AA'I'(11,14),

(AA’I’)’(6,7,9,13,15)

Нет
3 AA(9),

(AA)’’(6,7,11,13,14,15)

Есть 16 AII'(13,14),

(AII')'(6,7,9,11,15)

Нет
4 IA(11),

A)'(6,7,9,13,14,15)

Нет 17 II(7,15),

(II)'(6,9,11,13,14)

Есть
5 AI(13),

AI)'(6,7,9,11,14,15)

Нет 18 II'(11,15),

(II')'(6,7,9,13,14)

Нет
6 AI'(14),

(AI’)’(6,7,9,11,13,15)

Есть 19 I'I(13,15),

(I'I)'(6,7,9,11,14)

Нет
7 II'I(15),

(II'I)'(6,7,9,11,13,14)

Есть 20 I'I'(14,15),

(I’I’)’(6,7,9,11,13)

Есть
8 A(9,13),

A'(6,7,11,14,15)

Нет 21 IO(7,11,15), (IO)'(6,9,13,14) Нет
9 A*(9,11),

(A*)’(6,7,13,14,15)

Нет 22 IO*(13,14,15),

(IO*)'6,7,9,11)

Нет
10 E(6,14),

E'(7,9,11,13,15)

Есть 23 OI(7,13,15), (OI)'(6,9,11,14) Нет
11 E*(6,7),

(E*)'(9,11,13,14,15)

Есть 24 OI*(11,14,15), (OI*)'(6,7,9,13) Нет
12 AAA'(6,9),

(AAA')'(7,11,13,14,15)

Есть 25 (AA'II)'(6,9,J5), AA'II'(7,11,13,14) Есть
13 A'II'(7,11),

(A'II')'(6,9,13,14,15)

Нет

Таблица 3

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15
25 11, 11 11

Для получения всех автопорождающих правил вывода необходимо вычислить результирующие отношения для каждой из 25 перечисленных в таблице 2 содержательно полных пар суждений. Например, для пары №2 из таблицы 2 необходимо произвести следующие 4 вычисления (правильные мо­дусы выделены):

1) A 4(7), A 4(7) E'(7,9,11,13,15)- №10;

7,7 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

2) A 'I(7), (A 'I)'(6,9,11,13,14,15) A '(6,7,11,14,15)- №8;

7.6 11; 7,9 7; 7,11 6,7,11,14,15; 7,13 7; 7,14 11; 7,15 7,11,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

3) (A 'I)'(6,9,11,13,14,15), A 'I(7) (A *) '(6,7,13,14,15)-№9;

6.7 13; 9,7 7; 11,7 7; 13,7 6,7,13,14,15; 14,7 13; 15,7 7,13,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

4) (A'I) ’(6,9,11,13,14,15), (A’I)’(6,9,11,13,14,15) —;

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 2 8,9,10.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе содер­жательно полных пар суждений имеется пара с номером 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться пары с номерами 8,9 и 10 (см. таблицу 2). Для полу­чения всех автопорождающих правил требуется произвести С251 х 4 = 100 вычис­лений результирующих отношений. В компактной форме все нетривиальные ав­топорождающие правила можно представить в виде следующих 4 правил:

1) 1,17,20 3; 2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Для сокращения общего числа подлежащих рассмотрению случаев при вы­явлении совершенных фрагментов интегральной силлогистики автопорождающих правил вывода может оказаться недостаточным, особенно для случаев с большим числом суждений в совершенных фрагментах. В этом случае придется применить взаимно порождающие правила, которые должны быть вычислены для всех пар

содержательно-полных пар суждений из таблицы 2. Например, для пары 1,2 необходимо произвести следующие 8 вычислений (правильные модусы выделены):

1) AA '(6), A 'I(7) AI(13) - №5;

6,7 — 13;

Р.О.: 13.

2) A 'I(7), AA '(6) IA(11) - №4;

7.6 —11;

P.O.: 11.

