О числе совершенных фрагментов из 6 суждений в традиционной интегральной силлогистике
Аннотация. Найдены все совершенные фрагменты из шести суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выявлены в них все правильные сильные модусы методом вычисления результирующих отношений, предложенным автором ранее.
Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
On the Number of Perfect Fragments from 6 Judgments in Traditional Integral Syllogistics
Abstract. All perfect fragments from six judgments in the traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics were found and all the correct strong modes were found in them by the method of calculating of the resulting relations proposed by the author earlier.
Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.
Введение
Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с гораздо большим разнообразием правильных модусов из них [2]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [3-6].
Указанный аналитический метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [7] без привлечения логики предикатов и назван автором семантическим методом вычисления результирующих отношений [8].Суть метода вычисления результирующих отношений
Согласно тезису Альфреда Тарского [9] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому
теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [10] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [11]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.
Таблица 1
Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений
S | 0 | 0 | 1 | 1 | Наименование отношения | Логическая формула отношения | |
P | 0 | 1 | 0 | 1 | |||
Номер отношения | 6 | 0 | 1 | 1 | 0 | Противоречивость | S'P+SP' |
7 | 0 | 1 | 1 | 1 | Дополнительность | S+P | |
9 | 1 | 0 | 0 | 1 | Равнообъемность | S’-P’+S-P | |
11 | 1 | 0 | 1 | 1 | Обратное включение | S+P' | |
13 | 1 | 1 | 0 | 1 | Прямое включение | S’+P | |
14 | 1 | 1 | 1 | 0 | Соподчинение | S'+P' | |
15 | 1 | 1 | 1 | 1 | Перекрещивание | S’P'+S’P+SP’+SP = 1 |
В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.
Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [12] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [13]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм
суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках
№ | Посылки SM, MP | Заключение SP | № | Посылки SM, MP | Заключение SP |
1 | 6, 6 | 9 | 26 | 11, 13 | 7,9,11,13,15 |
2 | 6, 7 | 13 | 27 | 11, 14 | 6,7,11,14,15 |
3 | 6, 9 | 6 | 28 | 11, 15 | 7,11,15 |
4 | 6, 11 | 14 | 29 | 13, 6 | 14 |
5 | 6, 13 | 7 | 30 | 13, 7 | 6,7,13,14,15 |
6 | 6, 14 | 11 | 31 | 13, 9 | 13 |
7 | 6, 15 | 15 | 32 | 13, 11 | 9,11,13,14,15 |
8 | 7, 6 | 11 | 33 | 13, 13 | 13 |
9 | 7, 7 | 7,9,11,13,15 | 34 | 13, 14 | 14 |
10 | 7, 9 | 7 | 35 | 13, 15 | 13,14,15 |
11 | 7, 11 | 6,7,11,14,15 | 36 | 14, 6 | 13 |
12 | 7, 13 | 7 | 37 | 14, 7 | 13 |
13 | 7, 14 | 11 | 38 | 14, 9 | 14 |
14 | 7, 15 | 7,11,15 | 39 | 14, 11 | 14 |
15 | 9, 6 | 6 | 40 | 14, 13 | 6,7,13,14,15 |
16 | 9, 7 | 7 | 41 | 14, 14 | 9,11,13,14,15 |
17 | 9, 9 | 9 | 42 | 14, 15 | 13,14,15 |
18 | 9, 11 | 11 | 43 | 15, 6 | 15 |
19 | 9, 13 | 13 | 44 | 15, 7 | 7,13,15 |
20 | 9, 14 | 14 | 45 | 15, 9 | 15 |
21 | 9, 15 | 15 | 46 | 15, 11 | 11,14,15 |
22 | 11, 6 | 7 | 47 | 15, 13 | 7,13,15 |
23 | 11, 7 | 7 | 48 | 15, 14 | 11,14,15 |
24 | 11, 9 | 11 | 49 | 15, 15 | 6,7,9,11,13,14,15 |
25 | 11, 11 | 11 |
Алгоритм вычисления результирующих отношений
Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпосылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:
1.
Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины Sи M,а во второй - Mи P,что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащей построению силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации SM-MP,соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [14].
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма
осуществляют взаимные замены отношений 11 13 в логической структуре
посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений A^A*, O^O*, IA^AI, (AI)'^(IA)', IO^OI, IO*^OI*, (IO)'^(OI)', (IO*)’^(OI*)’, A’II’^AA’I, AA’I’^AII’, (A’II)’^(AA’I)’, (AA’I)’^(AII)’, II’^I’I, (II')'^(I'I)'(для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.
Свойства силлогистических систем
При построении различных силлогистик методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства содержательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (обратного включения между терминами), и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для
первой фигуры силлогизма [15]. Свойство силлогистической плотности заключается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базисного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлогистической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами названы в работе [5] совершенными. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержащихся если не в универсальной протологике с предельно возможным числом суждений (128), то хотя бы в интегральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке. Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количества вариантов и громоздкими вычислениями.
Цель публикации
В данной публикации поставлена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из шести суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, представленным в таблице 3 [5].
Полученные в публикации результаты публикуются впервые.
Таблица 3
Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений
№ | Обозначение логической формы суждения | Логическая структура суждения | Логические формы суждения (одни из возможных) |
1 | AA’ | 6 | Все Sсуть все не P |
2 | A'I | 7 | Все не Sсуть (не суть) только некоторые P |
3 | AA | 9 | Все Sсуть все P |
4 | IA | 11 | Только некоторые Sсуть (не суть) все P |
5 | AI | 13 | Все Sсуть (не суть) только некоторые P |
6 | AI' | 14 | Все Sсуть (не суть) только некоторые не P |
7 | II'I | 15 | Только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P |
8 | A | 9, 13 | Всякие Sсуть P |
9 | A* | 9, 11 | Всякие не Sсуть не P |
10 | E | 6, 14 | Всякие Sне суть P |
11 | E* | 6, 7 | Всякие не Sне суть не P |
12 | AAA' | 6, 9 | Все Sсуть все Pили не P |
13 | A'II' | 7, 11 | Все не S суть (не суть) только некоторые Pили не P |
14 | AA'I | 7, 13 | Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P |
15 | AA'I' | 11, 14 | Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P |
№ | Обозначение логической формы суждения | Логическая структура суждения | Логические формы суждения (одни из возможных) |
16 | AII' | 13, 14 | Все S суть (не суть) только некоторые Pили не P |
17 | II | 7, 15 | Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P |
18 | II’ | 11, 15 | Только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P |
19 | I’I | 13, 15 | Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P |
20 | I’I’ | 14, 15 | Только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P |
21 | IO | 7, 11, 15 | Только некоторые Sсуть (не суть) P |
22 | IO* | 13, 14, 15 | Только некоторые не Sсуть (не суть) P |
23 | OI | 7, 13, 15 | Только некоторые Pсуть (не суть) S |
24 | OI* | 11, 14, 15 | Только некоторые не Pсуть (не суть) S |
25 | (AA’II’)’ | 6, 9, 15 | Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P |
26 | (IO)' | 6,9,13,14 | Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) P |
27 | (IO*)' | 6,7,9,11 | Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) P |
28 | (OI)' | 6,9,11,14 | Неверно, что только некоторые Pсуть (не суть) S |
29 | (OI*)' | 6,7,9,13 | Неверно, что только некоторые не Pсуть (не суть) S |
30 | AA’II’ | 7, 11, 13, 14 | Все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P |
31 | I=E’ | 7,9,11,13,15 | Неверно, что всякие Sне суть P (Некоторые или всякие Sсуть P) |
32 | I*=(E*)’ | 9,11,13,14,15 | Неверно, что всякие не Sне суть не P (Некоторые или всякие не Sсуть не P) |
33 | O=A’ | 6,7,11,14,15 | Неверно, что всякие Sсуть P (Некоторые или всякие Sсуть не P) |
34 | O*=(A*)’ | 6,7,13,14,15 | Неверно, что всякие не Sсуть не P (Некоторые или всякие не Sсуть P) |
35 | (AAA')' | 7,11,13,14,15 | Неверно, что все Sсуть все Pили не P |
36 | (A’II’)’ | 6,9,13,14,15 | Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые Pили не P |
37 | (AA’I)’ | 6,9,11,14,15 | Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые P |
38 | (AA’I’)’ | 6,7,9,13,15 | Неверно, что все Sили не Sсуть (не суть) только некоторые не P |
39 | (AII’)’ | 6,7,9,11,15 | Неверно, что все Sсуть ( не суть) только некоторые Pили не P |
40 | (II)' | 6,9,11,13,14 | Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые P |
41 | (II’)’ | 6,7,9,13,14 | Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) только некоторые не P |
42 | (I'I)' | 6,7,9,11,14 | Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые P |
43 | (I'I')' | 6,7,9,11,13 | Неверно, что только некоторые не Sсуть (не суть) только некоторые не P |
44 | (AA)' | 6,7,11,13,14,15 | Неверно, что все Sсуть все P |
№ | Обозначение логической формы суждения | Логическая структура суждения | Логические формы суждения (одни из возможных) |
45 | (AI)’ | 6,7,9,11,14,15 | Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые P |
46 | (IA)' | 6,7,9,13,14,15 | Неверно, что только некоторые Sсуть (не суть) все P |
47 | (AA')' | 7,9,11,13,14,15 | Неверно, что все Sсуть все не P |
48 | (A'I)' | 6,9,11,13,14,15 | Неверно, что все не Sсуть (не суть) только некоторые P |
49 | (AI')' | 6,7,9,11,13,15 | Неверно, что все Sсуть (не суть) только некоторые не P |
50 | (II'I)' | 6,7,9,11,13, 14 | Неверно, что только некоторые Sи не Sсуть (не суть) только некоторые P |
Ограничение перебора вариантов
Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фрагментов из 6 суждений требуется проанализировать около 16*10 6 случаев (число сочетаний из 50 по 6). Стоит попытаться ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из которых являются силлогистически полными. Для построения всех совершенных фрагментов из 6 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те тройки содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты (их число равно 242), и лишь для этих последних производить вычисления с целью выявления правильных модусов и фактов соблюдения остальных двух свойств. Нетривиальные правила такого сокращения перебора более компактно можно представить в следующем виде: 1,17,20 3; 2,11 8,9,10; 6,10 8,9,11; 7,25 12. При этом указанные тройки делятся на две группы: тройки содержательно полных пар суждений с одной силлогистически полной парой (их число равно С71 * С112 = 77) и тройки содержательно и силлогистически полных пар суждений (их число равно С113 = 165). В таблице 5 представлены все 242 случая.
