<<
>>

О числе совершенных фрагментов из 44 суждений в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе описывается процесс нахождения всех совершенных фраг­ментов из 44 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суж­дений с различной семантикой.

При исследованиях использован метод полного перебора с существенным ограничением числа вариантов путем учета содержательной и силлоги­стической полноты суждений в совершенных фрагментах, а также применения автопо­рождающих и взаимно порождающих правил вывода, учитывающих требования силло­гистической плотности и однозначности результатов. Указанные правила получены с помощью предложенного автором ранее семантического метода решения силлогизмов вычислением результирующих отношений. Представлены алгоритмы и приведены кон­кретные примеры вычислений для построения силлогистик на основе выявленных в ста­тье совершенных фрагментов. Рассмотрены перспективы дальнейших исследований.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.

On the Number of Perfect Fragments from 44 Judgments in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection describes the process of finding all perfect fragments from 44 judgments in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics and identifying all correct strong modes in them. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic

completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results. The indicated rules are obtained on the basis of the semantic method proposed by the author for solving syllogisms by calculating the resulting relations. Algorithms are presented and specific examples of calculations for constructing syllogistic based on perfect fragments identified in the article are presented.

The prospects of further research are considered.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.

Введение

Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана вели­ким древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных тер­минах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпрета­цией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием пра-

вильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрез­вычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только дока­зать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсаль­ности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [6-8,11,12]. Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором се­мантическим методом вычисления результирующих отношений [15]. В инте­гральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана и Н.А. Васильева [4].

Суть метода вычисления результирующих отношений

Согласно тезису Альфреда Тарского [16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов.

В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [3]). Семантика указанных отношений представлена в таб­лице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.

В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 1

S 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения
P 0 1 0 1
Номер отношения 6 0 1 1 0 Противоречивость S'P+SP’
7 0 1 1 1 Дополнительность S+P
9 1 0 0 1 Равнообъемность S’-P’+S-P
11 1 0 1 1 Обратное включение S+P’
13 1 1 0 1 Прямое включение S’+P
14 1 1 1 0 Соподчинение S’+P’
15 1 1 1 1 Перекрещивание S'P'+S'P+SP'+SP = 1

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

Посылки

SM, MP

Заключение

SP

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15
25 11, 11 11

Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения.

В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости,

доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [5]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.

Алгоритм вычисления результирующих отношений

Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM,при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре

посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее) A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)’^(OI)’, (IO*)’^(OI*)’, A’II’^AA’I, AA’I’^AII’, (A’II’)’^(AA’I)’, (AA'I')'^(AII')', II'^I'I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.

Свойства силлогистических систем

При построении различных силлогистик методом вычисления результи­рующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства со­держательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогисти­ческой полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логи­ческой структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (об­ратного включения между терминами), и наоборот.

Указанное свойство позво­ляет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [1 0]. Свойство силлогистической плотности заклю­чается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлоги­стической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одно­временно всеми четырьмя свойствами названы в работе [11] совершенными. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержа­щихся если не в универсальной силлогистике с предельно возможным числом суждений 128 (протологике), то хотя бы в интегральной силлогистике с базис­ным множеством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке [11]. Однако решение данной задачи связано с перебором большого количества вариантов.

Цель публикации

В данной публикации поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из 44 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множе­ством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [5].

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Таблица 3

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
1 AA' 6 Все Sсуть все не P
2 A'I 7 Все не Sсуть (не суть) только некоторые P
3 AA 9 Все Sсуть все P
4 IA 11 Только некоторые Sсуть (не суть) все P
5 AI 13 Все Sсуть (не суть) только некоторые P
6 AI' 14 Все Sсуть (не суть) только некоторые не P
7 II'I 15 Только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P
8 A 9, 13 Всякие Sсуть P
9 A* 9, 11 Всякие не Sсуть не P
10 E 6, 14 Всякие Sне суть P
11 E* 6, 7 Всякие не Sне суть не P
12 AAA' 6, 9 Все Sсуть все Pили не P
13 A'II' 7, 11 Все не S суть (не суть) только некоторые Pили не P
14 AA'I 7, 13 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
15 AA'I' 11, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
16 AII' 13, 14 Все S суть (не суть) только некоторые Pили не P
17 II 7, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
18 II' 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P
19 I'I 13, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P
20 I'I' 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
21 IO 7, 11, 15 Только некоторые Sсуть (не суть) P
22 IO* 13, 14, 15 Только некоторые не Sсуть (не суть) P
23 OI 7, 13, 15 Только некоторые Pсуть (не суть) S
24 OI* 11, 14, 15 Только некоторые не Pсуть (не суть) S
25 (AA'II')' 6, 9, 15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
26 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) P
27 (IO*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) P
28 (OI)' 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Pсуть (не суть) S
29 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не Pсуть (не суть) S