3) (AA’)’(7,9,11,13,14,15), A’I(7) — —;

7.7 — 7,9,11,13,15; 13,7 — 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

4) A'I(7), (AA')'(7,9,11,13,14,15) — —;

7,7 — 7,9,11,13,15; 7,11 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

5) AA '(6), (A 'I)'(6,9,11,13,14,15) (AI)'(6,7,9,11,14,15) - №5;

6,6 — 9; 6,9 — 6; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;

P.O.: 6,7,9,11,14,15.

6) (A 'I)'(6,9,11,13,14,15), AA '(6) (IA)'(6,7,9,13,14,15) - № 4;

6,6 — 9; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;

P.O.: 6,7,9,13,14,15.

7) (AA’)'(7,9,11,13,14,15), (A4)’(6,9,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) (A'I)’(6,9,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) — —;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 1,2 4,5.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номерами 1 и 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суждений с номерами 4 и 5. Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С252x 8 = 2400 вычислений результирующих отношений. В компактной форме все нетривиальные взаимно порождающие правила можно представить в виде следующих 116 правил: 1) 1,13; 22,25 > 16; 2) 1,14; 24,25 > 15; 3) 1,15; 23,25 > 14; 4) 1,16; 21,25 > 13; 5) 1,21 > 22; 6) 1,22 > 21; 7) 1,23 > 24; 8) 1,24 > 23; 9) 7,17; 7,18; 7,19; 7,20; 7,25 > 12; 10) 12,13; 12,14; 12,15; 12,16 > 25; 11) 12,21; 12,22; 12,23; 12,24 > 7; 12) 13,17; 13,19; 14,17; 14,18; 17,22; 17,24; 18,24; 19,22 > 10; 13) 15,19; 15,20; 16,18; 16,20; 18,21; 19,23; 20,21; 20,23 > 11; 14) 17,18; 17,19; 18,20; 19,20 > 1; 15) 18,19 > 3; 16) 1,2; 1,6; 2,6; 2,10; 6,11 > 4,5; 17) 1,4; 1,5 > 2,6; 18) 1,8; 1,9; 4,8; 5,9; 8,9 > 10,11; 19) 1,10; 1,11; 10,11 > 8,9; 20) 1,17; 1,20 > 18,19; 21) 1,18;

I, 19 > 17,20; 22) 2,7; 2,20; 2,25; 7,11; 10,12; 11,20 > 21,23; 23) 2,8; 5,16; 5,22; 8,11 > 9,10; 24) 2,9; 4,15; 4,24; 9,11 > 8,10; 25) 2,12; 10,25 >13,14; 26) 4,7; 4,18; 4,25; 7,9; 8,12; 9,18 > 21,24; 27) 4,13; 4,21; 6,9; 9,10 > 8,11; 28) 4,12; 8,25 > 13,15; 29) 5,7; 5,19; 5,25; 7,8; 8,19; 9,12 > 22,23; 30) 5,12; 9,25 > 14,16; 31) 5,14; 5,23; 6,8; 8,10 > 9,11; 32) 6,7; 6,25; 6,17; 7,10; 10,17;

II, 12 > 22,24; 33) 6,12; 11,25 > 15,16; 34) 7,13; 7,22; 13,25 > 12,21; 35) 7,14; 7,24; 14,25 >

12,23; 36) 7,15; 7,23; 15,25 > 12,24; 37) 7,16; 7,21;16,25 >12,22; 38) 8,13; 8,21 > 4,10;

39) 8,14; 8,23 > 2,9; 40) 8,15; 8,24 > 4,11; 41) 8,16; 8,22 > 6,9; 42) 9,13; 9,21 > 2,8; 43) 9,14; 9,23 > 5,10; 44) 9,15; 9,24 > 6,8; 45) 9,22 > 5,11; 46) 13,18; 13,20; 15,17; 15,18; 17,23; 18,22; 18,23; 20,22 > 8,12; 47) 14,19; 14,20; 16,17; 16,19; 17,21; 19,21; 19,24; 20,24 > 9,12; 48) 2,4; 4,6; 4,19 > 8,10,11; 49) 2,5; 5,6; 5,18 > 9,10,11; 50) 2,13; 2,19; 2,22 > 9,10,21; 51) 2,14; 2,18; 2,24 > 8,10,23; 52) 2,15; 2,23 > 8,10,14; 53) 2,16; 2,21 > 9,10,13; 54) 2,17 > 8,9,10;

55) 4,14; 4,20 8,10,24; 56) 4,22 8,11,13; 57) 4,23 8,10,15; 58) 4,10; 4,11 2,6,8; 59) 4,16;

4,17 8,11,21; 60) 5,10; 5,11 2,6,9; 61) 5,13; 5,20 9,10,22; 62) 5,15; 5,17^ 9,11,23; 63) 5,21

9,10,16; 64) 5,24 9,11,14; 65) 6,14; 6,24 9,11,15; 66) 6,15; 6,19; 6,23 9,11,24; 67) 6,16;

6,18; 6,21 8,11,22; 68) 6,20 8,9,11; 69) 6,13; 6,22 8,11,16; 70) 8,17 2,9,23; 71) 8,18

4,10,11; 72) 8,20 6,9,22; 73) 10,22 5,11,21; 74) 9,17 2,8,21; 75) 9,19 5,10,11; 76) 9,20

6,8,24; 77) 10,13 2,8,16; 78) 10,14 2,9,15; 79) 10,15 4,11,14; 80) 10,16 5,11,13;

81) 10,18; 10,21 2,8,22; 82) 10,19; 10,23 2,9,24; 83) 10,20 4,5,11; 84) 10,24 4,11,23;

85) 11,13 4,10,16; 86) 11,14 5,10,15; 87) 11,15 6,8,14; 88) 11,16 6,9,13; 89) 11,17

4,5,10; 90) 11,18 6,8,23; 91) 11,19; 11,22 6,9,21; 92) 11,21 4,10,22; 93) 11,23 5,10,24;

94) 12,17 7,21,23; 95) 12,18 7,21,24; 96) 12,19 7,22,23; 97) 12,20 7,22,24; 98) 4,5

8,9,10,11; 99) 13,14 8,9,10,12; 100) 13,15 8,10,11,25; 101) 13,23 2,8,10,25; 102) 13,24

4,8,10,12; 103) 14,16 9,10,11,25; 104) 14,21 2,9,10,25; 105) 14,22 5,9,10,12; 106) 15,16

8,9,11,12; 107) 15,21 4,8,11,12; 108) 15,22 6,8,11,25; 109) 16,23 5,9,11,12; 110) 16,24

6,9,11,25; 111) 21,23 2,8,9,12; 112) 21,24 4,7,10,11; 113) 22,23 5,7,10,11; 114) 22,24

6,8,9,12; 115) 2,11 4,5,8,9,10; 116) 6,10 4,5,8,9,11.

Приведем пример использования полученных правил. Пусть требуется определить, какая из двух групп суждений может быть базисным множеством совершенного фрагмента интегральной силлогистики: 3,4,5,8,10 или 1,3,7,12,25. Применим вначале соответствующие группам суждений из таблицы 2 авто­порождающие правила: для первой группы из правила 3) 10 8,9,11 следует,

что в группе должны быть пары суждений с номерами 9 и 11, но их нет, значит, эта группа не может быть базисным множеством совершенного фрагмента. Для второй группы суждений из правил 1) 1^ 3; 4) 7,25 12 следует, что она удо­

влетворяет автопорождающим правилам и теперь её надо проверить на соот­ветствие единственному для данной группы суждений нетривиальному вза­имно порождающему правилу 9) 7, 25 12. Поскольку указанное правило не

выводит суждения за пределы группы, то данная группа суждений может быть базисным множеством совершенного фрагмента из 10 суждений, что подтвер­ждается построением соответствующей силлогистики [5].

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов в традиционной ин­тегрированной силлогистике с различной семантикой суждений /

О.И. Сидоренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 11 т. Т. 1 / Под ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 100-107.

4. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силло­гистики /О.И. Сидоренко // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

5. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике /

О.И. Сидоренко // Lingvo-science. №22, 2019. C. 14-27.

2.3.

<< | >>
Источник: Логические исследования в интегральных силлогистиках: Монография /О.И. Сидоренко. - Саратов: Издательский Центр «Наука»,2020. - 360 с.. 2020

Еще по теме О правилах вывода для выявления совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики: