Об особой роли суждений Аристотеля-А. де Моргана в традиционной интегральной силлогистике

Аннотация. В подразделе представлено обоснование того факта, почему категориче­ские суждения с семантикой Аристотеля выдержали испытание временем и утвердились в силлогистике. Указанное обоснование основано на анализе правил логического вывода из суждений традиционной интегральной силлогистики, полученных автором семанти­ческим методом решения силлогизмов путем вычисления результирующих отношений.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, совершенный фрагмент силлогистики, построение силлогистик.

About the Special Role of Judgments of Aristotle-A. De Morgan in Traditional Integral Syllogistics

Abstract. The subsection presents the justification of the fact why, categorical judgments with the semantics of Aristotle have stood the test of time and have established themselves in syl­logistics. The specified justification is based on the analysis of the rules of logical inference from the judgments of traditional integral syllogistics obtained by the author by the semantic method for solving syllogisms by calculating the resulting relations.The prospects for further research are determined.

Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, perfect fragment of syllogistic, constructing syllogistics.

Введение

Ассерторическая (немодальная) силлогистика Аристотеля была создана великим греческим мыслителем около 2500 лет назад как исторически первый раздел науки логики, посвященный дедукции в рассуждениях из категорических суждений о свойствах предметов. Аристотель сделал первый и самый значи­тельный шаг к формализации силлогистики, заменив конкретные термины в суждениях буквами и введя в рассмотрение следующие логические формы ка­тегорического суждения с квантификацией субъекта [1]:

A- Все S'суть P- общеутвердительное суждение;

E- Ни один Sне есть P- общеотрицательное суждение;

I - Некоторые Sсуть P- частноутвердительное суждение;

O- Некоторые Sне суть P- частноотрицательное суждение, где

S- субъект, P- предикат суждения.

В своих суждениях Аристотель принял интерпретацию кванторного слова «все» в разделительном смысле как «всякие», а кванторного слова «не­которые» в неисключающем смысле как «некоторые или все» и ввел понятие силлогизма как опосредованного умозаключения из двух посылок-суждений, связанных общим средним термином. Среди всех возможных силлогизмов Аристотель выделил важные для практики дедуктивных выводов правильные силлогизмы, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с

необходимостью, то есть при любых конкретных терминах. С помощью не­формального метода отбраковки правильных модусов приведением контрпри­меров и сведением правильных модусов других фигур силлогизма к модусам первой фигуры удалось выявить среди 256 возможных модусов силлогизма 19 сильных правильных модусов, которые оказались распределенными по четырем фигурам силлогизма неравномерно. В современной силлогистической теории сложилось представление, что одной единственно возможной силлогистики не существует и что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпретацией смыслов категорических суждений и с большим разнообразием правильных модусов из них. В интегральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с различной семантикой, к которым можно отнести суждения Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана, Н.А. Васильева и другие [2].

При построении традиционных интегральных силлогистик (то есть сил- логистик с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) предложенным автором семантическим методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для дедукции из суждений с различной се­мантикой свойства силлогистических систем: свойства содержательной и сил­логистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и одно­значности результатов [3]. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание.

Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами, названы в работе [4] совершенными. Отметим, что традиционная силлогистика из суждений Аристотеля не является совершенной, поскольку не обладает двумя свойствами из четырех, а именно: свойством силлогистической полноты и свойством силлогистической плотности результатов. Из-за отсутствия первого свойства правильные сильные модусы в силлогистике Аристотеля распреде­лены по четырем фигурам силлогизма неравномерно, что затрудняет дедук­тивные выводы в силлогистике, а из-за отсутствия второго - в силлогистике имеются пропуски модусов, которые могли бы быть правильными («силлоги­стические дыры»).

Постановка задачи

В таблице 1 представлены 50 различных по структуре и логической форме суждений и возникает естественный вопрос: что особенного имеется в содер­жательно полных парах суждений 8 и 10 из указанной таблицы по сравнению с другими, чтобы они стали основой первой в истории логики силлогистической системы? Целью настоящей публикации является ответ автора на этот вопрос, который интересовал многих исследователей.

Таблица 1

Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений

Метод исследования

Для отбраковки совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики с представленным в таблице 1 базисным множеством в виде пе­речисления 25 содержательно полных пар суждений автором были получены 252 нетривиальных взаимно порождающих правила вывода из них [5] , анализ ко­торых и дает ответ на поставленный выше вопрос.

Таблица 2

Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике

Результаты исследования

Назовем продуктивностью содержательно полной пары суждений число разных по структуре содержательно полных пар суждений, порождаемых пра­вилами вывода таблицы 2 с посылками, содержащими данную пару суждений. В таблице 3 представлены данные по продуктивности содержательно полных пар суждений, полученные путем анализа правил вывода.

Таблица 3

Данные по продуктивности содержательно полных пар суждений традиционной интегральной силлогистики

Анализ данных таблицы 3 показывает, что все суждения, за исключением пары с номером 3, обладают примерно одинаковой продуктивностью и что 21 содержательно полная пара суждений из 25 возможных участвует в выводе суждений Аристотеля.

Под порождаемостью содержательно полной пары суждений будем пони­мать число нетривиальных взаимно порождающих правил вывода, результатом которых является данная пара. Ниже в порядке увеличения представлены ре­зультаты подсчета порождаемости каждой из 25 содержательно полных пар суждений традиционной интегральной силлогистики, откуда следует, что по параметру порождаемости содержательно полные пары суждений делятся на 9 классов.

3 - 1 - обще-общее суждение Гамильтона;

17,18,19,20 - 2 - частно-частные суждения Гамильтона;

1 - 4 - обще-общее суждение Теофраста;

7,25 -10 - суждения с квантификацией предиката и сложными

терминами;

13,14,15,16 - 15 - обще-частные суждения со сложными терминами; 2,4,5,6 - 21 - обще-частные и частно- общие суждения Гамильтона;

21,22,23,24 - 29 - суждения Н.А. Васильева;

12 - 41 - обще-общее суждение со сложными терминами;

8,9,10,11 - 66 - суждения Аристотеля-А. де Моргана.

Из анализа полученных данных следует первый важный вывод: суждения Аристотеля-А. де Моргана (пары 8,9,10,11) обладают наивысшей порождаемо­стью среди суждений традиционной интегральной силлогистики, при этом из 252 правил 110 порождают суждения Аристотеля (пары 8,10) и ещё 52 правила порождают близкие по форме суждения А. де Моргана (пары 9,11). Второй важный вывод состоит в том, что класс суждений Аристотеля-А. де Моргана замкнут относительно операций логического следования, чем не обладает ни один из остальных указанных выше классов. В самом деле, определим по таблице 2 все возможные выводы из содержательно полных пар суждений

некоторых из 9 выделенных классов. Для класса из суждений Аристотеля- А де Моргана имеем: 8,9 10,11; 8,10 9,11; 8,11 9,10; 9,10 8,11;

9,11 8,10; 10,11 8,9. Результатом вывода являются все суждения Аристо-

теля-А. де Моргана и только они. Для класса из суждений Н.А. Васильева имеем: 21,22 —; 21,23 2,8,9,12; 21,24 4,7,10,11; 22,23 5,7,10,11; 22,24

6,8,9,12; 23,24 —. Результат вывода не содержит ни одного суждения

Н.А. Васильева, что свидетельствует о не замкнутости класса из этих суждений. То же самое можно сказать и о не порождающих себя частно-частных суждениях Гамильтона: 17,18 1; 17,19 1; 17,20 —; 18,19 3; 18,20 1; 19,20 1

или об обще-частных суждениях Гамильтона: 2,4 8,10,11; 2,5 9,10,11;

2,6 4,5; 4,5 8,9,10,11; 4,6 8,10,11; 5,6 9,10,11, или об обще -частных

суждениях со сложными терминами: 13,14 8,9,10,12; 13,15 8,10,11,25;

13,16 —; 14,15 —; 14,16 9, 10,11,25; 15,16 8,9,11,12.

Выводы

Таким образом, поразительная интуиция Аристотеля позволила ему вы­брать из большого числа возможных логических форм суждений для построения своей силлогистики именно эти две содержательно полные пары суждений с номерами 8 и 10, которые имеют простое выражение их смысла на естественном языке и к которым, как оказалось, сводятся дедуктивные выводы из суждений других форм. Отметим, что приведенные выше вычисления могут служить ис­ходным материалом для построения полной диаграммы дедукции в традици­онной интегральной силлогистике, что ещё предстоит сделать в дальнейшем.

Заключение

Учитывая высокие показатели порождаемости суждений Аристотеля при сравнимости показателей продуктивности с другими суждениями, а также то, что класс суждений Аристотеля-А. де Моргана является единственным классом суждений в традиционной интегральной силлогистике, который замкнут отно­сительно операции порождения правильных модусов (что позволяет ограни­читься только этими суждениями), стратегия дальнейшего развития логики должна, по мнению автора, состоять не в замене этих суждений на другие, а в расширении несовершенного класса суждений Аристотеля до совершенного класса, включающего в себя этот класс. Например, в качестве подобного рас­ширения силлогистики Аристотеля могут служить соответствующие совер­шенные фрагменты традиционной интегральной силлогистики, выявленные в работе [6]. Попытки создания силлогистик, альтернативных аристотелевской, предпринимали многие ученые, но их ошибка состояла в том, что они исключали суждения Аристотеля из своей силлогистики, а без суждений Аристотеля практически эффективные совершенные силлогистики построить невозможно. Так Уильям Гамильтон использовал суждения с квантификацией предиката, в которых кванторные слова «все» и «некоторые» использовались в строгом

смысле [7]. У Гамильтона имеется 8 суждений (содержательно полные пары 3,4,5,17 из таблицы 1) в основном с меньшей степенью неопределенности по сравнению с общими суждениями Аристотеля, обладающие как содержатель­ной, так и силлогистической полнотой, но не обладающие силлогистической плотностью и однозначностью результатов. Число правильных модусов в первой фигуре силлогизма равно у Гамильтона по данным работы [8] 36 (по результатам реконструкции, проведенной в работе [9] с помощью метода вычисления ре­зультирующих отношений, в силлогистике У. Гамильтона имеется по 35 пра­вильных модусов в каждой фигуре силлогизма). По мнению известного отече­ственного ученого Я.А. Слинина силлогистику У. Гамильтона губит так назы­ваемая «глобальная информативность» [10]. « Куда годится такая необозримая силлогистика?» спрашивает Я.А. Слинин и продолжает: « И действительно, силлогистика Гамильтона мало кому известна, а компактную и изящную сил­логистику Аристотеля люди знали, изучали и применяли на практике в течение без малого двух с половиной тысячелетий. Её изучаем, ею пользуемся и мы. Значит, Аристотель был прав, вводя в логику свои неопределенности и удачно их используя». Здесь ключевым словом, думается, является слово «люди». В наш век информатики, всеобщей цифровизации и искусственного интеллекта ситу­ация резко меняется. Большое число правил вывода и необозримое количество правильных модусов уже не представляют проблемы, и в автоматизированных системах и робототехнике могут найти применение и другие, неаристоте­левские силлогистики, в том числе являющиеся совершенными расширениями последней. В наше время уже не требуется знать все правильные модусы прак­тически бесчисленных силлогистик, а достаточно просто уметь вычислять за­ключения из любых суждений с произвольной семантикой подобно тому, как мы вычисляем результат умножения многоразрядных чисел, минуя громоздкие промежуточные таблицы умножения для нужного числа разрядов. Эффектив­ным инструментом для подобных вычислений может служить использую­щийся в публикации метод, предложенный автором ранее и основанный на вычислении результирующих отношений.

Список литературы

1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Совре­менное слово, 1998. 448 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс- Традиция, 2010. 336 с.

3. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов в традиционной ин­тегрированной силлогистике с различной семантикой суждений / О.И. Сидо­ренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф.: в 11 т. Т. 1 / Под ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 100-107.

4. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силло­гистики /О.И. Сидоренко // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.

5. Сидоренко О.И. О правилах вывода для выявления совершенных фраг­ментов традиционной интегральной силлогистики / О.И. Сидоренко // Матема­тические методы в технике и технологиях: Сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т. 12: в 3 ч. Ч. 3 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. С. 43-48.

6. Сидоренко О.И. О результатах выявления совершенных фрагментов традиционной интегральной силлогистики / О.И. Сидоренко // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. междунар. науч. конф. В 12 т. Т. 1 / Под общей ред. А.А. Большакова. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2020. С. 49-56.

7. Кузичева З.А. Математическая логика / З.А. Кузичева // Математика ХІХ века. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М.: Изд-во «Наука», 1978. С. 11-38.

8. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Изд-во «Наука», 1967. 508 с.

9. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

10. Слинин Я.А. Логический синтаксис Аристотеля // Логико-философские штудии. Том 11. (№1). М., 2013. С. 24-40.

2.17.