Обозначение логической формы суждения Логическая структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
30 AA’II’ 7, 11, 13, 14 Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
31 I=E’ 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Sне суть P (Некоторые или всякие Sсуть P)
32 I*=(E*)’ 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Sне суть не P (Некоторые или всякие не Sсуть не P)
33 O=A’ 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Sсуть P (Некоторые или всякие Sсуть не P)
34 O*=(A*)’ 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие не Sсуть не P (Некоторые или всякие не Sсуть P)
35 (AAA')' 7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все Pили не P
36 (A’II’)’ 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P
37 (AA’I)’ 6,9,11,14,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P
38 (AA’I’)’ 6,7,9,13,15 Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P
39 (AII’)’ 6,7,9,11,15 Неверно, что все Sсуть ( не суть) только некоторые Pили не P
40 (II)' 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P
41 (II’)’ 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P
42 (I'I)' 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P
43 (I'I')' 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P
44 (AA)' 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все P
45 (AI)' 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые P
46 (IA)' 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) все P
47 (AA')' 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все Sсуть все не P
48 (A'I)' 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые P
49 (AI')' 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые не P
50 (II'I)' 6,7,9,11,13, 14 Неверно, что только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P

Ограничение перебора вариантов

Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фраг­ментов из 44 суждений требуется проанализировать около 16*10 6 случаев (число сочетаний из 50 по 44). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлоги­стики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, 255

являются силлогистически полными, в то время как остальные силлогистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 44 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 22 содержательно полных пар сужде­ний, в которых соблюдается требование силлогистической полноты. Можно показать, что их число равно 242, при этом указанные группы в свою очередь делятся на 2 группы: 1) группы содержательно полных пар суждений с шестью силлогистически полными парами (их число равно С1110х C76= 77), 2) группы содержательно полных пар суждений с семью силлогистически полными па­рами (их число равно С77 х C118= 165). Для каждой из 242 групп из 44 суждений в общем случае необходимо произвести 1936 вычислений (каждый с каждым), что в целом составит 468512. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из этого числа те группы суждений, которые заве­домо не удовлетворяют свойству силлогистической плотности и однозначности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать массив из 242 сил- логистик с помощью автопорождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Напри­мер, для пары №7 из таблицы 4 необходимо произвести следующие вычисления (правильные модусы выделены):

1) II'I(15), II'I(15) —;

15.15 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

2) II'I(15), (II'I)'(6,7,9,11,13,14) (AAA')'(7,11,13,14,15) - №12;

15,6 15; 15,7 7,13,15; 15,9 15; 15,11 11,14,15; 15,13 7,13,15;

15,14 11,14,15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

3) (II'I)'(6,7,9,11,13,14), II'I(15) (AAA')'(7,11,13,14,15) - №12

6.15 15; 7,15 7,11,15; 9,15 15; 11,15 7,11,15; 13,15 13,14,15;

14.15 13,14,15;

P.O.: 6,7,11,13,14,15.

4) (II’I)’(6,7,9,11,13,14), (II’I)’(6,7,9,11,13,14) —;

11,13 7,9,11,13,15; 11,14 6,7,11,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 7,7 12.

Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержа­тельно полных пар суждений имеется пара с номером 7 то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должна содержаться пара с номером 12 (см. таблицу 4). Аналогично можно показать, что из наличия пары №6 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 - наличие пары №3, из наличия пары №2 - наличие пар с номерами 8,9 и 10, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в следующем виде [7]:

1) 1,17,20 — 3; 2) 2,11 — 8,9,10; 3) 6,10 — 8,9,11; 4) 7,25 — 12.