Таблица 4
Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной интегральной силлогистике из 50 суждений
№ | Логические структуры суждений | Силло- гисти- ческая полнота | № | Логические структуры суждений | Силло- гисти- ческая полнота |
1 | AA'(6), (AA')'(7,9,11,13,14,15) | Есть | 14 | AA'I(7,13), (AA'I)'(6,9,11,14,15) | Нет |
2 | A'I(7), (A'I)'(6,9,11,13,14,15) | Есть | 15 | AA'I'(11,14), (AA’I’)’(6,7,9,13,15) | Нет |
3 | AA(9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) | Есть | 16 | AII'(13,14), (AII')'(6,7,9,11,15) | Нет |
№ | Логические структуры суждений | Силлогистическая полнота | № | Логические структуры суждений | Силло- гисти- ческая полнота |
4 | IA(11), (IA)'(6,7,9,13,14,15) | Нет | 17 | II(7,15), (II)'(6,9,11,13,14) | Есть |
5 | AI(13), (AI)'(6,7,9,11,14,15) | Нет | 18 | II'(11,15), (II')'(6,7,9,13,14) | Нет |
6 | AI'(14), (AI')'(6,7,9,11,13,15) | Есть | 19 | I'I(13,15), (I'I)'(6,7,9,11,14) | Нет |
7 | II'I(15), (II'I)'(6,7,9,11,13,14) | Есть | 20 | I'I'(14,15), (I'I')'(6,7,9,11,13) | Есть |
8 | A(9,13), A'(6,7,11,14,15) | Нет | 21 | IO(7,11,15), (IO)'(6,9,13,14) | Нет |
9 | A*(9,11), (A*)'(6,7,13,14,15) | Нет | 22 | IO*(13,14,15), (IO*)'6,7,9,11) | Нет |
10 | E(6,14), E'(7,9,11,13,15) | Есть | 23 | OI(7,,13,15), (OI)'(6,9,11,14) | Нет |
11 | E*(6,7), (E*)'(9,11,13,14,15) | Есть | 24 | OI*(11,14,15), (OI*)'(6,7,9,13) | Нет |
12 | AAA'(6,9), (AAA')'(7,11,13,14,15) | Есть | 25 | (AA'II)'(6,9,15), AA'II'(7,11,13,14) | Есть |
13 | A'II'(7,11), (A'II')'(6,9,13,14,15) | Нет | — | — | — |
Таблица 5
Силлогистически полные тройки содержательно полных пар суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений
№ | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 |
1 | 1,2,3 | 55 | 2,6,10 | 109 | 3,20,25 | 163 | 10,12,25 | 217 | 12,18,19 |
2 | 1,2,6 | 56 | 2,6,11 | 110 | 1,4,5 | 164 | 10,17,20 | 218 | 17,18,19 |
3 | 1,2,7 | 57 | 2,6,12 | 111 | 2,4,5 | 165 | 10,17,25 | 219 | 18,19,20 |
4 | 1,2,10 | 58 | 2,6,17 | 112 | 3,4,5 | 166 | 10,20,25 | 220 | 18,19,25 |
5 | 1,2,11 | 59 | 2,6,20 | 113 | 4,5,6 | 167 | 11,12,17 | 221 | 1,21,23 |
6 | 1,2,12 | 60 | 2,6,25 | 114 | 4,5,7 | 168 | 11,12,20 | 222 | 2,21,23 |
7 | 1,2,17 | 61 | 2,7,10 | 115 | 4,5,10 | 169 | 11,12,25 | 223 | 3,21,23 |
8 | 1,2,20 | 62 | 2,7,11 | 116 | 4,5,11 | 170 | 11,17,20 | 224 | 6,21,23 |
9 | 1,2,25 | 63 | 2,7,12 | 117 | 4,5,12 | 171 | 11,17,25 | 225 | 7,21,23 |
10 | 1,3,6 | 64 | 2,7,17 | 118 | 4,5,17 | 172 | 11,20,25 | 226 | 10,21,23 |
11 | 1,3,7 | 65 | 2,7,20 | 119 | 4,5,20 | 173 | 12,17,20 | 227 | 11,21,23 |
12 | 1,3,10 | 66 | 2,7,25 | 120 | 4,5,25 | 174 | 12,17,25 | 228 | 12,21,23 |
13 | 1,3,11 | 67 | 2,10,11 | 121 | 6,7,10 | 175 | 12,20,25 | 229 | 17,21,23 |
14 | 1,3,12 | 68 | 2,10,12 | 122 | 6,7,11 | 176 | 17,20,25 | 230 | 20,21,23 |
15 | 1,3,17 | 69 | 2,10,17 | 123 | 6,7,12 | 177 | 1,8,9 | 231 | 21,23,25 |
16 | 1,3,20 | 70 | 2,10,20 | 124 | 6,7,17 | 178 | 2,8,9 | 232 | 1,22,24 |
17 | 1,3,25 | 71 | 2,10,25 | 125 | 6,7,20 | 179 | 3,8,9 | 233 | 2,22,24 |
18 | 1,6,7 | 72 | 2,11,12 | 126 | 6,7,25 | 180 | 6,8,9 | 234 | 3,22,24 |
№ | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 | № | Номера троек суждений из табл. 4 |
19 | 1,6,10 | 73 | 2,11,17 | 127 | 6,10,11 | 181 | 7,8,9 | 235 | 6,22,24 |
20 | 1,6,11 | 74 | 2,11,20 | 128 | 6,10,12 | 182 | 8,9,10 | 236 | 7,22,24 |
21 | 1,6,12 | 75 | 2,11,25 | 129 | 6,10,17 | 183 | 8,9,11 | 237 | 10,22,24 |
22 | 1,6,17 | 76 | 2,12,17 | 130 | 6,10,20 | 184 | 8,9,12 | 238 | 11,22,24 |
23 | 1,6,20 | 77 | 2,12,20 | 131 | 6,10,25 | 185 | 8,9,17 | 239 | 12,22,24 |
24 | 1,6,25 | 78 | 2,12,25 | 132 | 6,11,12 | 186 | 8,9,20 | 240 | 17,22,24 |
25 | 1,7,10 | 79 | 2,17,20 | 133 | 6,11,17 | 187 | 8,9,25 | 241 | 20,22,24 |
26 | 1,7,11 | 80 | 2,17,25 | 134 | 6,11,20 | 188 | 1,13,14 | 242 | 22,24,25 |
27 | 1,7,12 | 81 | 2,20,25 | 135 | 6,11,25 | 189 | 2,13,14 | — | — |
28 | 1,7,17 | 82 | 3,6,7 | 136 | 6,12,17 | 190 | 3,13,14 | — | — |
29 | 1,7,20 | 83 | 3,6,10 | 137 | 6,12,20 | 191 | 6,13,14 | — | — |
30 | 1,7,25 | 84 | 3,6,11 | 138 | 6,12,25 | 192 | 7,13,14 | — | — |
31 | 1,10,11 | 85 | 3,6,12 | 139 | 6,17,20 | 193 | 10,13,14 | — | — |
32 | 1,10,12 | 86 | 3,6,17 | 140 | 6,17,25 | 194 | 11,13,14 | — | — |
33 | 1,10,17 | 87 | 3,6,20 | 141 | 6,20,25 | 195 | 12,13,14 | — | — |
34 | 1,10,20 | 88 | 3,6,25 | 142 | 7,10,11 | 196 | 13,14,17 | — | — |
35 | 1,10,25 | 89 | 3,7,10 | 143 | 7,10,12 | 197 | 13,14,20 | — | — |
36 | 1,11,12 | 90 | 3,7,11 | 144 | 7,10,17 | 198 | 13,14,25 | — | — |
37 | 1,11,17 | 91 | 3,7,12 | 145 | 7,10,20 | 199 | 1,15,16 | — | — |
38 | 1,11,20 | 92 | 3,7,17 | 146 | 7,10,25 | 200 | 2,15,16 | — | — |
39 | 1,11,25 | 93 | 3,7,20 | 147 | 7,11,12 | 201 | 3,15,16 | — | — |
40 | 1,12,17 | 94 | 3,7,25 | 148 | 7,11,17 | 202 | 6,15,16 | — | — |
41 | 1,12,20 | 95 | 3,10,11 | 149 | 7,11,20 | 203 | 7,15,16 | — | — |
42 | 1,12,25 | 96 | 3,10,12 | 150 | 7,11,25 | 204 | 15,16,10 | — | — |
43 | 1,17,20 | 97 | 3,10,17 | 151 | 7,12,17 | 205 | 15,16,11 | — | — |
44 | 1,17,25 | 98 | 3,10,20 | 152 | 7,12,20 | 206 | 15,16,12 | — | — |
45 | 1,20,25 | 99 | 3,10,25 | 153 | 7,12,25 | 207 | 15,16,17 | — | — |
46 | 2,3,6 | 100 | 3,11,12 | 154 | 7,17,20 | 208 | 15,16,20 | — | — |
47 | 2,3,7 | 101 | 3,11,17 | 155 | 7,17,25 | 209 | 15,16,25 | — | — |
48 | 2,3,10 | 102 | 3,11,20 | 156 | 7,20,25 | 210 | 1,18,19 | — | — |
49 | 2,3,11 | 103 | 3,11,25 | 157 | 10,11,12 | 211 | 2,18,19 | — | — |
50 | 2,3,12 | 104 | 3,12,17 | 158 | 10,11,17 | 212 | 3,18,19 | — | — |
51 | 2,3,17 | 105 | 3,12,20 | 159 | 10,11,20 | 213 | 6,18,19 | — | — |
52 | 2,3,20 | 106 | 3,12,25 | 160 | 10,11,25 | 214 | 7,18,19 | — | — |
53 | 2,3,25 | 107 | 3,17,20 | 161 | 10,12,17 | 215 | 10,18,19 | — | — |
54 | 2,6,7 | 108 | 3,17,25 | 162 | 10,12,20 | 216 | 11,18,19 | — | — |
Примеры вычислений (для первой фигуры силлогизма)
Фрагмент силлогистики №1: 1,2,3 (см. таблицу 5).
AA’(6), A’I(7), AA(9), (AA')'(7,9,11,13,15), (A'I)'(6,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15).
AA'(6), A'I(7) —;
6,7 13;
P.O.: 13-таких суждений в базисном множестве суждений данного фрагмента силлогистики нет, следовательно, силлогистика из 6 суждений, соответствующая фрагменту №1, не является совершенной.
Фрагмент силлогистики №14: 1,3,12 (см. таблицу 5)
AA’(6), AA(9), AAA’(6,9), (AA’)’(7,9,11,13,14,15), (AA)’(6,7,11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15).
