О невозможности существования совершенных фрагментов из 14 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе описывается процесс нахождения всех совершенных фраг­ментов из 14 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выявления в них всех правильных сильных моду­сов.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

About Impossibility of Existence of Perfect Fragments from 14 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the process of finding all perfect fragments from 14 propositions in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different seman­tics and identifying all correct strong modes in them. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­

цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра­вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез­вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором семантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В интегральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект по­рождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У.

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [3]). Семантика указанных отношений представлена в таб­лице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [5]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма

осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)'^(OI*)', A'II'^AA'I, AA'I'^AII', (A'II')'^(AA'I)', (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из 14 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [5], вместе с очередной демонстрацией эффективности предложенного автором ра­нее и ещё мало известного метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик.

Таблица 3

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 14 суждений требуется проанализировать более 1*10 ¹² случаев (число сочетаний из 50 по 14). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных сужде­

ний в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются силлогистически полными, в то время как остальные силло­гистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 14 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те семерки содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты. Можно показать, что их число равно 7414, при этом указанные семерки делятся на 4 группы: 1) семерки содержательно полных пар суждений с одной силлоги­стически полной парой (их число равно С₁₁⁵x C₇¹= 3234), 2) семерки содержа­тельно полных пар суждений с двумя силлогистически полными парами (их число равно С₇²x C₁₁³= 3465), 3) семерки с тремя силлогистически полными парами (их число равно C₁₁¹ x C₇³= 385) и 4) силлогистически полные семерки пар суждений, в которых каждое суждение является силлогистически полным (их число равно Сп”^ С₇⁰ = 330). Для каждой из 7414 силлогистик из 14 суждений в общем случае необходимо произвести 196 вычислений (каждый с каждым), что в целом составит 1453144. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из этого числа те семерки, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистической плотности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать массив из 7414 случаев с помощью авто­порождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары № 1 из таблицы 4 необходимо произвести следующие вычисления (правильные модусы выделены):

1) AA '(6), AA '(6) AA (9) - №3;

6,6^9;

P.O. :9.

2) AA '(6), (AA ')'(7,9,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - № 3;

6,7 13; 6,9 6; 6,11 14; 6,13 7; 6,14 11; 6,15 15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

3) (AA ')'(7,9,11,13,14,15), AA '(6) (AA)'(6,7,11,13,14,15) - № 3;

7,6 121; 9,6 6; 11,6 7; 13,6 14; 14,6 13; 15,6 15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) (AA')’(7,9,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15)

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 1,1 3.

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 1 , то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должна со­держаться пара с номером 3 (см. таблицу 4). Аналогично можно показать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №2 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №7 - наличие пары №12, из наличия пары №25 - наличие пары

№12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в виде следующих четырех правил [7]:

1) 1,17,20 3; 2) 2,11 8,9,10; 3) 6,10 8,9,11; 4) 7,25 12.

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С₂₅^1х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 379, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычислен­ные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таб­лицы 4. Например, для пары 2,7 необходимо произвести следующие 8 вычис­лений (правильные модусы выделены):

1) A'I(7), II'I(15) —— IO(7,11,15) — ]№21;

7.15 7,11,15;

Р.О.: 7,11,15.

2) II'I(15), A 'I(7) — OI(7,13,15) - № 23;

15.7 7,13,15;

P.O.: 7,13,15.

3) A’I(7), (II'I)'(6,7,9,11,13,14)

7.7 7,9,11,13,15; 7,11 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

4) (II’I)’(6,7,9,11,13,14), A’I(7)

7,7 7,9,11,13,15; 13,7 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

5) II'I(15), (A4)’(6,9,11,13,14,15)

15.15 6,7,9,11,13,14,15.

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

6) (A’I)’(6,9,11,13,14,15), II'I(15)

15,15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

7) (A’I)' (6,9,11,13,14,15), (II’I)'(6,7,9,11,13,14)

11,13 7,9,11,13,15; 11,14 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) (II'I)'(6,7,9,11,13,14), (A’I)'(6,9,11,13,14,15)

11,13 7,9,11,13,15; 11,14 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 2,7 >21,23.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 2 и 7, то для удо­влетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суж­дений с номерами 21 и 23. Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С₂₅²* 8 = 2400 вычислений результирующих отношений. Всего существует 116 нетривиальных правила указанного вида:

1) 1,13; 22,25 > 16; 2) 1,14; 24,25 > 15; 3) 1,15; 23,25 > 14; 4) 1,16; 21,25 > 13; 5) 1,21 > 22; 6) 1,22 > 21; 7) 1,23 > 24; 8) 1,24 > 23; 9) 7,17; 7,18; 7,19; 7,20; 7,25 > 12; 10) 12,13; 12,14; 12,15; 12,16 > 25; 11) 12,21; 12,22; 12,23; 12,24 > 7; 12) 13,17; 13,19; 14,17; 14,18; 17,22; 17,24; 18,24; 19,22 > 10; 13) 15,19; 15,20; 16,18; 16,20; 18,21; 19,23; 20,21; 20,23 > 11; 14) 17,18; 17,19; 18,20; 19,20 > 1; 15) 18,19 > 3; 16) 1,2; 1,6; 2,6; 2,10; 6,11 > 4,5; 17) 1,4; 1,5 > 2,6; 18) 1,8; 1,9; 4,8; 5,9; 8,9 > 10,11; 19) 1,10; 1,11; 10,11 > 8,9; 20) 1,17; 1,20 > 18,19; 21) 1,18;

I, 19 > 17,20; 22) 2,7; 2,20; 2,25; 7,11; 10,12; 11,20 > 21,23; 23) 2,8; 5,16; 5,22; 8,11 > 9,10; 24) 2,9; 4,15; 4,24; 9,11 > 8,10; 25) 2,12; 10,25 >13,14; 26) 4,7; 4,18; 4,25; 7,9; 8,12; 9,18 > 21,24; 27) 4,13; 4,21; 6,9; 9,10 > 8,11; 28) 4,12; 8,25 > 13,15; 29) 5,7; 5,19; 5,25; 7,8; 8,19; 9,12 > 22,23; 30) 5,12; 9,25 > 14,16; 31) 5,14; 5,23; 6,8; 8,10 > 9,11; 32) 6,7; 6,25; 6,17; 7,10; 10,17;

II, 12 > 22,24; 33) 6,12; 11,25 > 15,16; 34) 7,13; 7,22; 13,25 > 12,21; 35) 7,14; 7,24; 14,25 > 12,23; 36) 7,15; 7,23; 15,25 > 12,24; 37) 7,16; 7,21;16,25 >12,22; 38) 8,13; 8,21 > 4,10; 39) 8,14; 8,23 > 2,9; 40) 8,15; 8,24 > 4,11; 41) 8,16; 8,22 > 6,9; 42) 9,13; 9,21 > 2,8; 43) 9,14; 9,23 > 5,10; 44) 9,15; 9,24 > 6,8; 45) 9,22 > 5,11; 46) 13,18; 13,20; 15,17; 15,18; 17,23; 18,22; 18,23; 20,22 > 8,12; 47) 14,19; 14,20; 16,17; 16,19; 17,21; 19,21; 19,24; 20,24 > 9,12; 48) 2,4; 4,6; 4,19 > 8,10,11; 49) 2,5; 5,6; 5,18 > 9,10,11; 50) 2,13; 2,19; 2,22 > 9,10,21; 51) 2,14; 2,18; 2,24 > 8,10,23; 52) 2,15; 2,23 > 8,10,14; 53) 2,16; 2,21 > 9,10,13; 54) 2,17 > 8,9,10; 55) 4,14; 4,20 > 8,10,24; 56) 4,22 > 8,11,13; 57) 4,23 > 8,10,15; 58) 4,10; 4,11 > 2,6,8; 59) 4,16; 4,17 > 8,11,21; 60) 5,10; 5,11 > 2,6,9; 61) 5,13; 5,20 > 9,10,22; 62) 5,15; 5,17> 9,11,23; 63) 5,21 > 9,10,16;

64) 5,24 9,11,14; 65) 6,14; 6,24 9,11,15; 66) 6,15; 6,19; 6,23 9,11,24; 67) 6,16; 6,18; 6,21

8,11,22; 68) 6,20 8,9,11; 69) 6,13; 6,22 8,11,16; 70) 8,17 2,9,23; 71) 8,18 4,10,11;

72) 8,20 6,9,22; 73) 10,22 5,11,21; 74) 9,17 2,8,21; 75) 9,19 5,10,11; 76) 9,20 6,8,24;

77) 10,13 2,8,16; 78) 10,14 2,9,15; 79) 10,15 4,11,14; 80) 10,16 5,11,13; 81) 10,18;

10,21 2,8,22; 82) 10,19; 10,23 2,9,24; 83) 10,20 4,5,11; 84) 10,24 4,11,23; 85) 11,13

4,10,16; 86) 11,14 5,10,15; 87) 11,15 6,8,14; 88) 11,16 6,9,13; 89) 11,17 4,5,10;

90) 11,18 6,8,23; 91) 11,19; 11,22 6,9,21; 92) 11,21 4,10,22; 93) 11,23 5,10,24;

94) 12,17 7,21,23; 95) 12,18 7,21,24; 96) 12,19 7,22,23; 97) 12,20 7,22,24; 98) 4,5 8,9,10,11; 99) 13,14 8,9,10,12; 100) 13,15 8,10,11,25; 101) 13,23 2,8,10,25; 102) 13,24

4,8,10,12; 103) 14,16 9,10,11,25; 104) 14,21 2,9,10,25; 105) 14,22 5,9,10,12; 106) 15,16

8,9,11,12; 107) 15,21 4,8,11,12; 108) 15,22 6,8,11,25; 109) 16,23 5,9,11,12; 110) 16,24

6,9,11,25; 111) 21,23 2,8,9,12; 112) 21,24 4,7,10,11; 113) 22,23 5,7,10,11; 114) 22,24

6,8,9,12; 115) 2,11 4,5,8,9,10; 116) 6,10 4,5,8,9,11.

Фильтрация массива из 379 силлогистик с помощью взаимно порождающих правил не дает никаких групп суждений, для которых требуется произвести построение силлогистик, то есть выявить все их двухпосылочные законы. Иными словами, множество совершенных фрагментов из 14 суждений в тра­диционной интегральной силлогистике является пустым.

Выводы

Cовершенные фрагменты из 14 суждений в традиционной интегральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений отсутствуют, то есть их существование невозможно. В то же время известно, что для числа суждений от 2 до 12 включительно, а также для 42 и 50 суждений совершенные фрагменты существуют [6-8,11].

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная инте­гральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений не со­держит совершенных фрагментов из 14 суждений, что свидетельствует об ис­ключительной уникальности совершенных силлогистических систем. Суще­ствуют ли другие подобные случаи, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Со­временное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. НовиковП.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic // European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С.14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41 -53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Совре­менные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Моногра­фия. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.8.