Таблица 4

Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений

Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та Логические структуры суждений Силло- гисти- ческая полно­та
1 AA'(6),

(AA')'(7,9,11,13,14,15)

Есть 14 AA'I(7,13),

(AA'I)'(6,9,11,14,15)

Нет
2 A'I(7),

(A'I)'(6,9,11,13,14,15)

Есть 15 AA'I'(11,14),

(AA’I’)’(6,7,9,13,15)

Нет
3 AA(9),

(AA)'(6,7,11,13,14,15)

Есть 16 AII'(13,14),

(AII')'(6,7,9,11,15)

Нет
4 IA(11),

(IA)'(6,7,9,13,14,15)

Нет 17 II(7,15),

(II)'(6,9,11,13,14)

Есть
5 AI(13),

(AI)'(6,7,9,11,14,15)

Нет 18 II'(11,15),

(II')'(6,7,9,13,14)

Нет
6 AI'(14),

(AI’)’(6,7,9,11,13,15)

Есть 19 1'1(13,15),

(I'I)'(6,7,9,11,14)

Нет
7 II'I(15),

(II'I)'(6,7,9,11,13,14)

Есть 20 I'I'(14,15),

(I’I’)’(6,7,9,11,13)

Есть
8 A(9,13),

A'(6,7,11,14,15)

Нет 21 IO(7,11,15), (IO)'(6,9,13,14) Нет
9 A*(9,11),

(A*)’(6,7,13,14,15)

Нет 22 IO*(13,14,15),

(IO*)'6,7,9,11)

Нет
10 E(6,14),

E'(7,9,11,13,15)

Есть 23 OI(7,13,15), (OI)'(6,9,11,14) Нет
11 E*(6,7),

(E*)'(9,11,13,14,15)

Есть 24 OI*(11,14,15), (OI*)'(6,7,9,13) Нет
12 AAA'(6,9),

(AAA')'(7,11,13,14,15)

Есть 25 (AA'II')'(6,9,15),

AA'II'(7,11,13,14)

Есть
13 A'II'(7,11),

(A'II')'(6,9,13,14,15)

Нет

Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С25 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 83, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычислен­ные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таб­лицы 4. Например, для пары 6,10 необходимо произвести следующие 8 вычис­лений (правильные модусы выделены):

1) AI'(14), E(6,14) (E*)'(9,11,13,14,15) - №11;

14,6 13; 14,14 9,11,13,14,15;

Р.О.: 9,11,13,14,15.

2) E(6,14), AI'(14) (E*) '(9,11,13,14,15) - №11;

6,14 11; 14,14 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

3) AI'(14), E'(7,9,11,13,15) (A*)'(6,7,13,14,15) - №9;

14,7 — 13; 14,9 — 14; 14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15; 14,15 — 13,14,15; P.O.: 6,7,13,14,15.

4) E'(7,9,11,13,15), AI'(14) A '(6,7,11,14,15) - №8;

7.14 — 11; 9,14 — 14; 11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15; P.O.: 6,7, 11,14,15.

5) E(6,14), (AI')'(6,7,9,11,13,15) (IA)'(6,7,9,13,14,15) - №4;

6.6 — 9; 6,7 — 13; 6,9 — 6; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,15 — 15;

14.6 — 13; 14,7 — 13; 14,9 — 14; 14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15;

14.15 — 13,14,15;

P.O.: 6,7,9,13,14,15.

6) (AI')'(6,7,9,11,13,15), E(6,14) (AI)'(6,7,9,11,14,15) - № 5;

6.6 — 9; 7,6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 15,6 — 15;

6.14 — 11; 7,14 — 11; 9,14 — 14; 11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14;

15.14 — 11,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,14,15.

7) (AI')'(6,7,9,11,13,15), E'(7,9,11,13,15) — —;

15.15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

8) E'(7,9,11,13,15), (AI’)’(6,7,9,11,13,15) — —;

15.15 - 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результат: 6,10 4,5,8,9,11.

