О результатах выявления совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики

Аннотация. В подразделе описывается метод нахождения важных с точки зрения де­дукции совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики из 50 ба­зисных суждений, а также представлены полученные с помощью данного метода ре­зультаты проведенных автором исследований по выявлению совершенных фрагментов с числом суждений от 2 до 16, 20 и от 38 до 48.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, совершенный фрагмент силлогистики, построение силлогистик.

On the Results of Revealing Perfect Fragments of Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the method of finding perfect fragments of traditional in­tegral syllogistics from 50 basic judgments that are important from the point of view of de­duction, and also summarizes the results of the author's research using this method to identify perfect fragments with the number of judgments from 2 to 16, 20 and from 38 to 48. The specified the method is based on exhaustive search with a significant limitation of the number of options for consideration by taking informative and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments as well as the application of the self-generating and mutually generating rules of inference previously obtained by the author and corrected in this article, taking into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results. The prospects of further research are considered.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, perfect fragment of syllogistic, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпре­тацией смыслов составляющих их суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них. В интегральных силлогистиках ярко проявляется си­нергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с различной семантикой, к которым можно

отнести суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана и Н.А. Васильева и другие [2].

При построении интегральных силлогистик предложенным автором се­мантическим методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для дедукции из суждений с различной семантикой свойства силлоги­стических систем: свойства содержательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов [3]. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, ис­тинного на отношении прямого включения между терминами, оно также со­держит суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям (см. далее), истинное на отношении обратного включения между терминами, и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями только для первой фигуры силлогизма.

Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами, названы в работе [4] совершенными. Отметим, что традиционная силлогистика из суждений Аристотеля не является совершенной, поскольку не обладает двумя свойствами из четырех, а именно: свойством силлогистической полноты и свойством силлогистической плотности результатов. Из-за отсутствия первого свойства правильные модусы в силлогистике Аристотеля распределены по че­тырем фигурам силлогизма неравномерно, что затрудняет дедуктивные выводы в силлогистике, а из-за отсутствия второго - в силлогистике имеются пропуски модусов, которые могли бы быть правильными («силлогистические дыры»). В таблице 1 [3] представлено исследуемое в статье базисное множество традици­онной интегральной силлогистики из 50 базисных суждений, имеющих отно­сительно простое выражение их смысла на естественном языке. Цифрами 6,7,9,11,13,14,15 в логических структурах суждений таблицы 1 обозначены от­ношения между терминами со стороны их объемов, а именно: 6 - противоре-

чивость, 7 - дополнительность, 9 - равнообъемность, 11 - обратное включение, 13 - прямое включение, 14 - соподчинение, 15 - перекрещивание.

Таблица 1

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Постановка задачи

Исследования, проведенные автором в ряде работ [3-5], свидетельствуют об исключительной уникальности совершенных силлогистических систем, однако вопрос об их общем числе в традиционной интегральной силлогистике пока остается открытым, что связано с перебором огромного количества вариантов.

В данной статье поставлена и решена более простая задача обзора и пере­проверки уже полученных автором результатов в решении данного вопроса для числа суждений в совершенных фрагментах от 2 до 16, 20 и от 38 до 48, а также более подробное изложение используемого метода, чтобы им могли воспользо­ваться другие исследователи.

О методе исследования

Для решения поставленной задачи лучше всего было бы использовать ме­тод полного перебора, однако число вариантов этого метода слишком велико (для вычислений вручную) и равно числу сочетаний из 50 по n, где n- число суждений в базисном множестве силлогистического фрагмента. Для сокращения перебора автором предложено на первом этапе учесть требования содержа­тельной и силлогистической полноты суждений в совершенных фрагментах. Для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в совершенном фрагменте должно быть четным. Существует всего 25 представ­ленных в таблице 2 содержательно полных пар суждений для интегральной силлогистики из 50 базисных суждений, перечисленных в таблице 1, 11 из ко­торых, а именно: 1,2,3,6,7,10,11,12,17,20,25 являются силлогистически полными, в то время, как остальные суждения силлогистически полны только в семи па­рах: 4,5; 8,9; Ю,^ 15,16; ^W; 21,23; 22,24 [3].

Таблица 2

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистик из 50 суждений

Необходимо отобрать те группы из n содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты.

Таблица 3

Число подлежащих анализу групп суждений на предмет наличия

в них совершенных фрагментов

Автопорождающие правила вывода:

1) 1,1; 17,17; 20,20 3;

2) 2,2; 11,11 8,9,10;

3) 6,6; 10,10 8,9,11;

4) 7,7; 25,25 12.

Указанные правила означают, что если, например, в группе суждений имеется содержательно полная пара с номером 1, то для удовлетворения требо­ваниям силлогистической плотности и однозначности результатов по правилу 1) в ней обязательно должна содержаться также пара с номером 3, и т.д. Взаимно порождающие правила представлены в таблице 4 с объединением правил, да­ющих один и тот же результат вывода. Представленные правила означают, что если в группе содержательно полных пар суждений имеются, например, пары с номерами 4,16 то по правилу №59 для удовлетворения требованиям силлоги­стической плотности и однозначности результатов в ней также должны содер­жаться пары суждений с номерами 8,11,21.

Таблица 4

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Из таблицы 3 следует, что для нахождения общего числа всех совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики из 50 суждений пред­ложенным методом сокращенного перебора требуется проанализировать 262142 группы содержательно полных пар суждений. Анализ сводится к фильтрации группы с помощью авто и взаимно порождающих правил вывода. Для умень­шения трудоемкости применения указанных правил целесообразно представить группу суждений либо в прямой форме записи для n от 2 до 24 включительно, либо в инверсной форме для n от 26 до 48. Под инверсной формой записи группы понимается её представление в виде перечисления не входящих в группу со­держательно полных пар суждений. При этом в первом случае бракующим группу правилом будет правило, с помощью которого из содержательно пол­ных пар суждений группы выводится хотя бы одна не входящая в группу пара суждений. Во втором случае бракующим группу правилом является правило, при использовании которого из содержательно полных пар суждений, не вхо­дящих в группу с инверсной формой записи, выводится хотя бы одна пара суждений, содержащихся в этой группе. Для облегчения отбора совершенных фрагментов силлогистики по отсутствующим в ней суждениям взаимно по­рождающие правила представлены ниже в виде перечня правил вывода для каждой пары суждений из таблицы 4, откорректированных по сравнению с ра­ботой [6]:

1. 14;

2. 17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;

3. 15;

4. 16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,107,112,115,116;

5. 16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;

6. 17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;

7. 11,94,95,96,97,112,113;

102,106,107,108,111,114,115,116;

9. 19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99,103,104, 105,106,109,110,111,114,115, 116;

10. 12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99,100, 101,102,103,104,105,112,113,115;

11. 13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100,103, 106,107,108,109,110,112,113,116;

12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;

13. 4,25,28,53,56,80,88;

14. 3,25,30,52,64,79,87;

15. 2,28,33,57,65,78,86;

16. 1,30,33,63,69,77,85;

17. 21;

18. 20;

19. 20;

20. 21;

21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;

22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;

23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;

24. 7,26,32,36,55,66,76,82,93,95,97;

25. 10,100,101,103,104,108,110.

Группа суждений, не забракованная ни одним из авто и взаимно порож­дающих правил, считается прошедшей фильтрацию и является искомым ба­зисным множеством суждений совершенного фрагмента традиционной инте­гральной силлогистики. Фильтрацию вариантов перебора групп суждений це­лесообразно проводить до нахождения первого же бракующего группу правила вывода.

Результаты исследования

Результаты выявления и построения найденных в работах автора [7-17] совершенных фрагментов представлены в таблице 5. Из таблицы 5 следует, что в настоящее время число совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики определено только для 15 из 24 случаев и в сумме составляет 31 совершенный фрагмент.

Таблица 5

Результаты выявления и построения совершенных фрагментов

в традиционной интегральной силлогистике

Заключение

Совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 ба­зисных суждений содержит, по крайней мере, 31 совершенный фрагмент. Большинство выявленных совершенных фрагментов с числом суждений более 8 включают в себя суждения Аристотеля, что указывает на их особую роль, ко­торую ещё требуется осмыслить в традиционной интегральной силлогистике. Анализ используемых в публикации правил вывода позволяет автору сделать предположение о том, что любые другие фрагменты силлогистики не являются совершенными, однако доказать это утверждение ещё предстоит в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов в традиционной ин­тегрированной силлогистике с различной семантикой суждений / О.И. Сидо­ренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 11 т. Т. 1 / Под ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 100-107.

4. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силло­гистики /О.И. Сидоренко // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

5. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / О.И. Сидо­ренко // Lingvo-science. №22, 2019. C. 14-27.

6. Сидоренко О.И. О правилах вывода для выявления совершенных фраг­ментов традиционной интегральной силлогистики / О.И. Сидоренко // Матема­тические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т 12: в 3 ч. Ч. 3 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 43-48.

7. Sidorenko O. On the Number of Perfect Fragments of the six Judgments in the Traditional Integrated Quasi-Universal Syllogistic // Norwegian Journal of Develop­ment of the International Science. №27. Vol. 3. 2019. P. 55-64.

8. Sidorenko О.On the Number of Perfect Fragments of the eight Judgments in the Traditional Integrated Quasi-Universal Syllogistic // European multi science journal. № 24, 2019. P. 40-51.

9. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из двенадцати суждений в традиционной интегральной силлогистике // Slovak international scientific journal. №34. Vol. 2, 2019. С. 71-79.

10. Sidorenko О.About Impossibility of Existence of Perfect fragments of 14 Judgments in a Traditional Integral Syllogistics // Journal of science. Lyon. №1, 2019. P. 44-51.

11. Сидоренко О.И. О единственности существования совершенного фрагмента из 16 суждений в традиционной интегральной силлогистике // Научный журнал Chronos. Выпуск 3 (17). М., 2020. С. 48-57.

12. Сидоренко О.И. О расширении традиционной силлогистики Аристотеля до совершенной интегральной силлогистической системы из 16 суждений // «Евразийский Союз Ученых». №11 (68), 2019. С. 65-71.

13. Сидоренко О.И. О невозможности существования совершенных фрагментов из 46 и 48 суждений в традиционной интегральной силлогистике // Scitechnology. №21, 2019. 1 часть. С. 35-44.

14. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из 44 суждений в традиционной интегральной силлогистике // Znanstvena misel journal. №36. Vol. 3, 2019. С. 41-53.

15. Sidorenko О.On the Number of Perfect Fragments from 42 Judgments in Traditional Integral Syllogistic // Annali d'Italia. №1, 2019. P. 39-47.

16. Sidorenko O. On the Number and Construction of Perfect Fragments from 40 Judgments in a Traditional Integral Syllogistic // Sientific Discussion. №37. Vol. 1. P. 49-63.

17. Sidorenko О.About Impossibility of Existence of Perfect Fragments of 38 Judgments in a Traditional Integral Syllogistics // Norwegian Journal of development of the International Science. №37. Vol. 3, 2019. P. 38-46.

2.16.