ВВЕДЕНИЕ. ЧТО ЕСТЬ СИЛЛОГИСТИКА

Ассерторическая (немодальная) силлогистика - раздел логики (науки о правильных рассуждениях), занимающийся изучением дедукции в рассуждениях из категорических суждений, то есть гарантированного логического следования из суждений о свойствах (атрибутах) предметов (атрибутивных суждений), о которых можно сказать, истинны они или ложны без каких-либо условий, и в которых различается субъектно-предикатная форма.

Классический пример категорического суждения:

«Все люди смертны», «люди» - субъект, «смертны» - предикат, «все» - кванторное слово субъекта, «суть» («есть» для единственного числа) - предицирующая связка (подразумевается).

Традиционная силлогистика из суждений Аристотеля

Великий древнегреческий ученый Аристотель (Стагирит) - создатель силлогистики - первой логической теории в истории науки, на языке, близком к естественному языку. Он жил в 4 веке до н.э. Его основной труд по логике - «Органон», хотя слово «логика» он не употреблял. Аристотель сделал первый шаг к формализации силлогистики, заменив конкретные термины буквами и введя в рассмотрение 4 следующие логические формы суждения :

A- Все Sсуть P- общеутвердительное суждение;

E — Ни один Sне есть P - общеотрицательное суждение;

I — Некоторые Sсуть P - частноутвердительное суждение;

O- Некоторые Sне суть P - частноотрицательное суждение.

В традиционной силлогистике термины S'и Pограничены в части непустоты и неуниверсальности, при этом принята следующая интерпретация кванторных слов: «Все» используется в разделительном смысле как «Всякие», «Некоторые» в неисключающем смысле как «Некоторые или все».

Силлогизм — опосредованное умозаключение из двух посылок-суждений, связанных общим средним термином.

Пример силлогизма: «Некоторые врачи - женщины», «Все хирурги - врачи», следовательно «Некоторые хирурги - женщины».

Правильный силлогизм

Силлогизм является правильным, если истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью (при любых конкретных терминах).

Аксиома силлогизма:

Если одна вещь находится полностью (или частично) в другой, а эта другая находится в третьей или вне третьей, то первая также полностью (или частично) находится в третьей или вне третьей.

1 фигура силлогизма: MP-SM - AAA, EAE, AII, EIO;

2 фигура силлогизма: PM-SM- EAE, AEE, EIO, AOO;

3 фигура силлогизма: MP-MS - AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO;

4 фигура силлогизма: PM-MS - AAI, EAO, IAI, AEE, EIO.

С помощью аксиоматического метода и проверки с помощью контпримеров удалось выявить из 256 возможных модусов силлогизма 19 сильных (не следующих непосредственно из других) правильных модусов. Возникает вопрос: почему правильные модусы распределены по фигурам неравномерно, ответ на который дан ниже.

Силлогизм о врачах неправильный, так как его логическая форма : «Некоторые Mсуть Р, Все Sсуть M,следовательно Некоторые Sсуть Р» - 1 фигура, IAI.В самом деле, приведем контрпример: «Некоторые жители г. Саратова - дети. Все сотрудники НИИ «Анфас» - жители г. Саратова, следовательно, некоторые сотрудники НПП «Анфас» - дети». При истинных посылках заключение явно ложное.

Пример правильного силлогизма: «Все люди смертны. Все греки - люди, следовательно, Все греки смертны» - 1 фигура, AAA.

Семантический метод определения правильности силлогизма

Известен тезис А. Тарского: понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому отношениями между терминами суждения со стороны их объемов.

Логической структурой категорического суждения называются условия истинности его логической формы, выраженные через теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов.

Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает единственностью представления.

Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько).

Семантический метод вычисления результирующих отношений был предложен автором в 2000 году и основан на вычислении условий истинности заключения силлогизма по условиям истинности его посылок и сводит

доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения, всегда возможному благодаря разрешимости силлогистики как теории одноместных предикатов (Л.

Семантика отношений в традиционной силлогистике

Семантика отношений в традиционной силлогистике представлена в таблице 1, которая соответствует универсуму невырожденных терминов.

Таблица 1

Семантика отношений в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений

Примечание. 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства,

соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.

Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 2

Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках

О причине неравномерного распределения правильных сильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма

Базисным множеством суждений силлогистики называется множество её логических форм с различными логическими структурами.

Базисное множество суждений называется силлогистически полным, если правильные модусы второй, третьей и четвертой фигур силлогизма можно получить из модусов первой фигуры непосредственно или с помощью замены некоторых суждений в соответствующих фигуре посылках.

Можно показать, что для того, чтобы базисное множество суждений было силлогистически полным, необходимо и достаточно, чтобы при наличии в его составе суждения, истинного на отношении обратного включения 11, оно содержало также суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении прямого включения 13, и наоборот.

Силлогистики с силлогистически полными базисными множествами суждений являются, по существу, однофигурными, что удобно для дедуктивной практики. Традиционная силлогистика Аристотеля не обладает свойством силлогистической полноты, так как при наличии в ней суждения A(9,13) «Всякие Sсуть Р» она не содержит суждения A *(9,11) «Всякие Р суть S».

Примером силлогистически полной силлогистической системы является негативная силлогистика из 8 суждений А. де Моргана, включающая в себя суждения Аристотеля и имеющая следующее базисное множество суждений (интерпретация кванторных слов представлена в явном виде):

А(9,13) - Всякие Sсуть Р;

I = E'(7,9,11,13,15) - Некоторые или всякие Sсуть Р;

A*(9,11) - Всякие не Sсуть не Р;

I*= (E*)'(9,11,13,14,15) - Некоторые или всякие не Sсуть не Р;

E(6,14) - Всякие Sне суть Р;

O= A'(6,7,11,14,15) - Некоторые или всякие Sне суть Р;

E*(6,7) - Всякие не Sне суть не Р;

O*= (A*)'(6,7,13,14,15) - Некоторые или всякие не Sне суть не Р;

Все 32 сильных правильных модуса первой фигуры силлогизма данной силлогистики представлены в таблице 3 на пересечении строк и столбцов, соответствующих суждениям.

Таблица 3

Правильные сильные модусы традиционной негативной силлогистики из суждений А. де Моргана

Интегральные силлогистики

Силлогистики, базисное множество которых содержит суждения с различной семантикой, называются интегральными силлогистиками.

В интегральных силлогистиках проявляется синергетический эффект по порождению новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана, Н.А. Васильева и других.

Совершенными называются такие интегральные силлогистики, которые обладают важными для дедуктивной практики содержательной и силлогистической полнотой базисного множества, а также свойствами силлогистической плотности и однозначности результатов.

Примером совершенной интегральной силлогистики является рассмотренная выше негативная силлогистика из 8 суждений А. де Моргана, включающая в себя все суждения Аристотеля.

Совершенные силлогистики являются уникальными силлогистическими системами, нахождению и изучению которых и посвящена настоящая монография.

Терпение и труд всё перетрут!- русская народная пословица

1.