Представленные в примере вычисления означают, что если в группе со­держательно полных пар суждений имеется пара с номерами 6 и 10, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суждений с номерами 4,5,8,9 и 11 Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С252 * 8 = 2400 вычислений результирующих от­ношений. Всего существует 1 16 нетривиальных правил указанного вида:

1) 1,13; 22,25 > 16; 2) 1,14; 24,25 > 15; 3) 1,15; 23,25 > 14; 4) 1,16; 21,25 > 13; 5) 1,21 > 22; 6) 1,22 > 21; 7) 1,23 > 24; 8) 1,24 > 23; 9) 7,17; 7,18; 7,19; 7,20; 7,25 > 12; 10) 12,13; 12,14; 12,15; 12,16 > 25; 11) 12,21; 12,22; 12,23; 12,24 > 7; 12) 13,17; 13,19; 14,17; 14,18; 17,22; 17,24; 18,24; 19,22 > 10; 13) 15,19; 15,20; 16,18; 16,20; 18,21; 19,23; 20,21; 20,23 > 11; 14) 17,18; 17,19; 18,20; 19,20 > 1; 15) 18,19 > 3; 16) 1,2; 1,6; 2,6; 2,10; 6,11 > 4,5; 17) 1,4; 1,5 > 2,6; 18) 1,8; 1,9; 4,8; 5,9; 8,9 > 10,11; 19) 1,10; 1,11; 10,11 > 8,9; 20) 1,17; 1,20 > 18,19; 21) 1,18;

I, 19 > 17,20; 22) 2,7; 2,20; 2,25; 7,11; 10,12; 11,20 > 21,23; 23) 2,8; 5,16; 5,22; 8,11 > 9,10; 24) 2,9; 4,15; 4,24; 9,11 > 8,10; 25) 2,12; 10,25 >13,14; 26) 4,7; 4,18; 4,25; 7,9; 8,12; 9,18 > 21,24; 27) 4,13; 4,21; 6,9; 9,10 > 8,11; 28) 4,12; 8,25 > 13,15; 29) 5,7; 5,19; 5,25; 7,8; 8,19; 9,12 > 22,23; 30) 5,12; 9,25 > 14,16; 31) 5,14; 5,23; 6,8; 8,10 > 9,11; 32) 6,7; 6,25; 6,17; 7,10; 10,17;

II, 12 > 22,24; 33) 6,12; 11,25 > 15,16; 34) 7,13; 7,22; 13,25 > 12,21; 35) 7,14; 7,24; 14,25 > 12,23; 36) 7,15; 7,23; 15,25 > 12,24; 37) 7,16; 7,21;16,25 >12,22; 38) 8,13; 8,21 > 4,10; 39) 8,14; 8,23 > 2,9; 40) 8,15; 8,24 > 4,11; 41) 8,16; 8,22 > 6,9; 42) 9,13; 9,21 > 2,8; 43) 9,14; 9,23 > 5,10; 44) 9,15; 9,24 > 6,8; 45) 9,22 > 5,11; 46) 13,18; 13,20; 15,17; 15,18; 17,23; 18,22; 18,23; 20,22 > 8,12; 47) 14,19; 14,20; 16,17; 16,19; 17,21; 19,21; 19,24; 20,24 > 9,12; 48) 2,4; 4,6; 4,19 > 8,10,11; 49) 2,5; 5,6; 5,18 > 9,10,11; 50) 2,13; 2,19; 2,22 > 9,10,21; 51) 2,14; 2,18; 2,24 > 8,10,23; 52) 2,15; 2,23 > 8,10,14; 53) 2,16; 2,21 > 9,10,13; 54) 2,17 > 8,9,10; 55) 4,14; 4,20 > 8,10,24; 56) 4,22 > 8,11,13; 57) 4,23 > 8,10,15; 58) 4,10; 4,11 > 2,6,8; 59) 4,16; 4,17 > 8,11,21; 60) 5,10; 5,11 > 2,6,9; 61) 5,13; 5,20 > 9,10,22; 62) 5,15; 5,17> 9,11,23; 63) 5,21 > 9,10,16; 64) 5,24 > 9,11,14; 65) 6,14; 6,24 > 9,11,15; 66) 6,15; 6,19; 6,23 > 9,11,24; 67) 6,16; 6,18; 6,21 > 8,11,22; 68) 6,20 > 8,9,11; 69) 6,13; 6,22 > 8,11,16; 70) 8,17 > 2,9,23; 71) 8,18 > 4,10,11;

72) 8,20 — 6,9,22; 73) 10,22 — 5,11,21; 74) 9,17 — 2,8,21; 75) 9,19 — 5,10,11; 76) 9,20 — 6,8,24; 77) 10,13 — 2,8,16; 78) 10,14 — 2,9,15; 79) 10,15 — 4,11,14; 80) 10,16 — 5,11,13; 81) 10,18; 10,21 — 2,8,22; 82) 10,19; 10,23 — 2,9,24; 83) 10,20 — 4,5,11; 84) 10,24 — 4,11,23; 85) 11,13 — 4,10,16; 86) 11,14 — 5,10,15; 87) 11,15 — 6,8,14; 88) 11,16 — 6,9,13; 89) 11,17 — 4,5,10; 90) 11,18 — 6,8,23; 91) 11,19; 11,22 — 6,9,21; 92) 11,21 — 4,10,22; 93) 11,23 — 5,10,24; 94) 12,17 — 7,21,23; 95) 12,18 — 7,21,24; 96) 12,19 — 7,22,23; 97) 12,20 — 7,22,24; 98) 4,5 — 8,9,10,11; 99) 13,14 — 8,9,10,12; 100) 13,15 — 8,10,11,25; 101) 13,23 — 2,8,10,25; 102) 13,24 —

4,8,10,12; 103) 14,16 — 9,10,11,25; 104) 14,21 — 2,9,10,25; 105) 14,22 — 5,9,10,12; 106) 15,16 —

8,9,11,12; 107) 15,21 — 4,8,11,12; 108) 15,22 — 6,8,11,25; 109) 16,23 — 5,9,11,12; 110) 16,24 —

6,9,11,25; 111) 21,23 — 2,8,9,12; 112) 21,24 — 4,7,10,11; 113) 22,23 — 5,7,10,11; 114) 22,24 —

6,8,9,12; 115) 2,11 — 4,5,8,9,10; 116) 6,10 — 4,5,8,9,11.

Для облегчения отбора совершенных фрагментов по отсутствующим в

группе суждениям представим перечисленные выше правила в виде перечня правил вывода для каждой содержательно полной пары суждений из таблицы 4: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

14;

17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;

15;

16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,107,112,115,116;

16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;

17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;

11,94,95,96,97,112,113;

19,24,27,42,44,46,48,51,52,54,55,56,57,58,59,67,68,69,74,76,77,81,87,90,98,99,100,

101, 102,106,107,108,111,114,115,116;

9. 19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99,103,

104,105,106,109,110,111,114,115, 116;

10. 12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99,100, 101,102,103,104,105,112,113,115;

11. 13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100,103, 106,107,108,109,110,112,113,116;

12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;

13. 4,25,28,53,56,80,88;

14. 3,25,30,52,64,79,87;

15. 2,28,33,57,65,78,86;

16. 1,30,33,63,69,77,85;

17. 21;

18. 20;

19. 20;

20. 21;

21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;

22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;

23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;

24. 7,26,32,36,55,66,76,82,93,95,97;

25. 10,100,101,103,104,108,110.

Результаты фильтрации массива из 242 групп содержательно полных суждений с помощью авто и взаимно порождающих правил представлены в таблице 5 и представляют собой всего две группы суждений, отмеченные в таблице 5 знаком «+», для которых в дальнейшем требуется произвести по­строение силлогистик, то есть выявить все их двухпосылочные законы.

Таблица 5

Отсутствующие в группе сужде­

ния

Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
1 1,2,3 1) 17 — 3
2 1,2,6 14) 17,18 — 1
3 1,2,7 14) 17,18 — 1
4 1,2,10 2) 11 — 10
5 1,2,11 3) 10 — 11
6 1,2,12 4) 7 — 12
7 1,2,17 14) 18,20 — 1
8 1,2,20 14) 17,18 —1
9 1,2,25 14) 17,18 — 1
10 1,3,6 1) 17 — 3
11 1,3,7 1) 17 — 3
12 1,3,10 1) 17 —3
13 1,3,11 1) 17 — 3
14 1,3,12 1) 17 — 3
15 1,3,17 1) 20 — 3
16 1,3,20 1) 17 — 3
17 1,3,25 1) 17 — 3
18 1,6,7 14) 17,18 — 1
19 1,6,10 2) 11 — 10
20 1,6,11 3) 10 — 11
21 1,6,12 4) 7 — 112
22 1,6,17 14) 18,20 — 1
23 1,6,20 14) 17,18 — 1
24 1,6,25 14) 17,18 — 1
25 1,7,10 2) 11 — 10
26 1,7,11 3) 10 — 11
27 1,7,12 4) 25 — 12
28 1,7,17 14) 18,20 — 1
29 1,7,20 14) 17,18 — 1
30 1,7,25 14) 17,18 — 1
31 1,10,11 2) 2 — 10
32 1,10,12 2) 11 — 10
33 1,10,17 2) 11 — 10
34 1,10,20 2) 11 — 10
35 1,10,25 2) 11 — 10
36 1,11,12 3) 10 — 11
37 1,11,17 3) 10 — 11
38 1,11,20 3) 10 — 11
39 1,11,25 3) 10 — 11
40 1,12,17 4) 7 — 12
41 1,12,20 4) 7 — 12
42 1,12,25 4) 7 — 12
43 1,17,20 +
44 1,17,25 10) 12,13 — 25
45 1,20,25 10) 12,13 — 25

Отсутствующие в группе сужде­

ния

Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
46 2,3,6 1) 1 > 3
47 2,3,7 1) 1 > 3
48 2,3,10 1) 1 > 3
49 2,3,11 1) 1 > 3
50 2,3,12 1) 1 > 3
51 2,3,17 1) 1> 3
52 2,3,20 1) 1 > 3
53 2,3,25 1) 1 > 3
54 2,6,7 17) 1,4 > 6
55 2,6,10 2) 11 > 10
56 2,6,11 3) 10 > 11
57 2,6,12 4) 25 > 12
58 2,6,17 17) 1,4 > 6
59 2,6,20 17) 1,4 > 6
60 2,6,25 17, 1,4 > 6
61 2,7,10 2) 11 > 10
62 2,7,11 3) 10 > 11
63 2,7,12 4) 25 > 12
64 2,7,17 11) 12,21 > 7
65 2,7,20 11) 12,21 > 7
66 2,7,25 11) 12,21 > 7
67 2,10,11 3) 6 > 11
68 2,10,12 2) 11 > 10
69 2,10,17 2) 11 > 10
70 2,10,20 2) 11 > 10
71 2,10,25 2) 11 > 10
72 2,11,12 3) 10 > 11
73 2,11,17 3) 10 > 11
74 2,11,20 3) 10 > 11
75 2,11,25 3) 10 > 11
76 2,12,17 4) 7 > 12
77 2,12,20 4) 7 > 12
78 2,12,25 4) 7 > 12
79 2,17,20 17) 1,4 > 2
80 2,17,25 17) 1,4 > 2
81 2,20,25 17) 1,4 > 2
82 3,6,7 1) 1 > 3
83 3,6,10 1) 1 > 3
84 3,6,11 1) 1 > 3
85 3,6,12 1) 1 > 3
86 3,6,17 1) 1 > 3
87 3,6,20 1) 1 > 3
88 3,6,25 1) 1 > 3
89 3,7,10 1) 1 > 3
90 3,7,11 1) 1 > 3
91 3,7,12 1) 1 > 3
92 3,7,17 1) 1 > 3

Отсутствующие в группе сужде­

ния

Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
93 3,7,20 1) 1 — 3
94 3,7,25 1) 1 — 3
95 3,10,11 1) 1 — 3
96 3,10,12 1) 1 — 3
97 3,10,17 1) 1 — 3
98 3,10,20 1) 1 — 3
99 3,10,25 1) 1 — 3
100 3,11,12 1) 1 — 3
101 3,11,17 1) 1 — 3
102 3,11,20 1) 1 — 3
103 3,11,25 1) 1 — 3
104 3,12,17 1) 1 — 3
105 3,12,20 1) 1 — 3
106 3,12,25 1) 1 — 3
107 3,17,20 1) 1 — 3
108 3,17,25 1) 1 — 3
109 3,20,25 1) 1 — 3
110 6,7,10 2) 11 — 10
111 6,7,11 3) 10 — 11
112 6,7,12 4) 25 — 12
113 6,7,17 17) 1,4 — 6
114 6,7,20 17) 1,4 — 6
115 6,7,25 17) 1,4 — 6
116 6,10,11 2) 2 — 10
117 6,10,12 2) 2 — 10
118 6,10,17 2) 2 — 10
119 6,10,20 2) 2 — 10
120 6,10,25 2) 11 — 10
121 6,11,12 3) 10 — 11
122 6,11,17 3) 10 — 11
123 6,11,20 3) 10 — 11
124 6,11,25 3) 10 — 11
125 6,12,17 4) 7 — 12
126 6,12,20 4) 7 — 12
127 6,12,25 4) 7 — 12
128 6,17,20 17) 1,4 — 6
129 6,17,25 17) 1,4 — 6
130 6,20,25 17) 1,4 — 6
131 7,10,11 2) 2 — 10
132 7,10,12 2) 2 — 10
133 7,10,17 2) 2 — 10
134 7,10,20 2) 2 — 10
135 7,10,25 2) 2 — 10
136 7,11,12 4) 25 — 12
137 7,11,17 3) 10 — 11
138 7,11,20 3) 10 — 11
139 7,11,25 3) 10 — 11

Отсутствующие в группе сужде­ния Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
140 7,12,17 4) 25 12
141 7,12,20 4) 25 12
142 7,12,25 112)21,24 7
143 7,17,20 21) 1,18 17
144 7,17,25 21) 1,18 17
145 7,20,25 10) 12,13 25
146 10,11,12 2) 2 ^10
147 10,11,17 2) 2 10
148 10,11,20 2) 2 10
149 10,11,25 2) 2 10
150 10,12,17 2) 2 10
151 10,12,20 2) 2 10
152 10,12,25 2) 2 10
153 10,17,20 2) 2 10
154 10,17,25 2) 2 10
155 10,20,25 2) 2 10
156 11,12,17 3) 10 11
157 11,12,20 3) 10 11
158 11,12,25 3) 10 11
159 11,17,20 3) 10 11
160 11,17,25 3) 10 11
161 11,20,25 3) 10 11
162 12,17,20 4) 7 12
163 12,17,25 4) 7 12
164 12,20,25 4) 7 12
165 17,20,25 10) 12,13 25
166 1,4,5 14) 17,18 1
167 1,8,9 3) 10 8
168 1,13,14 14) 17,18 1
169 1,15,16 14) 17,18 1
170 1,18,19 +
171 1,21,23 14) 17,18 1
172 1,22,24 14) 17,18 1
173 2,4,5 16) 1,6 4
174 2,8,9 3) 10 8
175 2,13,14 17) 1,4 2
176 2,15,16 17) 1,4 2
177 2,18,19 17) 1,4 2
178 2,21,23 17) 1,4 2
179 2,22,24 17) 1,4 2
180 3,4,5 15) 18,19 3
181 3,8,9 3) 10 8
182 3,13,14 15) 18,19 3
183 3,15,16 15) 18,19 3
184 3,18,19 20) 1,17 18
185 3,21,23 15) 18,19 3
186 3,212,24 15) 18,19 3