1) AA '(6), AA '(6) AA (9);
6,6 — 9;
P.O.: 9.
2) AA '(6), AA(9) AA '(6);
6.9 — 6;
P.O.: 6.
3) AA' (6), AAA' (6,9) AAA '(6,9);
6.6 — 9; 6,9 — 6;
P.O.: 6, 9.
4) AA'(6), (AA')'(7,9,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15);
6.7 — 13; 6,9 — 6; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;
P.O.: 6,7,11,13,14,15.
5) AA'(6), (AA)'(6,7,11,13,14,15) (AA')'(7,9,11,13,14,15);
6.6 — 9; 6,7 — 13; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;
P.O.: 7,9,11,13,14,15.
6) AA'(6), (AAA')'(7,11,13,14,15) (AAA')'(7,11,13,14,15);
6.7 — 13; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;
P.O.: 7,11,13,14,15.
7) AA (9), AA' (6) AA' (6);
9,6 - 6;
P.O.: 6.
8) AA (9), AA (9) AA (9);
9.9 - 9;
P.O.: 9.
9) AA(9), AAA '(6,9) AAA '(6,9);
9.6 — 6; 9,9 — 9;
P.O.: 6,9.
10) AA(9), (AA')'(7,9,11,13,14,15) (AA')'(7,9,11,13,14,15);
9.7 — 7; 9,9 — 9; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;
P.O.: 7,9,11,13,14,15.
11) AA(9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) (AA)'(6,7,11,13,14,15);
9.6 — 6; 9,7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;
P.O.: 6,7,11,13,14,15.
12) AA(9), (AAA')'(7,11,13,14,15) (AAA')'(7,11,13,14,15);
9.7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;
P.O.: 7,11,13,14,15.
13) AAA' (6,9), AA '(6) AAA '(6,9);
6,6 — 9; 9,6 — 6;
P.O.: 6,9.
14) AAA' (6,9), AA (9) AAA '(6,9);
6.9 — 6; 9,9 — 9;
P.O.: 6,9.
15) AAA' (6,9), AAA '(6, 9) AAA '(6,9);
6.6 — 9; 6,9 — 6; 9,6 — 6; 9,9 — 9;
P.O.: 6,9.
16) AAA’ (6,9), (AA')'(7,9,11,13,14,15) —
6.7 — 13; 6,9 — 6; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 — 11; 6,15 — 15;
9.7 — 7; 9,9 — 9; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
17) AAA'(6,9), (AA)'(6,7,11,13,14,15) —
6.6 — 9; 6,7 — 13; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,14 —11; 6,15 — 15;
9.6 — 6; 9,7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
18) AAA'(6,9), (AAA')'(7,11,13,14,15) (AAA')'(7,11,13,14,15);
6.7 - 13; 6,11 - 14; 6,13 - 7; 6,14 - 11; 6,15 - 15;
9.7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,14 — 14; 9,15 — 15;
P.O.: 7,11,13,14,15.
19) (AA')'(7,9,11,13,14,15), AA'(6) (AA)'(6,7,11,13,14,15);
7,6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.
20) (AA')'(7,9,11,13,14,15), AA (9) (AA')'(7,9,11,13,14,15);
7,9 — 7; 9,9 — 9; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
21) (AA')'(7,9,11,13,14,15), AAA’(6,9) —
7.6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;
7.9 — 7; 9,9 — 9; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
22) (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) — —;
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15;
23) (AA')’(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) — —;
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
24) (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15) —
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
25) (AA)'(6,7,11,13,14,15), AA'(6) (AA')'(7,9,11,13,14,15)
6.6 — 9; 7,6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15; P.O.: 7,9,11,13,14,15.
26) (AA)'(6,7,11,13,14,15), AA(9) (AA)'(6,7,11,13,14,15);
6.9 — 6; 7,9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15; P.O.: 6,7,11,13,14,15.
27) (AA)’(6,7,11,13,14,15), AAA’(6,9) — —;
6.6 — 9; 7,6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;
6.9 — 6; 7,9 — 7; 11,9 — 11;13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
28) (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) —
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
29) (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15) —
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
30) (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AAA’)' (7,11,13,14,15) —
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
31) (AAA ')'(7,11,13,14,15), AA '(6) (AAA ')'(7,11,13,14,15);
7.6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15; P.O.: 7,11,13,14,15.
32) (AAA')'(7,11,13,14,15), AA(9) (AAA')'(7,11,13,14,15);
7.9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15;
P.O.: 7,11,13,14,15.
33) (AAA ')'(7,11,13,14,15), AAA '(6,9) (AAA') '(7,11,13,14,15);
7,6 — 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 14,6 — 13; 15,6 — 15;
7,9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 14,9 — 14; 15,9 — 15;
P.O.: 7,11,13,14,15.
34) (AAA')'(7,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) — —;
15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
35) (AAA')'(7,11,13,14,15), (AA)’(6,7,11,13,14,15) — —;
15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
36) (AAA') '(7,11,13,14,15), (AAA') '(7,11,13,14,15) — —;
15,15 - 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
Выводы
Силлогистика из 6 суждений, соответствующая фрагменту №14, является совершенной, поскольку обладает свойствами содержательной и силлогистической полноты по построению и свойствами силлогистической плотности и однозначности по результатам построения.
Результаты вычислений по выявлению правильных сильных модусов совершенных фрагментов в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений сведены в таблицу 6. Правильные модусы представлены в общепринятой форме.
Таблица 6
Правильные сильные модусы совершенных фрагментов из 6 суждений
в традиционной интегральной силлогистике из 50 суждений
Номер тройки из табл. 5 | Логические формы базисных суждений совершенного фрагмента силлогистики | Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики | Общее число правильных модусов |
14 (1,3,12) | AA'(6), AA(9), AAA'(6,9), (AA')'(7,9,11,13,14,15), (AA)'(6,7,11,13,14,15), (AAA')'(7,11,13,14,15) | AA',AA',AA; AA,AA',AA'; AAA',AA',AAA'; (AA')',AA',(AA)'; (AA)',AA',(AA')'; (AAA')',AA',(AAA')'; AA',AA,AA'; AA,AA,AA; AAA',AA,AAA'; (AA')',AA, (AA')'; (AA)',AA,(AA)'; (AAA')',AA,(AAA')'; AA',AAA',AAA'; AA,AAA',AAA'; AAA',AAA',AAA'; (AAA')',AAA',(AAA')'; AA',(AA')',(AA)'; AA,(AA')',(AA')'; AA',(AA)',(AA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA',(AAA')',(AAA')'; AA,(AAA')',(AAA)'; AAA',(AAA')',(AAA')' | 23x4=92 |
Номер тройки из табл. 5 | Логические формы базисных суждений совершенного фрагмента силлогистики | Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики | Общее число правильных модусов |
91 (3,7,12) | AA(9), II’I(15), AAA’(6,9), (AA)’(6,7,11,13,14,15), (II’I)’(6,7,9,11,13,14), (AAA’)’(7,11,13,14,15) | AAA',II'I,II'I; AA,AA,AA; II'I,AA,II'I; AAA’,AA,AAA’; (AA)’,AA,(AA)’; II'I,AA,(II'I)'; (AAA')',AA,(AAA')'; AA,II'I,II'I; (II'I)',II'I,(AAA')'; AA,AAA',AAA'; II'I,AAA',II'I; AAA',AAA',AAA'; (II'I)',AAA',(II'I)'; (AAA'),'AAA',(AAA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(II'I)',(II'I)'; II'I,(II'I),'(AAA')'; AAA',(II'I)',(II'I)'; AA,(AAA')',(AAA')'; AAA',(AAA')',(AAA')' | 20*4=80 |
106 (3,12,25) | AA(9), AAA’(6,9), (AA’II’)’(6,9,15), (AA)’(6,7,11,13,14,15), (AAA’)’(7,11,13,14,15), AA’II’(7,11,13,14) | AA,AA,AA; AAA',AA,AAA'; (AA'II')',AA,(AA'II')'; (AA)',AA,(AA)' (AAA')',AA,(AAA')'; AA'II',AA,AA'II'; AA,AAA',AAA'; AAA',AAA',AAA'; (AA'II')',AAA',(AA'II')'; (AAA')',AAA',(AAA')'; AA'II',AAA',AA'II'; AA,(AA'II')',(AA'II')'; AAA', (AA'II')',(AA'II')'; AA'II',(AA'II')',(AAA')'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(AAA')',(AAA')'; AAA',(AAA')',(AAA')'; AA,AA'II',AA'II'; AAA',AA'II',AA'II'; (AA'II')',AA'II',(AAA')' | 20*4=80 |
107 (3,17,20) | AA(9), II(7,15), I’I’(14,15), (AA)’(6,7,11,13,14,15), (II)’(6,9,11,13,14), (I’I’)’(6,7,9,11,13) | AA,AA,AA; II,AA,II; I'I',AA,I'I'; (AA)',AA,(AA)'; (II)',AA,(II)'; (I'I')',AA,(I'I')'; AA,II,II; (II)',II,(AA)'; AA,I'I',I'I'; (I'I')',I'I',(AA)'; AA,(AA)',(AA)'; AA,(II)',(II)'; II,(II)',(AA)'; AA,(I'I')',(I'I')'; I'I',(I'I')',(AA)' | 15*4=60 |
153 (7,12,25) | II’I(15), AAA’(6,9), AA’II’(6,9,15), (II’I)’(6,7,9,11,13,14), (AAA’)’(7,11,13,14,15), AA’II’(7,11,13,14) | (II’I)',II'I,(AAA')'; AAA’,II’I,II’I; (AA'II')',II'I,(AAA')'; II'I,(II'I)',(AAA')'; AAA',(II'I)',(II'I)'; II'I,AAA',II'I; (II'I)',AAA',(II'I)'; AAA',AAA',AAA'; (AAA')',AAA',(AAA')'; AA'II',AAA',AA'II'; (AA'II')',AAA',(AA'II')'; AAA',(AAA')',(AAA')'; AAA',AA'II',AA'II'; (AA'II')',AA'II',(AAA')'; II'I,(AA'II')',(AAA')'; AAA',(AA'II')',(AA'II')'; AA'II',(AA'II')',(AAA')'. | 17*4=68 |
Номер тройки из табл. 5 | Логические формы базисных суждений совершенного фрагмента силлогистики | Правильные модусы совершенного фрагмента силлогистики | Общее число правильных модусов |
212 (3,18,19) | II'(11,15), I'I(13,15), AA(9), (II')'(6,7,9,13,14), (I'I)'(6,7,9,11,14), (AA)'(6,7,11,13,14,15) | AA,II’II’; (I’I) ',II', (AA)'; AA,I'I,I'I; (II')',I'I,(AA)'; II',AA,II'; I'I,AA,I'I; AA,AA,AA; (II')',AA,(II')'; (I'I)',AA,(I'I)'; (AA)',AA,(AA)'; I'I,(II')',(AA)'; AA,(II')',(II')'; II',(I'I)',(AA)'; AA,(I'I)',(I'I)'; AA,(AA)',(AA)' | 15*4=60 |
Заключение
Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений содержит всего 5 совершенных силлогистических фрагментов из 6 суждений, среди которых нет ни одного суждения Аристотеля. Однако большим преимуществом суждений Аристотеля является то, что они более широко используются в естественном языке и человеческой практике и покрывают по степени неопределенности суждений несколько другую область дедуктивных выводов, чем более определенные атомарные суждения Дж. Венна. Поэтому развитие логики, по мнению автора, должно состоять в расширении несовершенной традиционной силлогистики Аристотеля до более мощной совершенной системы, включающей в себя все его суждения, например, до совершенной негативной силлогистики из 8 суждений А. де Моргана, включающей в себя все суждения Аристотеля и позволяющей работать с отрицательными терминами [3], или до ещё более мощной совершенной интегральной силлогистической системы из 42 суждений, включающей в себя помимо суждений Аристотеля суждения У. Гамильтона с квантификацией предиката и акцидентальные суждения Н.А. Васильева [4]. Существуют ли другие совершенные силлогистические системы, обладающие привлекательными для практики свойствами, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.
Список литературы
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.
3. Сидоренко О.И. О подтверждении и развитии силлогистических результатов Аристотеля семантическим методом вычисления результирующих отношений // Архивариус. Выпуск 7 (23). Т. 2. Киев, 2017. С. 61-73.
4. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal “Fundamentalis scien- tiam”. №25. Vol. 1, 2018. P. 51-63.
5. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.
6. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.
7. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.
8. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
9. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.
10. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.
11. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
12. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.
13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.
14. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.
15. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов междунар. научн. конф.: в 12 т. Т. 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. С. 120-129.
2.4.