Отсутствующие в группе сужде­

ния

Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
187 6,4,5 41) 8,16 > 6
188 6,8,9 3) 10 > 8
189 6,13,14 41) 8,16 > 6
190 6,15,16 17) 1,4 > 6
191 6,18,19 17) 1,4 > 6
192 6,21,23 17) 1,4 >6
193 6,22,24 17) 1,4 > 6
194 7,4,5 11) 12,21 > 7
195 7,8,9 3) 10 > 8
196 7,13,14 11) 12,21 > 7
197 7,15,16 11) 12,21 > 7
198 7,18,19 11) 12,21 > 7
199 7,21,23 11) 12,21 > 7
200 7,22,24 11) 12,21 > 7
201 10,4,5 2) 11 > 10
202 10,8,9 2) 11 > 10
203 10,13,14 2) 11 > 10
204 10,15,16 2) 11 > 10
205 10,18,19 2) 11 > 10
206 10,21,23 2) 11 > 10
207 10,22,24 2) 11 > 10
208 11,4,5 3) 10 > 11
209 11,8,9 3) 10 > 11
210 11,13,14 3) 10 > 11
211 11,15,16 3) 10 > 11
212 11,18,19 3) 10 > 11
213 11,21,23 3) 10 > 11
214 11,22,24 3) 10 > 11
215 12,4,5 4) 7 > 12
216 12,8,9 4) 7 > 12
217 12,13,14 4) 7 > 12
218 12,15,16 4) 7 > 12
219 12,18,19 4) 7 > 12
220 12,21,23 4) 7 > 12
221 12,22,24 4) 7 > 12
222 17,4,5 21) 1,18 > 17
223 17,8,9 3) 10 > 8
224 17,13,14 21) 1,18 > 17
225 17,15,16 21) 1,18 > 17
226 17,18,19 21) 1,18 > 17
227 17,21,23 21) 1,18 > 17
228 17,22,24 21) 1,18 > 17
229 20,4,5 21) 1,18 > 20
230 20,8,9 3) 10 > 8
231 20,13,14 21) 1,18 > 20
232 20,15,16 21) 1,18 > 20
233 20,18,19 21) 1,17 > 18

Отсутствующие в группе сужде­

ния

Автопорождающее правило Взаимно по­рождающее правило Результат фильтрации
234 20,21,23 21) 1,18 — 20
235 20,22,24 21) 1,18 — 20
236 25,4,5 10) 12,13 — 25
237 25,8,9 3) 10 — 8
238 25,13,14 10) 12,16 — 25
239 25,15,16 10) 12,13 — 25
240 25,18,19 10) 12,13 — 25
241 25,21,23 10) 12,13 — 25
242 25,22,24 10) 12,13 — 25

Выводы

Указанные ниже фрагменты из 44 суждений №43:

2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14. и №170:

2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14. являются совершенными, поскольку обладают по построению свойствами содержательной и силлогисти­ческой полноты, а также силлогистической плотности и однозначности ре­зультатов.

Заключение

Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная инте­гральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит всего два совершенных силлогистических фрагмента из 44 суждений (см. таб­лицу 5). Такое малое количество совершенных фрагментов свидетельствует об исключительной уникальности подобных силлогистических систем. Большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко ис­пользуются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопределенности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем, например, более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовершенной традиционной силлогистики Аристотеля до более мощных со­вершенных систем, включающих в себя все его суждения, например, до совер­шенной негативной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана и позволяющей оперировать с отрицательными терминами [3], или до ещё более мощной со­вершенной интегральной силлогистической системы из 42 суждений, вклю­чающей в себя помимо суждений Аристотеля суждения У. Гамильтона с квантификацией предиката и акцидентальные суждения Н.А. Васильева [8], или, наконец, до совершенных интегральных силлогистик из 44 суждений, вы­явленных в настоящей публикации. Существуют ли другие совершенные сил­логистические системы, обладающие привлекательными для практики свой­ствами, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Со­временное слово, 1998. 448 с.

2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.

3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

5. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.

6. Sidorenko O. On the number of perfect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quasi-universal syllogistic // European multi science journal. №24, 2019. P. 40-51.

7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / Lingvo-science. №22, 2019. С. 14-27.

8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam.” №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.

9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.

10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.

11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41 -53.

12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Совре­менные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.

13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Моногра­фия. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.

2.12.

<< | >>
Источник: Логические исследования в интегральных силлогистиках: Монография /О.И. Сидоренко. - Саратов: Издательский Центр «Наука»,2020. - 360 с.. 2020

Еще по теме О числе совершенных фрагментов из 44 суждений в традиционной интегральной силлогистике: